(精品)初中数学讲义7特殊二次函数图像与性质二(教师版)

第7课时特殊二次函数的图像与性质（二）

课时目标

1、会画特殊二次函数的图像，掌握特殊函数的图象与性质

2、能判断一个函数的开口方向、对称轴、顶点和y 随x 的变化趋势

知识精要

一、复习

1、形如2

ax y =（0≠a ）的二次函数的图像特征

（1）二次函数的2

ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。

（2）这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴，即直线x =0。

（3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，顶点是原点。注意：顶点不是与y 轴的交点(顶点纵坐标不是截距)。

（4）抛物线的开口方向（由a 所取值的符号决定）：

当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

2、形如c ax y +=2

（0≠a ）的二次函数的图像特征

（1）对称轴是y 轴，即直线x =0。 （2）顶点坐标是（0，c ）。

（3）抛物线的开口方向（由a 所取值的符号决定）：

当o a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 当o a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

（4）函数2

ax y =（0≠a ）的图像个单位时，向下平移当个单位

时，向上平移当c c c c 00<>??

?????→?函数c ax y +=2（0≠a ）的图像

二、新授课

3、形如()2

m x a y +=（0≠a ）的二次函数的图像特征

（1）函数2

)(m x a y +=的图像的对称轴是过点（-m ,0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线m x -=；

（2）函数2

)(m x a y +=的图像的顶点坐标是（-m ,0） （3）抛物线的开口方向（由a 所取值的符号决定）：

当o a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 当o a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

（4）函数2ax y =（0≠a ）的图像个单位

时，向右平移当个单位时，向左平移当m m m m 00<>???????→?函数2

)(m x a y +=的图像

热身练习

1、二次函数2

2

1x y =的顶点坐标是 （0，0） ，对称轴是直线0=x 。 2、在函数2

22)1(,32

1,,4,-=+=-===x y x y x y x y x y 中，其图像的对称轴是y 轴的有（ B ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3、抛物线2

2

1x y -=不具有的性质是（ D ）

A ．开口向下；

B ．对称轴是y 轴；

C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而减小；

D ．函数有最小值

4、抛物线322

--=x y 的开口 向下 ，对称轴是直线 0=x ，顶点坐标是（0，-3）， 当0x 时， y 随x 的增大而减小. 5、将抛物线231x y =

向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为23

1

2-=x y ，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为13

12

+=

x y ，并分别写出这两个函数的顶点坐标（0，-2） 、 （0，1） 。 6、二次函数c ax y +=2

()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数

值等于 c 。

7、已知抛物线2

)3(2+-=x y 的顶点为A ，与y 轴交点为B ，O 为坐标原点，则三角形OAB 的面积为________。 8、如果二次函数顶点在x 轴上，经过点（1，1）且在对称轴x=-2的左侧部分是下降的，那么这个二次函

数的解析式是2)3(9

1

+=

x y 。 9、已知函数：221x y -

=， 3212+-=x y 和12

1

2--=x y 。 （1）分别画出它们的图像；

（2）说出各个图像的开口方向，对称轴和顶点坐标；

（3）说出函数6212

+-=x y 的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； （4）函数3212+-=x y 、1212--=x y 、6212+-=x y 的图像分别由抛物线2

2

1x y -=作怎样的平移

才能得到？

（2）（3）解答： 抛物线

开口方向 对称轴 顶点坐标 22

1x y -

=

向下 直线

0=x

（0，0） 32

12

+-

=x y 向下 直线

0=x

（0，3） 12

12

--

=x y 向下

直线

0=x

（0，-1） 62

12

+-

=x y 向下 直线

0=x

（0，6）

精解名题

例1、已知函数2

x y =，2

)1(-=x y 和2

)1(+=x y 。 （1）在同一坐标系中画出它们的图像；

（2）分别说出各个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。

（3）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线2

x y =得到抛物线2

)1(-=x y 和2

)1(+=x y ？

解：(1)图略；

(2) 2

x y =开口向上，对称轴为y 轴，顶点(0,0)；2

)1(-=x y 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点(1，0)；

2)1(+=x y 开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点(-1,0)。

(3) 2

x y =向右平移1个单位可得2

)1(-=x y ；向左平移1个单位可得到2

)1(+=x y

例2、抛物线2)2(31-=

x y 的图象可由抛物线23

1

x y =向 右 平移 2 个单位得到，它的顶点坐标是 (2，0) ，对称轴是 直线x=2 。

例3、二次函数()2

h x a y -=的图像如图：已知2

1

=

a ，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。

解：()222

1

-=x y

例4、某塑料大棚的横截面如图所示，曲线部分近似看做抛物线。现测得AB=6米，最高点D 到地面AB 的距离DO=2.5米，点O 到墙BC 的距离OB=1米。借助图中的直角坐标系，回答下列问题

（1）写出点A 、B 的坐标； （2）抛物线的解析式； （3）求墙高BC. 解：（1）(50)(10)A B -，、，

（2）(02.5)D ，设21

2.510

y ax a =+=-

，

2

1 2.510

y x

=-

+ （3）15

1, 2.4102x y m

==-+= 例5、如图，竖立在点B 处的标杆AB 长2.1米，某测量工作人员站在D 点处，此时人眼睛C 与标杆顶端A 、树顶端E 在同一直线上(点D 、B 、F 也在同一直线上，已知此人眼睛与地面的距离CD 长1.6米，且BD = 1米，BF = 5米，求所测量树的高度．

