2016届吉林省东北师范大学附属中学高三第六次模拟考试数学(文)试题

东北师大附中第六次摸底考试

数学（文）试卷

命题人：高三数学文科备课组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，共3页，考试时间120分钟. 注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔和2B 铅笔，将自己的准考证号、姓名和考试科目填写清楚。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试．．题卷上作答无效．．．．．．．

。 第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知是虚数单位，则(12)(2)i i -+=

（A ）43i - （B ）34i - （C ）34i -- （D ）43i -+ （2）已知集合{}{}

2,4,2,A a B a ==，且{}4A B = ，则A B =

（A ）{}2,4 （B ）{}2,4- （C ）{}2,2,4- （D ）{}4,2,4- （3）已知命题0

0:0,2

3x p x ?>=，则p ?是

（A ）,23x

x R ?∈≠ （B ）0,23x

x ?>≠ （C ）0,23x

x ?≤= （D ）0,23x

x ?≤≠ （4）已知向量a b ,的夹角的余弦值是

3

5

，且满足︱a ︱=︱b ︱1=，则︱+a b ︱= （A

（B

（C ）165 （D ）85

（5）已知,(

,)2A B B π

ππ+=∈，且1

sin ,3

B =则tan A = （A ）

1

3

（B

（C

） （D

（6）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）4

第（6）题图

（C ）6 （D ）12

（7）已知等比数列{}12()n a a a ≠的公比为q , 且714,,a a a 成等差数

列，则q =

（A

）或 （B

） （C

（D ）

（8）已知抛物线x y 22

=的焦点为F ，准线为，且与x 轴交于点E ，A 是抛物线上一点，

l AB ⊥，垂足为B ，2

17

=

AF ，则四边形ABEF 的面积等于 （A ）19 （B ）38 （C ）18 （D ）36 （9）已知函数()()f x x ∈R ，满足()(),(3)()f x f x f x f x -=--=，则(435)f = （A ）0 （B ）3 （C ）3- （D ）不确定

（10）甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到

达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 （A ）

716 （B ）916 （C ）34 （D ）14

（11）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的最长的棱长等于 （A

） （B ）3 （C

） （D ）9

（12）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>

的左焦点(F

作圆2

2(1

x y +=的切线，切点在双曲线上，则双曲线的离心率等于 （A

） （B

（C

（D

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，

每个试题考

正视图

侧视图

俯视图

第（11）题图

生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）在空间直角坐标系Oxyz 中，(1,2,3),(4,5,6)A B （14）某校为了调查高三年级参加某项户外活动的文科生和理科生的参与情况，用简单随机抽样，从报名参加活动的所有学生中抽取60名学生，已知每位学生被抽取的概率为0.05.若按文科生和理科生两部分采取分层抽样，共抽取30名学生，其中24名是理科生，则报名参加活动的文科生共有 人.

（15）已知函数()(sin cos )cos f x x x x =+，则()24

f π

-= .

（16）关于函数()ln f x x x =的五个命题：

①()f x 在区间1

(,)e

-∞-上是单调递增函数； ②()f x 只有极小值点，没有极大值点； ③()0f x >的解集是(1,0)(0,1)-?；

④函数()f x 在1x =处的切线方程为10x y -+=； ⑤函数()()g x f x m =-最多有3个零点.

其中，是真命题的有 （请把真命题的序号填在横线上）.

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，233n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11712,b a b b b ==?，求n T .

（18）（本小题满分12分）

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中

随机抽取8次，记录如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84

乙：92 95 80 77 83 80 90 85

（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；

（Ⅱ）经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为=85x 甲，=8525x 乙.，乙的方差为

2

36.4S ≈乙，现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？

请说明理由；

（Ⅲ）从甲、乙不低于85分的成绩中各抽取一次成绩，求甲学生成绩高于乙学生成绩的

概率.

（参考公式：])()()[(1

222212x x x x x x n

s n -++-+-=

）

（19）（本题满分12分）

在底面为正方形的四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，

E 、

F 是AS 、BC 的中点，

（Ⅰ）求证：//BE 平面SDF ；

（Ⅱ）若5AB =，求点E 到平面SDF 的距离. （20）（本题满分12分）

设椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，长轴长等于4，离心率为12

，

直线AB 过焦点1F 且与椭圆C 交于A B 、两点（A 在第一象限），12F AF ?与12F BF ?的面积比为7:3.

(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)求直线AB 的方程

（21）（本小题满分12分） 已知12a >

，函数3211

()(2)62

f x x a x b =+-+，()2ln

g x a x =，且曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处的切线互相垂直. （Ⅰ）求,,a b c 的值；

（Ⅱ）设()()()F x f x g x '=-，若对任意的12,(0,4)x x ∈，且12x x ≠，都有12()()F x F x =，

A

C

求证：124x x +>．（参考公式：1

(ln())',a x a x a

-=-为常数）.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，自圆O 外一点P 引圆O 的切线，切点为A ，

M 为AP 的中点，过点M 引圆的割线交圆O 于 B ，C 两点，且120BMP ∠= ，30BPC ∠= ， 8MC =．

（Ⅰ）求MPB ∠的大小；

（Ⅱ）记MAB ?和MCA ?的面积分别为MAB S ?和MCA S ?，求MAB

MCA

S S ??． （23）（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y α

αα=+??=?

