2013-2014第一学期北京四中初三年级数学期中考试试题及答案

2013-2014第一学期北京四中初三年级数学期中考试试题及答案

2013-2014第一学期北京四中初三年级数学期中考试试题及答案

（时间：120分钟 满分：120分）

姓名： 班级： 成绩: ____________

一．选择题（每题4分，共32分）

1.抛物线2(1)4y x =+-的顶点坐标是（ ）

A ．（1,4）B.(-1,4) C.(1,-4) D.(-1,-4)

2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，4sinA 5=，则cosB 的

值等于（ ）

A ．53 B. 54 C. 43D. 55

3.如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、

BD ， 且AE 、BD 交于点F ，DE ：EC=2:3，则S △DEF :S △ABF =（ ）

A. 2：3

B.4：9

C.2：5

D.4：25

4.在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似

中心，相似比为2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E′的坐标是（ ）

A.(-2,1)

B.(-8,4)

C.(-8,4)或

(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)

8.小明从如图所示的二次函数2y ax

bx c =++（a≠0）

的图象中，

观察得出了下面五条信息： ①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c

＞0；⑤32a b =

你认为其中正确信息的个数有（ ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

二．填空题（每题4分共16分）

9.在△ABC 中，∠C =90°，3cos 32B a =

= ，则b=_________．

10.已知(-3，m ）、(1，m)是抛物线223y x

bx =++的两点，则b=____.

11.如图，是二次函数

21y ax bx c =++和一次函数2y mx n =+的图象，观察图象写出21y y >时，x 的取值

范围__________．

12. 已知二次函数2y ax

bx c =++图象的一部分如图，

则a 的取值范围是______．

三．解答题（本题共30分）

13.计算：. 101()8|12|2sin 60tan 602

-?++-?

14.如图，正△ABC 中，∠ADE=60°，

(1)求证：△ABD ∽△DCE

（2）若BD=2，CD=4，求AE 的长．

15.如图，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进(9

39)m -到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，求该建筑物AB 的高度.

16. 已知抛物线2234y x kx k =-++．

(1)顶点在y 轴上时，k 的值为_________.

(2)顶点在x 轴上时，k 的值为_________.

(3)抛物线经过原点时，k 的值为_______.

17.已知二次函数21

322y x x =--+

.

x y O （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；

（2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值范围；

（3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．

18.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，

E 为边AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，?=54sin B

求：(1)线段DC 的长；

(2)tan ∠EDC 的值．

四、解答题（本题共20分，19、20每小题5分21题6分22题4分）

19.如图，直角△ABC 中，90C ∠=?，5AB =5sin B =

，

点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连结AP．

（1）求AC、BC的长；

（2）设PC的长为x，ADP

?的面积为y．当x为何值时,y最大并求出最大值．

20.如图，直线3

x=相交于

=分别与直线2

y x

y x

=和2

点A、B，将抛物线2

=沿线段OB移动，使其顶

y x

点始终在线段OB上，抛物线与直线x＝2相交于点C，设△AOC的面积为S，求S的取值范围．

21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．

设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

22、当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化. 例如：

由抛物线22

()21

y x m m

=-+-②，

=-++-①有2

221

y x mx m m

所以抛物线顶点坐标为（m，2m－1），即x = m ③, y = 2m－1④.

当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因而y

的值也随x 值的变化而变化.

将③代入④，得y=2x －1⑤. 可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式：y=2x －1；

(1) 根据上述阅读材料提供的方法，确定点（－

2m, m －1）满足的函数关系式为_______.

(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线22211y x x m m m =-+++顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的

关系式.

