幂的运算法则
幂的运算法则（讲义）
? 课前预习
1. 背默乘方的相关概念：
求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做___．
用字母表示为n a ，其中______叫底数，______叫指数，读作“________________”． 2. 补全表格：
3. 类比迁移：
老师出了一道题，让学生计算45a a ?． 小明是这么做的：
4545459
a a a a a a a a a a a a a +?=????????==1424314
243个
个
请你类比小明的做法计算：m n a a ?．
? 知识点睛 幂的运算法则：
1. 同底数幂相乘，_________，_________．即_____________．
2. 同底数幂相除，_________，_________．即_____________．
3. 幂的乘方，___________，___________．即_____________．
4. 积的乘方等于___________．即_____________． 规定：
0a =_______（___________）
； p a -=______=______（_________________________）
． ? 精讲精练
1. ①122m m +?=________；
②31·
m a a -=________； ③2·
m n n p p --=________； ④2121()()n n a b a b +-+?+=______； ⑤m n m n a a a -??=________； ⑥124m m m x x x x +?-?=______； ⑦23273n -?=_________； ⑧432()()a a a ?-?-=_________． 2. ①21m m a a -÷=__________； ②233m m -÷=_____________；
③63(2)(2)-÷-=_______； ④82
()()m n m n -+÷+=______； ⑤3622-?=____________； ⑥20152016333?÷=_________；
⑦221 222m m m -+-?÷ ⑧3212
m m m p p p p +-÷-? =______________ =_______________ =______________ =_______________
⑨2
2
4
2(2)2----?-÷； ⑩22
211(π7)332--????
-?-÷ ? ?????
．
3. ①23(5)=__________；
②32()a -=______________；
③42()n b =____________； ④2()m x x ?=_____________；
⑤43
()()n n b b -?=_______； ⑥2643 5()()a a -=____________； ⑦()()m n n m p p -?=_________；（p ≠0） ⑧322326()()()n n n b b b ?÷=___________．（b ≠0）
4. ①3(2)x =____________； ②43()ab =______________；
③22()n a -=__________； ④6
()n xy -=_____________． ⑤3
32
2(3)(2)x x ??--?? ⑥100
100
100
12
36???? ?
??
=_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________ 5. ①2(3)a =______________； ②24()a b -=_____________；
③22
()n xy --=__________． ④2
42
(2)(2)x x ??---??
⑤2015
2016201513412??
??- ?
??
=_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________ =_______________
=_______________
6. 下列运算正确的是_________．（填写序号）
①336()a a =； ②236(2)8a a -=-； ③22m m b b b ÷=；
④m m a a a ?=； ⑤31
(2)8
--=；
⑥4442b b b ?=．
7. （1）若32110n n a a a -+?=，则n =________；
（2）若22()n n x x x =?，则n =_________； （3）若3039273m m m ??=，则m =______； （4）若212128x +=，则x =________． 8. 混合运算：
①2(21)(12)(21)m m x x x -?-?-（m 为正整数）；
②5324102()(2)()x x x x x -?+--÷；
③
1 032
1
32(3)
4
-
-
??
-+-- ?
??
；
④
1
02
1
(3.14)(2)(1)
3
-
-
??
--π+-?-
?
??
．
【参考答案】 ? 课前预习
1. 幂，a ，n ，a 的n 次幂
2. 2，3，2的3次幂
2，3，2的3次幂的相反数 25-，5，2
5
-的5次幂 a +b ，m ，(a +b )的m 次幂 3. m n a +
? 知识点睛
1. 底数不变，指数相加，a m ·a n =a m +n
2. 底数不变，指数相减，a m ÷a n =a m -n
3. 底数不变，指数相乘，()m n a =a mn
4. 乘方的积，(ab )n =a n b n
规定：1（a ≠0）；1p
a 1p
a ??