解：过C 点作CH ⊥EF ，交AB 与G 交EF 于H ． 由题意得AB ⊥DF ，EF ⊥DF ，∴AB ∥EF ． ∴

AG CG EH

CH

=

．易得CG=DB=1(米)，CH=DF=6(米)，0.5AG AB CD =-=(米)

∴3EH =．∴树高为4.6米．

例6、如图，直线l 的解析式为y=-x+4,它与x 轴，y 轴分别相交于A,B 两点。平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴，y 轴分别相交于M ，N 两点，设运动时间为t 秒（0

(1)含t 的代数式表示MON 的面积；

(2)以MN 为对角线作矩形OMPN,记MPN OAB 和重合部分的面积为y ， ①当0

516

？

解：（1）22MON

t S

=；（2）①2

2

(02)231616(24)

2

t y t t t y t ?=<≤???-+-?=<≤??，

B

C A 树

标

杆人F

E

D

(第5题图)

②23161654457

==3216223

t t t t -+-??==由

得，或 巩固练习

1、二次函数2

4

1x y =

的图像开口 向上 ，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而 增大 ； 当x ＜ 0时，y 随x 的增大而 减小 ；当x ＝ 0时，函数y 有最 小 值是 0 。

2、二次函数2

3x y -=的图像开口 向下 ，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而 减小 ；

当x ＜ 0时，y 随x 的增大而 增大 ；当x ＝ 0时，函数y 有最 大 值是 0 。 3、已知点A （2，1y ），B （4，2y ）在二次函数2

3x y -=的图像上，则1y ＞ 2y . 4、已知点()()122,,4,A y B y -在二次函数()2

0y ax

a =>的图像上，则1y <2y .

5、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2

，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断： ①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最低点。其中判断正确的是①②③④。

6、将抛物线122

-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是322

+=x y ，

当x ＝ 0 时，该抛物线有最 小 （填大或小）值，是 0 。 7、二次函数2

6y x x c =-+的顶点在x 轴上，那么c=9

8、已知抛物线2

22y x x a =-+-与x 轴只有一个交点，求a 的值。

解：抛物线2

22y x x a =-+-与x 轴只有一个交点，即方程2

220x x a -+-=只有一个解。△=4-4(2-a)=0，

a=1

9、抛物线()()

422

2

-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则=m 2 ．

10、在答题纸的方格图中画出与矩形ABCD 相似的图形''''A B C D （其中AB 的对应边''A B 已在图中给出）．

自我测试

A

C

(第18题图)

B D

B ’

A ’

1、抛物线2

2

28

,

5

,

4

1

x

y

x

y

x

y=

-

=

=共有的性质是（ D ）

A．开口方向相同 B．开口大小相同C．当x＞ 0时，y随x的增大而增大D．对称轴相同

2、如图，函数2

y ax

=和y ax b

=-+在同一坐标系中的图像可能为( D )

3、已知抛物线m

m

x

m

y-

-

=2

)1

(的开口向下，则m的值为 -1 。

4、图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（C）

A．2

2

y x

=-B．2

2

y x

=C．2

1

2

y x

=-D．2

1

2

y x

=

5、抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于( D )

A.-16

B.-4

C.8

D.16

6b

2)0

≠ C ）（A）（B）（C）（D

7、如果抛物线4

)1

(

2+

-

+

=x

k

x

y与x轴有且只有一个交点，那么正数k的值是…（ C ）

（A）3；（B）4；（C）5；（D）6．

8、把抛物线2x

y-

=向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是2

2．

9、已知：点G是ABC的重心，过点G做直线k BC交AB于E，AC于F.

(1)求证：1

BE CF

AE AF

+=

(2)当直线k绕点G旋转时，

CF BE

AF AE

和又保持着怎样的关系？

图6（1）图6（2）

x

y

x

y

x

y

x

y

解：（1）联结AG 并延长交BC 于点H ，由三角形一边平行线定理得，

,BE GH CF GH

AE AG AF AG

==

从而得， +=2=1BE CF GH

AE AF AG

。 （2）联结AG 并延长交BC 于点D ，过B,C 分别做,BM

AG CN AG 交直线EF 于点M ，N 。既可以得出

1BE CF

AE AF

+=仍然成立。 10、已知，线段OA OB ⊥,C 为OB 中点，D 为AO 上一点，连AC ，BD 交于P 点。

（1） 如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求AP

PC

的值；

（2） 如图2，当OA=OB ，

1

4

AD AO =时，求AD:DP 的值； （3） 如图3，当AD:AO:OB=1:n

：AD:DP 的值。

图1 图2 图3

解：（1）过D 做DE OB

141222

PE AP PC PC ===然后利用三角形一边平行线定理的推论得，从而知道

（2）过D 做DE OB 设AD=1,则DO=3再由OA=OB 得到BC=CO=2,BD=5再利用三角形一边平行线性质定理的推论得

1

4

PD BP =从而得出PD=1.即AD:DP=1：1. （3）用同样的方法设AD=1,从而得出BD=n+1，进一步得出PD=1即：AD:DP=1：1.仍然成立。