Boltzmann方程的量子修正

中国科学 G辑:物理学 力学 天文学 2008年 第38卷 第9期:1178~1187 https://www.360docs.net/doc/d14079760.html, https://www.360docs.net/doc/d14079760.html,

1178 《中国科学》杂志社SCIENCE IN CHINA PRESS

Boltzmann方程的量子修正

王正川①*, M. Levy Peter②

①中国科学院研究生院物理科学学院, 北京 100049;

②Department of Physics, New York University, New York, NY10003

* E-mail: wangzc@https://www.360docs.net/doc/d14079760.html,

收稿日期: 2007-05-31; 接受日期: 2007-12-18

国家自然科学基金(批准号: 10404037)和中国科学院研究生院科研启动基金(编号: 055101BM03)资助项目

摘要讨论了经典玻尔兹曼分布函数的量子修正项及其满足的方程. 我们将用于推导量子玻尔兹曼方程的梯度近似中的普朗克常数明显地写出, 并且将量子Wigner分布函数用普朗克常数展开, 经过推导就可以得到量子修正项所满足的方程. 量子Wigner分布函数的普朗克常数展开式中的一阶和高阶项正好是量子修正项, 它们可具有负值, 而零阶项则具有正值. 这样我们自然在量子Wigner分布函数中分离出正的分布函数, 避免了用Husimi方法做粗粒平均取得正值的传统框架. 另外我们也用量子Wigner分布函数普朗克常数展开的方法讨论了量子热力学熵的经典极限这一问题. 关键词

量子玻尔兹曼方程Wigner分布函数量子修正项

Boltzmann方程描述的是单粒子的非平衡分布函数如何随时间空间变化的运动方程[1~5]. 通常它只适用于稀薄的单原子分子气体动力学的研究, 但是近年来一些人开始用它来研究介观系统的输运问题, 如用它来研究磁性多层膜系统中的自旋极化隧穿现象[6~11]. 可是常用的经典Boltzmann方程不适用于描述诸如磁性多层膜表面那样的尺度非常小的区域, 所以人们怀疑它应用于介观系统输运问题的研究是否正确. 事实上, 经典Boltzmann方程仅适用于介观系统中没有明显的量子干涉效应的耗散输运过程的研究.

可是量子Boltzmann方程却有助于克服经典Boltzmann方程的上述局限性. 利用非平衡Green函数理论, Kadanoff和Baym得到了量子形式的Boltzmann方程. 它实际上是一个关于Green函数的运动方程, 其中经典Boltzmann方程中的分布函数在这里变成了量子Wigner分布函数[12~14]. 量子Boltzmann方程和经典Boltzmann方程形式上具有相似性, 因此人们尝试着用它来研究介观系统中的输运问题. 然而量子Boltzmann方程也有它适用的局限性[12~14], 而且还会碰到负几率的困难[15~17].

这是因为在量子Boltzmann方程中引入了所谓的Wigner分布函数[12~14], 这个分布函数中

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包含了量子关联的影响, 所以不总是正定的, 它不能象经典分布函数那样被简单地解释成几率分布函数, 当然也不能用它来求物理量的平均值了. 为了克服量子Boltzmann 方程中出现的负几率困难, Husimi [16]对Wigner 分布函数进一步做了粗粒平均. 平均后的新的分布函数是正定的. 但是由于做了粗粒平均, 最后得到的分布函数的空间分辨精度被大大降低了[15].

本文尝试着用另外一种办法解决负几率困难. 为此, 我们重新考查了在得到量子Boltzmann 方程中必须采用的“梯度近似” [12~14], 如果我们在“梯度近似”中将Planck 常数明显地写出, 那么“梯度近似”就不光是原来的关于空间和时间梯度的展开, 而且也是关于Planck 常数的展开. 进而我们在用如此形式的“梯度近似”来推导量子Boltzmann 方程, 最后便可得到关于量子修正项所满足的方程. 展开的零阶项对应于经典的Boltzmann 方程, 而高阶项正是我们所要的量子修正项所满足的方程. 我们可以用这些量子修正项来估计介观系统中感兴趣的量子效应. 我们也将量子Wigner 分布函数用Planck 常数展开, 在展开中的零阶分布函数总是正定的, 而高阶量子修正项可以有负值. 通过这样的展开有助于我们克服负几率困难, 因为我们能自然地将出现负几率的量子修正项分离出来, 而留下具有正值的零阶分布函数, 并且没有象Husimi 分布函数那样降低正的零阶分布函数的空间分辨精度. 零阶分布函数描述粒子的经典的轨道, 而量子修正项描述由于量子涨落而造成的对经典轨道的偏离.