???（a ≠0，p 是正整数）
? 精讲精练
1. ①22m +1
②a 3m
③-p 2m ④(a +b )4n ⑤a 2m
⑥-3x 2m +1
⑦32n ⑧-a 9
2. ①a m +1
②-3m
③-8
④-(m +n )6 ⑤8 ⑥1 ⑦2
⑧0
⑨-1 ⑩274
3. ①56
②-a 6 ③b 8n ④x 2m +1 ⑤b -n ⑥4a 12 ⑦1
⑧1 4. ①8x 3
②a 3b 12 ③a 4n
④-x n y 6n
⑤-55x 6 ⑥1 5. ①9a 2
②a 8b 4
③-x 2n y 4n ④0
⑤-3
6. ②
7. （1）4；
（2）2； （3）5； （4）3
8. ①(2x -1)3m +1； ②14x 8； ③47
8
； ④74
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中职数学基础模块上册实数指数幂及其运算法则word学案
§ 实数指数幂及其运算法则 导学案 目标要求：理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.通过复习和练习,理解分数指数幂的意义和学会根式与分数指数幂之间的相互转化及有理指数幂运算性质的应用，培养学生的思维能力，注重学生数学思想的渗透。 重点：实数指数幂的概念及分数指数的运算性质。 难点：对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解。 学习过程 一、自主学习： 1．整数指数幂概念： n a a a a =?? ?个 )(*∈N n ； ()00a a = ≠； n a -= ()0,a n N * ≠∈. 2．整数指数幂的运算性质：（1）m n a a ?= (),m n Z ∈； （2）() n m a = (),m n Z ∈；（3）()n ab = ()n Z ∈ 其中 m n a a ÷= ，n a b ?? = ??? 3．复习练习： 求（1）9的算术平方根，9的平方根； （2）8的立方根，-8的立方根. 问：什么叫a 的平方根？a 的立方根？ 二、合作探究： 1．有理指数幂 问题1：将下列根式写成分数指数幂的形式： 2，32，3)2(，35，325，23)5( 补充说明：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 2．有理指数幂的运算法则 问题2：计算（1）2 32 1x x ?； （2）2 34)(a ； （3）5 3)(xy 2 12， 2 32， 2 32， 3 15， 3 25， 3 25 公式：)0(1>= a a a n n ),,,0(为既约分数且 n m N n m a a a n m n m +∈>=
幂的运算法则也可以逆用哟
幂的运算法则也可以逆用哟 学习同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方几同底数幂的除法的运算法则，同学们不仅要熟练掌握这些法则进行有关的幂的运算，还要会逆用这些法则进行有关来解决一些问题. 一、同底数幂的乘法法则的逆用 同底数幂的乘法法则为：a m·a n=a m+n（m，n为正整数），将其逆用为a m+n=a m·a n （m，n为正整数）. 例1 已知3m=9，3n=27，求3m+n+1的值. 分析：根据同底数幂的乘法法则的逆用，可得3m+n+1=3m·3n·3，然后将3m=9，3n=27代入计算即可. 解：3m+n+1=3m·3n·3=9×27×3=729. 评注：根据本题的已知条件，也可以直接求出m，n的值代入计算. 二、幂的乘方法则的逆用 幂的乘方的运算法则为(a m)n=a mn(m,n为正整数),将其逆用为a mn=(a m)n(m,n为正整数). 例2 已知a b=9,求a3b-a2b的值. 分析:根据已知条件a b=9,可以逆用幂的运算法则将a3b化为(a b)3,a2b化为(a b)2,然后将a b=9代入计算. 解: a3b-a2b=(a b)3-(a b)2=93-92=9×92-92=92(9-1)=81×8=648. 评注:根据已知条件不易直接求到a,b的值,此时可求到逆用幂的运算法则进行变形计算. 三、积的乘方运算法则的逆用 积的乘方的运算法则为(a b)n=a n·b n(n为正整数),将其逆用为(a b)n=a n·b n(n为正整数). 例3 已知a m=16,b m=81,求(a2b)m的值. 分析:根据已知条件不容易直接求到a,b,m的值,此时可逆用积的乘方运算法则,将(a2b)m变为a2m·b m,然后将已知条件代入求值. 解: (a2b)m=(a2)m·b m=(a m)2·b m=162×81=20736. 评注:当已知条件是幂的形式,所求式子是积的乘方的形式时,可思考逆用积的
幂的运算法则
幂的运算法则 1、同底数幂的乘法a a a n m n +=m ，即同底数幂相乘，底数不变，指数 相加。在考试过程中通常需要用其逆运算a a a n n m =+m ，即当在运算 中出现指数相加时，我们往往将其拆分成同底数幂相乘的形式。 2、同底数幂的除法a a a n m n -m =÷，即同底数幂相除，底数不变，指数 相减。在考试过程中通常需要用其逆运算a a a n n m ÷=-m ，即当在运算中出现指数相减时，我们往往将其拆分成同底数幂相除的形式。 3、幂的乘方a a mn m =)(n ，即当出现内、外指数（m 是内指数，n 是外指数）时，底数不变，指数相乘。在考试过程中通常需要用其逆运算)()(n m n a a a m mn ==，这时注意：具体用何种拆法要根据题目给出的是a m 还是a m 的形式。常在比较两个幂的大小等题目中出现。而在比较幂的大小类题目中，常用方法是转化为同底数幂或者同指数幂的形式。 如：（1）、化同指数比较。比较3275100与的大小，观察可以发现，底数2与3之间不存在乘方关系，因此，我们将其转化为同指数的幂进行比较，()1622225254251004===?，()2733325 25325753===?，因为27＞16，所以16272525＞，即2310075＞ （2）化同底数比较。比较934589与观察可以发现，底数9与3之间存 在着乘方关系即392=，因此，对于这样的题，我们将其转化为同底数幂进行比较，()33399045224545===?，而90＞89，∴338990＞即3989 45＞。 规律小结：在幂的大小比较中，底数之间存在乘方关系时，化为同底数幂，比较指数大小；底数之间不存在乘方关系时，化为同指数
指数运算法则
