初一数学绝对值的化简
绝对值的化简
一、同步知识梳理
1、绝对值的意义
（1）几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（2）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数：零的绝对值是零。即a（a > 0）
|n| = < 0（。= 0）
-a（a < 0）
注：任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：-5的符号是负号，绝对值是5。
2、绝对值的性质
（1）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0。
绝对值非负性的运用：如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0。
如：若同+问+同=0,则a=0, b = 0, c=0o
（2）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数。即闷2a,且同2-a
（3）若同=|臼,JillJ a=b a= -
（4）积的绝对值等于绝对值的积：卜而尸同小商的绝对值等于绝对值的商：（=工（b^0）6
（5）某数的绝对值的平方等于这个数的平方的绝对值等于这个数的平方：\a^=\a2\=a2o
3、绝对值几何意义的补充
同的几何意义：在数轴上，表示数a的点与原点间的距离。
,一〃|的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离。
一、专题精讲
（1）题型一、根据题设条件化简
若题目已经给出未知数的取值或取值范围，则可据此条件并结合绝对值的代数意义，进行绝对值的化简。如：已知x>2,化简|2x—3|-12一X，
解：Vx>2, A2x-3>0, 2—xVO, ?“2L3|=, |2~x|=
原式=
变式训练
1、已知 xV - L (1)化简 2一|A 一2| ： (2)化简 2—2—一2||
2、已知-2WxV3,化简 |x —3|—g 第+1
题型二、利用数形结合的方法化简绝对值
根据数轴，我们可以确定未知数的取值范围和大小关系，进而可以判断相关代数式的正负性，从而根据绝对值 的意义去掉绝对值的符号。
例题：(1)已知：实数a, b 在数轴上的位置如图所示，化简：-,-4
-- ---- ^1 4 ---- i ---- fc —L -1 a 0 b 1
(2)已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：时+卜4+//+。卜//-。|
——1 ------ 1 -- 1 --- >
a 0 b
要点提示：1.零点的左边都是负数，右边都是正数；
2 .右边点表示的数总大于左边点表示的数；
3 .离原点远的点表示的数的绝对值较大；
4 .在一个数的前面添加一个负号就可以得到这个数的相反数。
变式训练：
1.已知有理数a, b 在数轴上的位置如图所示，化简：+
30 b
2.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：卜+。卜卜?。| ??—?—
c a 0 b
题型三、零点分段讨论法
例题：化简2k—2| 一 |叶4|
分析：本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x-2、x+4的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况一一讨论。
解：令工一2 = 0得零点：x=2 ；令工+4=0得零点：x=-4 ,把数轴上的数分为三个部分（如图）
_I ________________ I _________ I --- >
-4 0 2
①当x22时，
②当-4WxV2时，
③当XV -4时，
综上所述，
归纳总结：虽然x-2、x+4的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，运用此方法的一般步骤是：
1.求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）；
2.分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定：
3.在各区段内分别考察问题；
4.将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案。
学法升华
—知识收
1、一个盒的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。即
a（a > 0）
|n| = < 0（。= 0）
-a（a < 0）
2、运用零点分段讨论法的优点的一般步骤：
（1）求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）；
（2）分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定：
（3）在各区段内分别分析解决问题：
（4）将各区段内的情形综合起来，得到整个问题的答案。
3、取绝对值符号的一般步骤
（1）先判定每个绝对值符号内该部分的正负；
（2）根据第一步的判断和绝对值的代数意义，去掉每个绝对值算式的绝对值符号；
（3）根据第二步的结论并结合原问题的情况进行最后的整式加减运算（注意去括号、系数等问题），得到最终的结果。
课后作业
1、已知a、b、c、d 满足a< - l 2、若卜-4,则有（） A、a>0 B、a<0 C、a< - 1 D、- l 3、已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么求|〃一.一上一4+，一《的值。 J --------- 1 ------------------- 1----- 1 ----------- a c0bx 4、有理数在数轴上对应的点（如下图），图中0为原点，化简,一4 + 口+4 +上一4一同。 I I II. " ￡0 6 笫 5、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2〃 -中斗,-力彳《 -------------- ? --- 1--------- J ---- > f 0 5 c 6、己知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：,+〃卜3b+1卜卜一0卜卜T a -1 0 c 7、若用A、B、C分别表示有理数a、b、c, 0为原点。如图所示，化简下列各式: A C 0 B (1)|?—c|+|Z??| |c—； (2)|- |- c M+|-〃+小 (3)2c4- pH-/7|+|cZ7|—|c-a] 8、化简：|;H-4|+2|_x—2| 9、已知a、b、c都是非零有理数，根据下列条件求值。 (1)若a+b+cVO,求到+也+比+上竺1的值；a b c abc ⑵若abc>。，求应+目+封+四的值：abc abc (3)若a+b+c<0, abc>0,求@+回+同 + ^1 的值。abc abc 10、(1)若\L6|+,T+8]=O ,则3a—4b=0 (2)若小+3|与互为相反数，则2a+〃=。 (3)已知整数％, a2, a3, a4,……满足下列条件：/=T, a^= -|?|+2|, a= -|?2+3|, a4= -|?3+4|, 册H= -%+〃+”(〃为正整数)，依此类推，则“2017=0 11 x 已知有理数a、b、c 满足a+b + c ! =a—b + c,且bHO,求a—b + c + 1 —： b —2 的值。 12、有理数〃、人在数轴上的对应点位置如图所示 a b ——?-------- 1 -- ? ----- 1 ---- > .1 0 1 (1)用“V” 连接0、一4、一反一1；(2)化简：同一2卜/+6—1| 一 ]?〃一]; (3)若"％+c<0,且c+b>0,求四+曰+廿H的值。 c+\ c—1 a—b+c 第8页共8页