上述方法不仅可以用于研究介观系统中的输运问题, 而且还可以用于研究量子热力学熵[18]和经典热力学熵之间的关系. 我们的结果显示, 在0→=的经典极限下, 量子热力学熵可以自然地过渡到经典热力学熵.

1 梯度展开近似

Green 函数G <的定义为费米子场算符()x Ψ在两个不同时空点的关联[12]: 122(,)i ()(),x G x x x x ΨΨ<+= (1) 其中(,)i i i x t =r , (1,

2)i =是四维时空中的矢量, 括号表示对系统非平衡分布中所有可能的态求平均. 而量子Boltzmann 方程中量子Wigner 分布函数被定义为Green 函数G <的Fourier 变换[12~14], 即

3(,,)i d exp(i )d exp(i )(,,,),f k R T t t G t R T ω<=???∫∫r k r r (2) 其中121(,)()2R T x x =

+为质心坐标, 12(,)t x x =?r 为相对坐标, (,)k ω=k 为波矢空间的四维矢量. 我们知道Green 函数G <满足的运动方程为[13] 1123t 133213t 321i ()(,)d [(,)(,)(,)(,)],H x G x x x x x G x x x x G x x t <<

∫ (3) 其中1()H x 是系统的哈密顿量, <Σ和t Σ分别为系统的小于和时序的自能. t G 为系统反时序的Green 函数. 对方程(3)中的相对坐标(,)t r 做Fourier 变换, 便可得到量子Wigner 分布函数满足的方程[13]:

33(,,)i d exp(i )d exp(i )d R k U f k R T t t x T R ω????=???+??????????∫∫∫r k r v

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t 133213t 32t 133213t 32[(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)],x x G x x x x G x x G x x x x G x x x x <<<<×Σ?Σ?Σ+Σ (4) 其中3(,,)i d exp(i )d exp(i )(,,,)f k R T t t G t R T ω<≡???∫∫r k r r 为量子Wigner 分布函数, t Σ为系统反时序的自能, t G 为系统时序的Green 函数, v 为电子运动的速度. 我们的讨论中已经在导体中施加了一个外加电场()U R . 在方程(4)中, 我们遇到了Fourier 变换的卷积形式33t t t t d exp(i )d exp(i )d [].t t x G

G G G ω<<<

331332d exp(i )d exp(i )d [(,)(,)],I t t x A x x B x x ω=??∫∫∫r k r (5) 其中13(,)A x x 和32(,)B x x 可以代表卷积中的自能函数或Green 函数. Mahan [13]指出上述卷积形式可以展开为 22222222222i (,)(,)2i 11 ,22!2!A B B A I A k X B k X X k X k A B B A A B X k X k X k X k ??????=+?????????

??????????+++?????????????????" (6)

上述展开实际上是围绕质心坐标(,)R T 的Taylor 展开, 其中(,)X R T =, (,)k ω=k . 当A 和B 随变量(,)X k 变化比较慢时, 我们可以忽略掉展开式中的高阶导数项, 而只保留前两项, 这就是所谓的梯度近似.

应当指出的是, 通常分布函数中出现的变量是动量p 而不是波矢k . 如果我们用动量这个变量来代替方程(5)中的波矢k , 那么方程(5)中的Wigner 变换应当变为

331332d exp d exp d [(,)(,)],i i I t x A x x B x x t ε????=??????????

∫∫∫==p r r 这正是Wigner 变换的原始形式[19]; 那么梯度近似中的Taylor 展开将变为 22222222222i (,)(,)211i ,2!2!2A B B A I A p X B p X X p X p A B B A A B X p X p X p X p ???????=+??????????????????+++???????????????????==" (7)

这不仅是一个关于梯度的展开, 而且也是一个关于Planck 常数的展开, 其中(,)p ε=p 是动量空间中的四维矢量.