指数运算法则 指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，函数图形下凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单 调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。要想使 得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a的不同大小 影响函数图形的情况。 一、法则 在函数y=a^x中可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提 是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得 函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a 等于0一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0， 则单调递减。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无 穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平 直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过定点（0，1） （8）指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是 偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；⑵ y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数1对 数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那 么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对 数的底数，N叫做真数. 由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特 别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指 数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga(M/N)=logaM-logaN. (3)logaM n=nlogaM (n∈R). 二、记忆口决 有理数的指数幂，运算法则要记住。 指数加减底不变，同底数幂相乘除。 指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。 积商乘方原指数，换底乘方再乘除。 非零数的零次幂，常值为 1不糊涂。 负整数的指数幂，指数转正求倒数。 看到分数指数幂，想到底数必非负。 乘方指数是分子，根指数要当分母。 看到分数指数幂，想到底数必非负。
逆用幂的运算法则巧解题
逆用幂的运算法则巧解题 幂的四条运算法则是： （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a a a +=? （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()mn n m a a = （3）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()n n n b a ab = （4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 n m n m a a a -=÷ （a m n ≠0，，为正整数，且m n >） 同学们对法则的正向运用比较得心应手，但把它们反过来运用却很不习惯。其实，逆用幂的运算法则，常能化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果。幂的运算法则的逆用，常见的有下面四种情况，现举例如下： 一、用于计算 例1. 计算： （1）199960000.1252-?（） ；（2）319147 ?-?? ??? 解：（1）原式＝(-0.125)1999·82000 ＝(-0.125)1999·81999·8 ＝(-0.125×8)1999·8 ＝(-1)1999·8 ＝-8． （2）()77727113999????=?-=?- ? ????? 原式 ()=?-?? ???????? ?=-=-9191177
练习：(1)2 2 449???? ??； (2)13128)1250(?-.； (3)3 20002000)2()1250(?. （4）(0.5)10×(-8)3 二、用于求值 例2. 已知a a m n ==32，，求： （1）a m n 23+的值；（2）a m n 23-的值。 解：（1）()()a a a m n m n 23239872+=?=?= （2）()()a a a m n m n 2323989 8-=÷=÷= 例3. 若2x+3y-4＝0，求9x ·27y 的值． 解：依题意，得：2x+3y ＝4． ∴9x ·27y ＝32x ·33y ＝32x+3y ＝34＝81． 练习：（5）若103x ＝125，求101-x ． （6）若5x =2 25，5y =125，求53x+2y 的值 （7）已知2a =5，2b =4，2c =10，求22a+b-3c 的值． （8）若n 为正整数，且7x n 2=，则n 222n 3)x (4)x 3(-的值为( ) A ．833 B ．2891 C ．3283 D ．1225 三、用于比较大小 例4. 比较3555、4444、5333的大小
逆用幂的运算性质和乘法公式巧妙解题
逆用幂的运算性质和乘法公式巧妙解题 在整式乘除运算中，有的运用幂的运算性质运算，有的运用乘法公式运算，大量习题都是直接套用公式运算，但有一部分如果直接运用公式不仅计算很繁，而且很难计算准确．如果把公式反过来使用，就会化繁为简，化难为易． 一、逆用幂的运算性质 1．同底数幂乘法与同底数幂除法互为逆运算． 例1 与a M b2的积为4a3m+2b2n+3的单项式是______． 例1是已知积和其中一个因式，求另一个因式；例2是已知除式和商式求被除式，这时可利用乘法与除法的互逆关系来解答． 例3 已知3M=4，3N=5，求3M+n． 本题如果想先求出m，n的值，再代入3M+n中求值，是很难办到的，初一学生更无法进行．但若将同底数幂乘法性质反过来用，就可得到3M+n=3M·3N，这样问题就迎刃而解了． 2．积的乘方与幂的乘方性质的逆用． 例4计算(a-1)2(a2+a+1)2． 这个题若按一般运算顺序，先算乘方，后算乘法，就会很繁杂，但若仔细观察，不难发现，作为两个因式的幂的指数都是2，如果将积的乘方性质反过来运用就会简捷很多． 解：(a-1)2(a2+a+1)2 =[(a-1)(a2+a+1)]2 =(a3-1)2 =a6-2a3+1． 一般地，当两个同指数幂相乘，且底数之积较特殊时，就应考虑到逆向运用积的乘方的性质． 例5 已知a x=2，a y=5，求a3x-2y的值． 该题可先将同底数幂除法性质反过来运用后得到a3x-2y=a3x÷a2y，这时再将幂的乘方性质逆用一次，得到a3x-2y=a3x÷a2y=(a x)3÷(a y)2，再代入已知条件就可求出所求代数式的值．