为参数），曲线

2

22:12

x C y +=．

（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求12,C C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6

π

θρ=≥与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB ．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-

（Ⅰ）若不等式()2f x ≤的解集为[0,4]，求实数a 的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若0x ?∈R ，使得2

00()(5)4f x f x m m ++-<，求实数m 的取值范围．

东北师大附中第六次摸底考试

数学（文）试卷答案

一、选择题 ACBBD CBAAA BD

二、填空题 （13

） （14）240 （15

（16）①⑤ 三、解答题（17）解：（Ⅰ）由11233

233n n n

n S a S a ++=-??=-?得13n n a a +=，且13a =

则数列{}n a 为以3为首项公比为3的等比数列, 故3n n a =

（Ⅱ）设等差数列{}n b 的公差为d ，则由117123,b a b b b ===?，得363(3)d d +=+， 解得2d =，又113,b a ==21,n b n ∴=+ 2(321)2.2

n n n

T n n ++∴==+

18.解：（1）茎叶图：

乙组数据的中位数为84.

（2）计算2

222222221284(346710381)==35.588

S =

+++++++甲， 由22

36.4=35.5S S =>乙甲，说明甲学生发挥稳定，

由=85x 甲=8525x <乙.

，说明乙学生成绩稍高一些，如果想冒险一点取得好成绩，就派乙去参加，想保守一些就让甲去参赛. （只要学生理由充分，即可得满分）

（3）共有12个基本事件，其中，甲成绩高于乙成绩有7个基本事件，所以7

.12

P = （19）（Ⅰ）证明：取SD 的中点Q ,连接QF 、QE , 由于点E 为侧棱AS 的中点，Q 为SD 的中点 故在DAS ?中，QE 1

//2

AD , 由于F 是BC 的中点 故BF 1

//

2

AD ,

故QE //BF

故BFQE 为平行四边形

故//BE QF ，又QF ?平面1EFD ，BE ?平面1EFD 故//BE 平面SDF （Ⅱ）由DS ⊥面ABCD , 又AB ?面ABCE ,故DS ⊥AB

又AB AD ⊥,故AB ⊥面ADS ,又//BC 面ADS 故F 到面ADS 的距离为AB 的长，即为5. 设点E 到平面SDF 的距离为h . 又F SED

E SD

F V V --=

故2

551343h ?=

故h = （20）(Ⅰ)解：22

143

x y +=.

(Ⅱ)解：设直线AB 的方程是1x my =-与22

143x y +=联立得22(34)690m y my +--=

设1122(,),(,)A x y x y ，则122122634

934m y y m y y m ?

+=??+??=-

?+?

，

又12F AF ?与12F BF ?同底，所以12F AF ?与12F BF ?的面积比为127

3

y y -=， 所以1273y y =-

代入上式消去2y 得：216,9m =因为点A 在第一象限，.40,3

m m ∴>∴= 所以直线AB 为：3430x y -+=

（21）解 （Ⅰ）21()(2)2f x x a x '=+- ，3

(1)2

f a '∴=-， 2()a

g x x '= ，(1)2g a '∴=，依题意有(1)(1)1f g ''=-，3()212a a ∴-?=-，因为12

a >， 解得1a =；

又(1)(1)0f g ==，所以可得1

,03

b c =

=.

A

C

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1a =21()2ln 2F x x x x ∴=

--，(2)(1)

'()x x F x x

-+∴=

，所以可得()F x 在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以，若对任意的12,(0,4)x x ∈，且12x x ≠，都有12()()F x F x =，不妨设12024,x x <<<<

设()()(4)22ln 2ln(4)4,(2,4)G x F x F x x x x x =--=-+--∈，

可得2

2(2)()(4)

x G x x x -'=-，24,'()0,()x G x G x <<∴<∴ 单调递减，()(2)0G x G ∴<=

所以对2(2,4),()(4),(2,4),x F x F x x ∈<-∈ 22()(4),F x F x ∴<-12()()F x F x = ，

12()(4),F x F x ∴<-因为12(0,2),4(0,2)x x ∈-∈，而()F x 在(0,2)上单调递减，所以 124,x x >-即124x x +>.

（22）解：（Ⅰ）∵MA 是圆O 的切线，MC 是圆O 的割线，∴2MA MB MC =?，

又∵M 为AP 的中点，∴MA MP =， ∴2MP MB MC =?，且PMB CMP ∠=∠， ∴PMB CMP ?? ， ∴MPB MCP ∠=∠， 又∵180MPB MCP CMP CPB ∠+∠+∠+∠= ， 且120BMP ∠= ，30BPC ∠= ，∴MPB ∠=15 ．

（Ⅱ）MA 是圆O 的切线，∴MAB ACM ∠=∠，∴MAB MCA ?? ，∴

2

2

MAB MCA S MA S MC ??=， 在CMP ?中，8MC =，45CPM ∠= ， 15PCM ∠= ，

由正弦定理得：1)MP =-，∵MA MP =

，∴1)MA =-，

∴22MAB MCA S MA S MC ??===． （23）解：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y α

αα

=+??

=?为参数）可化为普通方程:22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθ

ρθ=??

=?

可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为

22(1sin )2ρθ+=．

（Ⅱ）射线(0)6

π

θρ=≥与曲线1C 的交点A 的极径为12cos

6

π

ρ==

射线(0)6

π

θρ=

≥与曲线2C 的交点B 的极径满足22

2(1sin )26

π

ρ+=，解得2ρ=

，

所以1AB ρ=-． （24）解：（Ⅰ）∵||3x a -≤，∴33a x a -≤≤+,

∵()3f x ≤的解集为[1,5]-，∴ 3135a a -=-??+=?

，∴2a =．

（Ⅱ）∵()(5)|2||3||(2)(3)|5f x f x x x x x ++=-++≥--+=,

∵0x ?∈R ，使得2

00()(5)4f x f x m m ++-<，即2

00()(5)4f x f x m m ++<+成立，

∴2min 4()m m f x +>，即245m m +>，解得5m <-，或1m >, ∴实数m 的取值范围是(,5)(1,)-∞-+∞ ．