五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题7分，第25题9分）

23. 已知二次函数22-++=a ax x

y （1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．

（2）设a<0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式．

（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，

使得△PAB P 点坐标，

若不存在请说明理由。

24. 已知：∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．

CB，过程如下：

易证

过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E

∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，

∴∠BCD=∠ACE．

∵四边形ACDB内角和为360°，

∴∠BDC+∠CAB=180°．

∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．

又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB

CB．

CB．

(1)当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变，则BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．

(2)MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，

CB=__________．

25.如图，抛物线2

=++经过点A（﹣3，0），B

y ax bx c

（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）

11O y x 参考答案 DBDCBCBD 9.1;10.4;11.-2

13. 原式＝322

2123222++-??=. 14.(略)

15.9;

16.(1)0;(2)-1，4;(3) 43

- 17.（1）画图(如图)； （2）当y ＜ 0时，x 的取值范围是x ＜-3或x ＞1；

（3）平移后图象所对应的函数关系式为

2211(2)2(2)22或写成y x y x x =--+=-+.

18.（1）CD=5;(2) tan ∠EDC=125

19.（1）在Rt ABC ?中，5

sin B =，25AB =，得5AC

AB =，

∴2AC =，根据勾股定理得：4BC =．

（2）∵PD ∥AB ，∴∽ABC ?DPC ?，∴12

DC AC PC BC == 设PC x =，则1

2DC x =，122

AD x =- ∴2211111(2)(2)122244ADP S AD PC x x x x x ?=?=-?=-+=--+

∴当2x =时，y 的最大值是1．

20.解：由题意，得A （2，6），B （2，4）

设直线2=x 与x 轴相交于点D ，则AD ＝

∵抛物线2y x

=的顶点在线段OB ：2y x =上移动

∴设抛物线的解析式为22（-m)y x m =+（0当x ＝2时，22224（2-m)y m m m =+=-+

即22224,6(24)22m CD m m AC m m m =-+=--+=-++

∴22211()24222()2

132－＋＋＝－＋＋＝－－＋S AC m m m m m OD ?=?= ∵0≤m ≤2，

∴2≤S ≤3.

21.（1）2(21010)(5040)101102100y x x x

x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）；

（2））当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

（3）当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元

22.（1）12x y =--（2）x

x y 1+= 23.（1）因为△=04)2()2(422>+-=--a a a

所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．

（2）此二次函数的解析式为23

=--

y x x

（3）存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)．

24.（1）如图（2）：AB﹣2CB．

证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB为等腰直角三角形，

2．

又∵BE=A B﹣AE，

∴BE=AB﹣BD，

∴AB﹣BD=2CB．

如图（3）：BD﹣AB=2CB．

（2）CB =3+1；或CB=3-1

25.解：（1）∵抛物线2

=++经过点A（﹣3，0），

y ax bx c

B（0，3），C（1，0），

∴，解得，

所以，抛物线的解析式为223

y x x

=--+；

（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x轴，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周长越大，

易得直线AB的解析式为y=x+3，

设与AB平行的直线解析式为y=x+m，

联立，

消掉y得，2330

++-=，

x x m

当2341(3)0m ?=-??-=，

即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时332115,2244

x y =-=-+=， ∴点P （﹣，）时，△PDE 的周长最大； ②抛物线223y x

x =--+的对称轴为直线212(1)x -=-=-?-，

（i ）如图1，点M 在对称轴上时，过点P 作PQ⊥对称轴于Q ，

在正方形APMN 中，AP=PM ，∠APM=90°，

∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°， ∴∠APF=∠QPM，

∵在△APF 和△MPQ 中，

，

∴△APF≌△MPQ（AAS ），

∴PF=PQ，

设点P 的横坐标为n （n ＜0），则PQ=﹣1﹣n ， 即PF=﹣1﹣n ，

∴点P 的坐标为（n ，﹣1﹣n ），

∵点P 在抛物线223y x

x =--+上，

∴2231n n n

--+=--， 整理得，240n n +-=， 解得12117117(舍去），n n -+--==， 11711711n ---+--=--=，

所以，点P 的坐标为（

，）； （ii ）点N 在对称轴上时， 同理：点P 坐标为（﹣﹣1，2）．