指数与指数幂的运算(基础)
指数与指数幂的运算 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 (1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化； (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力； 4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 学习策略： 学习实数指数幂及其运算时，应熟练掌握基本技能：运算能力、处理数据能力以及运用科学计算器的能力． 二、学习与应用 （1 ）零指数幂：a 0= （a 0） “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
（2）负整数指数幂：a-p= （a0, p是数） （3）一般地，如果一个数x的等于a，即a x= 2，那么，这个数x就叫做a的平方根。也叫做二次方根．一个正数有个平方根，它们是互为；0只有个平方根，它是；负数平方根． （4）一般地，如果一个数的等于a，这个数就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 要点一：整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 ( )* .................................... n a n Z =∈； () ...................................... a a =； ................................... (0,) n a a n Z* -=∈． 2．运算法则 （1）m n a a?=； （2）()n m a=； （3）() ............................ m n a m n a a =>≠ ，； （4）()m ab=． 要点二：根式的概念和运算法则 1．n次方根的定义： 若x n=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根． n为奇数时，正数y的奇次方根有个，是数，记为n y；负数y的 奇次方根有个，是数，记为n y；零的奇次方根为，记为 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#10160#391630
七年级数学幂的运算及整体代入(法则的逆用二)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：幂的运算法则： ①同底数幂相乘，_________，_________．即_____________． ②同底数幂相除，_________，_________．即_____________． ③幂的乘方，___________，___________．即_____________． ④积的乘方等于___________．即_____________． 问题2：幂的运算法则逆用： ①观察已知及所求，对比确定______________________之间的关系； ②根据____________对已知或所求进行等价变形，使之成为__________________． 幂的运算及整体代入（法则的逆用二）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分) 1.已知，则的值是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 根据积的乘方等于乘方的积；幂的乘方，底数不变，指数相乘， 对左边进行运算，得到 再根据等式两边字母和相同字母的指数都对应相等，可知： ， ∴， ∴ 故选C．
试题难度：三颗星知识点：幂的运算 2.已知，，则的值为( ) A.12 B.9 C.8 D.3 答案：B 解题思路： 思路分析： ①观察已知和所求，x，y不能求出，考虑整体代入， 考虑把，当作整体； ②逆用幂的运算法则，对所求进行等价变形，找到整体，然后代入． ∵， 故选B． 试题难度：三颗星知识点：整体代入 3.已知，，则的值为( ) A.-80 B.2 C.3 D.82 答案：A 解题思路： ∵，
故选A． 试题难度：三颗星知识点：整体代入 4.计算，，则的值为( ) A.-30 B.-20 C.-8 D.10 答案：A 解题思路： 故选A． 试题难度：三颗星知识点：整体代入 5.若，则的值为( ) A.1 B.3 C.4 D.6 答案：B 解题思路： 观察已知和所求，发现等式左右两边，幂的底数不同， 分析可知，16是4的平方，12是3和4的乘积， 因此考虑逆用幂的运算法则，对已知进行变形，使之成为同底数的幂．
中职数学基础模块上册《实数指数幂及其运算法则》word教案
实数指数幂及运算 课前预习案 【课前自学】 一 、 整数指数 1、正整指数幂的运算法则 （1）m n a a = ，（2）()m n a = ，（3）m n a a = ，（4）()m ab = 。 2、对于零指数幂和负整数指数幂，规定：0___(0)a a =≠， ____(0,)n a a n N -+=≠∈。 二、 分数指数幂 1．n 次方根的概念 . 2．n 次算术根的概念 . 3．根式的概念 . 4．正分数指数幂的定义 1 n a = ； m n a = . 5．负分数指数幂运算法则： m n a -= . 6．有理指数幂运算法则：（设a>0,b>0，,αβ是任意有理数） a a αβ= ；()a αβ= ；()a b α= 自学检测(C 级) =-0)1(______ ; =-3)x 2(_______; 3)21(--=_______ ; =-223 )y x (_____ 课内探究案 例:化简下列各式
（1 （2 （3） )0(322>a a a a ； （4）232520432()()()a b a b a b --?÷； （5）12231111362515()()46x y x y x y ----- （6）111222m m m m --+++. 当堂检测： 1. (C 级)化简44)a 1(a -+的结果是( ) A. 1 B. 2a-1 C. 1或2a-1 D. 0 2.(C 级) 用分数指数幂表示下列各式：
