2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)

2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]

2．（5分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）

A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx

4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）

A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或

5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）

A．12 B．10 C．D．

6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9

7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．

8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）

A．B．C．D．

9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182

10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函

数y=f（x）的图象（）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向左平移个单位

11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

12．（5分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数

的零点个数为（）

A．8 B．6 C．4 D．3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）展开式中的常数项为．

14．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则

z=?的最大值为．

15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一点，则|PA|2+|PB|2的最小值为．

16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．

（Ⅰ）求证：B=2A；

（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．

18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销

售量x的分布频率．

（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；

（Ⅱ）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．

19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．

（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；

（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．

20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．

21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．

（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】

22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy

的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

【选修4-5：不等式选讲】

23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．

（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；

（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]

【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，

B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，

∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．

故选：D．

2．（5分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【解答】解：∵=，

∴，

则在复平面内所对应的点的坐标为（﹣，﹣），位于第三象限角．

故选：C．

3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）

A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx

【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，

对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞0，

故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；

对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；

对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，

故函数f（x）不是偶函数，不合题意；

对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；

故选：A．

4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）

A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或

【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，

∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2s inα=﹣，

故选：C．

5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）

A．12 B．10 C．D．

【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，

∴a3+a5=q2+q4=6，

得q4+q2﹣6=0，

即（q2﹣2）（q2+3）=0，

则q2=2，

则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，

故选：A

6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9

【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算S=+++…的值．

由题意，S=+++…==1﹣≥0.99，可得：2k≥100，解得：k

≥7，

即当n=8时，S的值不满足条件，退出循环．

故选：C．

7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．

【解答】解：由几何体的三视图得：

该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，

其中长方体的长为4，宽为1，高为1，

半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，

∴该几何体的体积：

V=4×1×1+=4+．

故选：D．

8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）

A．B．C．D．

【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：

边长AB=a，

=?a2?sin=a2；

其中正三角形ABC的面积S

三角形

满足到正三角形ABC的顶点A、B、C

的距离至少有一个小于1的平面区域，

如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，

∴S

=?π?=，

阴影

∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：

P=1﹣=1﹣π．

故选：B．

9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182

【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+7=2a5，

∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．

则S13==13a7=13×7=91．

故选：B．

10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向左平移个单位

【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，

可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，

故选：D．

11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，

∴2=+，=，

∴+=，

∵，

∴?=0，

∴⊥，

∵，

不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，

∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，

∴m=a=2（﹣1）a，

∵|F1F2|=2c，

∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），

∴=9﹣6=（﹣）2，

∴e=﹣，

故选：A

12．（5分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数

的零点个数为（）

A．8 B．6 C．4 D．3

【解答】解：令f（x）=t可得f（t）=t+1．

作出f（x）的函数图象如图所示：

设直线y=kx+1与y=e x相切，切点为（x0，y0），则，

解得x0=0，k=1．

设直线y=kx+1与y=lnx相切，切点为（x1，y1），则，

解得x1=e2，k=．

∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点，

不妨设4个交点横坐标为t1，t2，t3，t4，且t1＜t2＜t3＜t4，

由图象可知t1＜0，t2=0，0＜t3＜1，t4=e2．

由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解，f（x）=t2有1解，f（x）=t3有3解，f （x）=t4有2解．

∴F（x）有6个零点．

故选：B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）展开式中的常数项为．

【解答】解：二项式展开式的通项公式为

T r+1=?x6﹣r?=??，

令6﹣=0，解得r=4；

∴展开式中的常数项为

?=．

故答案为：．

14．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=?的最大值为．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（），

∵=（2，3），=（x，y），

∴z=?=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，

直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．

故答案为：．

15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一点，则|PA|2+|PB|2的最小值为6．

【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0，

转化为：x2+（y﹣1）2=1，

则：圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d=，

由于AB为圆的直径，

则：点A到直线的最小距离为：．

点B到直线的距离为．

则：|PA|2+|PB|2==6，

故答案为：6

16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为．

【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，

∴小球可以经过的空间的体积：

V==．

故答案为：．

（Ⅰ）求证：B=2A；

（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，

由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．

因为A，B∈（0，π），

所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，

所以A=B﹣A，B=2A．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

由△ABC为锐角三角形得，

得，则0＜cosB＜，

由a+2acosB=2得，

又由0＜cosB＜，

则．

18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销

售量x的分布频率．

（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；

【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9n，n可取5，6，7，8，9，

代入中，

得，a=0.15．

销售量在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）内的频率分别是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3，

销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81．

（Ⅱ）销售量在[70，80），[80，90），[90，100）内的频率之比为2：3：3，所以各组抽取的天数分别为2，3，3．

X的所有可能值为1，2，3，

，

．

X的分布列为：

X123

数学期望．

19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．

（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；

（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA，可得OA=OB=OC．

设OA=a，则，A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，a），

设D点的坐标为（x，y，z），则由，

可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2，

解得x=y=z=a，

∴．

又平面OAB的一个法向量为，

∴，

∴CD∥平面OAB；

（Ⅱ）解：设F为AB的中点，连接CF，DF，

则CF⊥AB，DF⊥AB，∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．

由（Ⅰ）知，在△CFD中，，，

则由余弦定理知，

即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．

（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．

因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，

即点P的轨迹C的方程为．

（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．

当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，

把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，

由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．

设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．

所以=．

综上，△OAB的面积恒为定值2．

21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．

（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数，

，

令f'（x）=0得．

当且x≠0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．

所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在

上单调递增．

（Ⅱ）根据题意，注意到f（e）=g（e）=3e，则ae+b=3e，b=3e﹣ae①．

于是，ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0，

则记h（x）=a（x﹣e）+3e（1﹣lnx），，

若a≤0，则h'（x）＜0，得h（x）在（0，+∞）上单调递减，则当x＞e时，有h（x）＜h（e）=0，不合题意；

若a＞0，易知h（x）在上单调递减，在上单调递增，

得h（x）在（0，+∞）上的最小值．

记，则，得m（a）有最大值m（3）=0，即m（a）≤m（3）=0，

又m（a）≥0，故a=3，代入①得b=0．

当a=3，b=0时，f（x）≥ax+b即?2x3﹣3ex2+e3≥0．

记φ（x）=2x3﹣3ex2+e3，则φ'（x）=6x（x﹣e），得φ（x）在（0，+∞）上有最小值φ（e）=0，即φ（x）≥0，符合题意．

综上，存在a=3，b=0，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】

22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy

的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，

所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，

因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．

（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，

代入y2=4x，

并整理得4x2﹣8x+1=0，

所以，

=，

=．

【选修4-5：不等式选讲】

23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．

（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小

值；

（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）当时，，

∴，∴．∴，

∴，当且仅当m=n时等号成立，

∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，

故m+n的最小值为．

（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，

∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，

当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．综上：a≥1．

故实数a的取值范围是[1，+∞）．