32x =_________；31a =_________；43)(b a +=_________； 322n m +=_________；32y x =_________. 3. (C 级) 计算： 21)49 64(- =________ 3227=________；________= 41 10000； 课后拓展案 1.(C 级)计算： (1) 21 6531 -÷a a a (2) )32(431313132----÷ b a b a (3) (4). 6433)1258(b a 2. (C 级)计算：（1）3163)278(-- b a ； （2）632x x x x （3）22 121)(b a -； （4）302 32)()32()2(--?÷a b a b a b . 3.(B 级)k 2)1k 2()1k 2(222---+-+-等于（ ）
幂的运算知识讲解
幂的运算（基础） 【学习目标】 1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方）； 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】 要点一、同底数幂的乘法性质 a m .a n = a m+n (其中m 、n 都是正整数). 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它 们的指数之和等于原来的幂的指数。 即 a m+n = a m .a n （m 、n 都是正整数）. 要点二、同底数幂的除法性质 a m ÷a n = a m-n (其中m 、n 都是正整数). 即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 逆用公式： a m-n = a m ÷a n
要点三、幂的乘方法则 （a m ）n = a mn （m 、n 都是正整数） 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： a mn =（a m ） n ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些 幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 (ab)n =a n b n (其中n 是正整数). 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(abc) n =a n b n c n (n 为正整数). （2）逆用公式： a n b n =(ab) n 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互 为倒数时，计算更简便.如：10 10 101122 1.22???? ?=?= ? ????? 要点四、 不等于0的数的0次幂是1 0的0次幂没有意义 (任何非零实数的0次方都等于1，包括负数。) 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
幂的运算法则也可以逆用哟教学文案
精品文档 精品文档幂的运算法则也可以逆用哟 学习同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方几同底数幂的除法的运算法则，同学们不仅要熟练掌握这些法则进行有关的幂的运算，还要会逆用这些法则进行有关来解决一些问题. 一、同底数幂的乘法法则的逆用 同底数幂的乘法法则为：a m·a n=a m+n（m，n为正整数），将其逆用为a m+n=a m·a n （m，n为正整数）. 例1 已知3m=9，3n=27，求3m+n+1的值. 分析：根据同底数幂的乘法法则的逆用，可得3m+n+1=3m·3n·3，然后将3m=9，3n=27代入计算即可. 解：3m+n+1=3m·3n·3=9×27×3=729. 评注：根据本题的已知条件，也可以直接求出m，n的值代入计算. 二、幂的乘方法则的逆用 幂的乘方的运算法则为(a m)n=a mn(m,n为正整数),将其逆用为a mn=(a m)n(m,n为正整数). 例2 已知a b=9,求a3b-a2b的值. 分析:根据已知条件a b=9,可以逆用幂的运算法则将a3b化为(a b)3,a2b化为(a b)2,然后将a b=9代入计算. 解: a3b-a2b=(a b)3-(a b)2=93-92=9×92-92=92(9-1)=81×8=648. 评注:根据已知条件不易直接求到a,b的值,此时可求到逆用幂的运算法则进行变形计算. 三、积的乘方运算法则的逆用 积的乘方的运算法则为(a b)n=a n·b n(n为正整数),将其逆用为(a b)n=a n·b n(n为正整数). 例3 已知a m=16,b m=81,求(a2b)m的值. 分析:根据已知条件不容易直接求到a,b,m的值,此时可逆用积的乘方运算法则,将(a2b)m变为a2m·b m,然后将已知条件代入求值. 解: (a2b)m=(a2)m·b m=(a m)2·b m=162×81=20736. 评注:当已知条件是幂的形式,所求式子是积的乘方的形式时,可思考逆用积的
指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算 【学习目标】 1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质 (1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化； (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集； 3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力； 4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】 要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 () ()) ,0(1 010* Z*n a a a a a Z n a a a a n n a n n ∈≠=≠=∈???=- 个 2．运算法则 （1）n m n m a a a +=?； （2）() mn n m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； （4）()m m m b a ab =. 要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为 n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式 （1）当1n >且* n N ∈时，() n n a a =； （2）?? ?=) (||)(,为偶数为奇数n a n a a n n
指数运算法则
指数运算法则 指数函数指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，要想使得x能够 取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数y=a^x中可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0 且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递 减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程 中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调 递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过（0，1）这点 （8）显然指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1， 所以y=4^x在R上是增函数；⑵y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x 在R上是减函数1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即 ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数 的底数，N叫做真数. 由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常 用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数 叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R).
乘方公式的逆用与变形用
（原文已刊登于2006年10月24日上海中学生报） [讲义]乘方公式的逆用与变形用 上海外国语大学附属浦东外国语学校 励一敏 代数公式的应用是初中代数的重点内容，其中，公式的逆用和变形用往往是学习的难点，但是这恰恰是最能够体现数学思想的部分。本篇以积的乘方和幂的乘方公式为例，抛砖引玉地介绍一些公式逆用和变形用的思想。 （一）积的乘方公式的逆用 公式()n n n b a ab =称为积的乘方公式，其中n 是正整数。将这个公式反过来就是()n n n ab b a =，例如()33345.245.2?=?，其特征是“指数不变，底数相乘”，它是一种常用的简便运算手段。在计算中，如果遇到两个底数的乘积正好是一个简单的整数（尤其是1或-1），那么利用这个公式可起到简便运算的作用。 [例1] 计算2006200565511??? ?????? ??。 分析：本题最后一步是乘法运算，且两个底数正好互为倒数，逆用积的乘方公式可以使计算得到简化，但是算式中两个乘方的指数并不相同，要实现简便运算须把200665?? ? ??看成65652005???? ??。 解：原式6 56516565566565562005200520052005=?=???? ???=???? ?????? ??=。 [评注] 在许多问题中，如果遇到指数虽不同但相差不多的情况
时，我们可以利用同底数幂的乘法法则将两个乘方的指数化为相同，从而使算式满足逆用积的乘方公式的条件。 [例2] 计算 ()978125.0-?。 解：原式()()()[]()64641648125.088125.077277-=?-=?-?=-?-?=。 [例3] 计算() 56521061031????? ???。 分析：将21031?看成公式中的a ，将6106?看成公式中的b ，满足指数相同的条件。 解：原式()414058562102.310321021061031?=?=?=??? ?????=。 请注意，上例中倒数第二步的结果401032?不符合科学记数法的规定，因此要改写成41102.3?。 （二）幂的乘方公式的逆用和变形用 公式()mn n m a a =称为幂的乘方公式，其中m 、n 是正整数，它的特征是“底数不变，指数相乘”。将它从右往左看即为公式的逆用，即()n m mn a a =。此外还有()()m n n m a a =，这是幂的乘方公式的变形用，它利用了指数相乘中乘法交换律的原理。这两个公式在整式运算中有着非常广的应用。 [例4] 已知10=m a ，求()m a 2的值。 分析：运用公式()()m n n m a a =即可将()m a 2化为()2 m a ，从而利用已知条件求得结果。 解：原式()1001022 ===m a 。 [例5] 已知72=n a ，求()()n n a a 2223133-的值。
指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算 导入新课 思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂. 思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①5 10 a =3 52)(a =a 2 =a 5 10; ②8a =2 4)(a =a 4=a 2 8; ③4 12 a =443)(a =a 3 =a 412; ④210a =2 2 5)(a =a 5 =a 2 10. (3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？ 4 35,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1). (4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？ 活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示. 讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n = n a 1 (a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①5 10 a =a 5 10,②8 a =a 2 8,③412 a =a 4 12,④210 a =a 2 10结果的a 的指数是2,4,3,5 分别写成了 510,28,412,5 10,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.
指数与指数幂的运算导学案
指数与指数幂的运算 导学案 Revised on November 25, 2020
指数函数 指数与指数幂的运算 ? 课时目标：理解分数指数幂与无理指数幂的意义，会用幂的运算法则进行有关运算.分数指数幂的运算是考查 的重点，要领会运用分数指数幂与根式的相互转化解题.了解所有实数指数幂的意义. ? 基础预探、复习回顾 1、指数幂的概念： ①n a 叫做a 的幂，a 叫做幂的____，n 叫做幂的______. 2、有理指数幂的运算法则： ①m n a a =_______；②()n m a =________； ③m n a a =________； ④()m ab =_________；⑤n a a a a ???==个 __________________.. 3、阅读课本P 49页填空： (1)a 的n 次方根的定义：_________________________________________________. (2)a 的n 次方根的性质： ◆ a 的n 次方根的分类（1,n n N +>∈） 当n 为偶数时，若0a >，则a 的偶次方根有______，它们互为______，分别表示为____、____可以合并写成_______； 若0a <时，负数的偶次方根在实数范围内不存在. 当n 为奇数时，正数的奇次方根是一个_______，负数的奇次方根是一个_______，都表示为_________； 当0a =时，a 的n 次方根为0，记作_______， ◆ 正数a 的n 次算术根 正数a 的正的______叫做a 的n 次算术根. （3叫做根式，______叫做指数式；______叫做被开方数。 （4）开方的定义：求a 的n 次方根的运算称为开方运算。
幂的运算的逆用
初中部 八 年级 数学 (学科)导学案 学案编号： 班级： 姓名： 执笔： 陈懿 审核： 审批： 印数： 100 教师评价： 课题：幂的运算的逆用 〖学习目标〗学会应用幂的运算的逆用灵活多变的解题,锻炼逆向思维能力 〖重难点〗1.运算公式的逆用 2.学会变异底运算为同底运算 3.整体思想的运用 〖学习流程〗 一．知识链接，课前热身 1.幂的运算是整式乘除的基础，有如下三个常用公式： ①n m n m a a a +=? ②()mn n m a a = ③()m m m b a ab =（注意m,n 的取值条件） 2.合理应用，课前热身 ①4 3 a a ?②()()5 3 33-?-③()()6 2 b a b a +?+④32b b b ??⑤()23a a -?-⑥3 2)()(a b b a --⑦ 3 2)()(b a c c b a ---+⑧( )[]43 2m -⑨432 3)() (x x ?⑩3432)5(c b a - 二．知识链接，课前热身 1.同底数幂乘法法则的逆用 例：已知202 2 =+x ，求x 2的值 n m n m a a a ?=+ 2.幂的乘方法则的逆用 例：已知52=m x ，求55 1 6-m x 的值 () n m mn a a = 3.积的乘方法则的逆用 例：计算①8 8 25.04? ②8 10 5.02? ()m m m ab b a =? 4.同类尝试，巩固新知 ①已知， 求n m a 32+的值 ②已知32=n a ，求()4 3n a 的值 ③已知7239 21 =-+n n ，试求n 的值 比较一下，①，②题与 ③题中底数的区别
幂的运算法则逆用九类
幂的运算法则逆用九类 a m·a n=a m+n a m÷a n=a m-n(a≠0，m、n为正整数)， (a m)n=a mn，(ab)n=a n b n 是有关幂的运算的四条运算法则，逆用幂的这四条法则是一种常见的数学思想．巧用这种数学思想解决有关幂的问题，常可使问题得到简捷解决．下面通过举例说明其在九个方面的应用． 一、求整数的位数 例1：求n=212×58是几位整数． 析解：可逆用上述幂的运算法则第1、4条，把n写成科学记数法a×10n形式： n=24×28×58=16×(2×5)8=1.6×109， ∴ n是10位整数． 二、用于实数计算 例2：计算： (1)(-4)1995×0.251994 =(-4)×(-4)1994×0.251994 =(-4)×(-4×0.25)1994 =-4×(-1)1994=-4． 三、寻找除数 例3：已知250-4能被60—70之间的两个整数整除，求这两个整数． 析解逆用幂的运算法则第一条将原数进行分解，就可找到解决此题的途径． 250-4=22·248-4 =4×248-4 =4(248-1) =4(224+1)(212+1)(26-1)(26-1)
=4(224+1)(212+1)×65×63 ∴这两个数是65、63． 四、判断数的整除性 例4：若3n+m能被10整除，你能说明，3n+4+m也能被10整除． 析解：若将3n+4+m变形成3n+m与10的整数倍的和的形式，此题就可迎刃而解．逆用幂的运算法则，有 3n+4+m=34×3n+m=81×3n+m =80×3n+(3n+m)，结论已明． 五、判定数的正、负 =(2m)2-2m+n+1+(2n)2 =(2m)2-2×2m×2n+(2n)2 =(2m-2n)2≥0，(逆用了第3、1条) ∴原数是非负的． 六、确定幂的末尾数字 例6：求7100-1的末尾数字． 析解：先逆用幂的运算法则第三条，确定7100的末尾数字． ∴ 7100-1=(72)50-1=4950-1 =(492)25-1=(2401)25-1， 而(2401)25的个位数字是1， ∴ 7100-1的末尾数字是0． 七、比较实数的大小 例7：比较750与4825的大小． 析解：750=(72)25=4925，可知前者大． 八、求代数式的值 例8：已知10m=4，10n=5．求103m-2n+1的值． 析解：逆用幂的运算法则． 103m-2n+1=103m×10-2n×10
《幂的运算》练习题及答案
《幂的运算》提高练习题 一、选择题 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2； （4）a2m=（﹣a2）m． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C、D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a=a10；③﹣a4?（﹣a）5=a20；④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 二、填空题 6、计算：x2?x3= _________ ；（﹣a2）3+（﹣a3）2= _________ ． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n= _________ ． 三、解答题 8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值。
9、若1+2+3+…+n=a， 求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值． 10、已知2x+5y=3，求4x?32y的值． 11、已知25m?2?10n=57?24，求m、n． 12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值． 13、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值． 14、比较下列一组数的大小．8131，2741，961
幂的运算三种法则基础篇
14.1幂的运算 姓名 ◆基础知识 1．同底数幂相乘，底数 ，指数 .字母表示为 . 2. 幂的乘方, 底数 ，指数 .字母表示为 . 3.积的乘方,等于把积的 分别 ,再把所得的 相乘. 字母表示为 . 一．选择题 1.下列各式中计算结果等于4x 5的是（ ） A ．54x x ? B ．()324x x + C ．3222x x ? D ．3222x x + 2.7x 可以写成（ ） A ． ()()52x x -?- B ．()()43x x -?- C ． ()52 x x ?- D ．()()6x x -?- 3.下列计算正确的是（ ） A ．5552a a a =? B ．1055a a a =+ C ．1055a a a =? D ．10552a a a =? 4.计算()6n m x x ?结果正确的是（ ）A ．mn x 6 B ．n m x +6 C ．n m x 6+ D ．n m x 66+ 5.计算(－2x 2y 3)3结果正确的是（ ）A ．－6x 5y 6 B ．－6x 6y 9 C ．－8x 6y 9 D ．－8x 5y 6 二. 填空题 1、a a 25·= ； ； 2、()-=ab c 25 ；--=a a 42 ·（） 3、(a 3)3·a 3＝ ；-(-x 2y)3＝ . 4、(-3ax 2y)3＝ ；200020014)2 12(?-＝ ； x x n m n -+=1() 三． 计算。 （1） （2）x x x 52?? （3） (4)(b-a)3·(a-b)2 (5) （4） （5） （6） （7）［(-x)4］3 （8） (-2ax)4 （9） ()-=ab c 25 四．公式逆用 1、计算： 2、 若，求m 3、，求m 、n ---=-++a a a a 243243··()()()42x x -=·12 45a a a ==··