2 在Boltzmann 方程中的应用

采用类似于Kadanoff 和Baym 的推导方法[12], 并且应用上述形式的梯度近似, 我们可以得到下面形式的量子Boltzmann 方程: r r (,,)2π() 2πi [,Re ]2πi [Re ,],R p U f p R T G G T R G G ><<><

?Σ?Σ==v (8)

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1181 其中3(,,)i d exp d exp (,,,)i i f p R T t G t R T t ε

∫∫==p r r r 是量子Wigner 分布函数, p = (,),εp (,,),p R T >Σ (,,),p R T <Σ r (,,)p R T Σ是系统的大于、小于、推迟自能关于相对坐标的(,)t r 的Fourier 变换形式, 而(,,),G p R T > (,,),G p R T < r (,,)G p R T 是系统的大于、小于、推迟Green 函数关于相对坐标的的Fourier 变换形式. 另外方程中的Poisson 括号被定义为[A , B ] = A B B A X p X p

?????????. 值得指出的是Planck 常数已经出现在上述的Boltzmann 方程中, 这不同于文献[12~14]中量子Boltzmann 方程的形式, 如在Poisson 括号[,]A B 中的导数是对动量p 求导而不是象Mahan 文章中的关于波矢k 求导, 因此在我们方程中出现的Planck 常数项正好代表了量子修正项.

在推导量子Boltzmann 方程(8)的过程中, 我们已经采用了方程(7)中形式的梯度近似. 为了进一步研究这些量子修正项, 我们将采用一个具体的自能来进行计算. 我们考虑电子被杂质散射这样一个问题. 在Born 近似下[14], 对杂质平均后的电子自能可以写为 ()2()3d |()|(,),(2π)i p n V p p G p X ><><′

′′Σ=?∫ (9)

其中()V p 是杂质势()V r 的Fourier 变换形式, i n 是杂质的布居. 电子被杂质散射后的量子Boltzmann 方程为 2323r r d (,,)2π|()|(,,)(,,)(2π)

d 2π|()|(,,)(,,)(2π)

2πi [,Re ]2πi [Re ,],i R p i p U f p R T n V p p f p R T f p R T T R p n V p p f p R T f p R T G G <<′????′′′=??+??????????′′′′???Σ?Σ∫∫==v (10)

其中Wigner 分布函数为(,,)i (,,)f p R T G p R T <=?, (,,)i (,,)f p R T G p R T >′′′=?. 由于Planck 常数的出现, 上述方程自然成为我们研究量子修正效应的出发点.

类似于半经典近似, 我们对Wigner 分布函数做关于Planck 常数的展开:

2012(,,)(,,)(,,)(,,),f p R T f p R T f p R T f p R T =+++==" (11) 其中零阶分布函数0(,,)f p R T 对应于经典的Boltzmann 分布函数. 由方程(10), 0(,,)f p R T 满足如下的经典Boltzmann 方程:

20003d (,,)2π|()|(,,)(,,)(2π)

i R p p U f p R T n V p p f p R T f p R T T R ′????′′′=??+??????????∫v 2003d 2π|()|(,,)(,,),(2π)i p n V p p f p R T f p R T ′

′′′??∫ (12)

而Wigner 分布函数中反映量子关联效应的一阶量子修正1(,,)f p R T 满足如下的方程: 21013d (,,)2π|()|((,,)(,,)(2π)

i R p p U f p R T n V p p f p R T f p R T T R ′????′′′=??+??????????∫v

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1182 1001r r 100000(,,)(,,)(,,)(,,)

(,,)(,,))2πi([,Re ][Re ,]),f p R T f p R T f p R T f p R T f p R T f p R T G G <<′′′′+?′′??Σ+Σ (13)

其中0<Σ和r 0Σ是自能<Σ和r Σ关于Planck 常数的零阶展开项, 而0G <和r 0G 是Green 函数G <和r G 关于Planck 常数的零阶展开项.

至此我们已经得到了Wigner 分布函数中经典的零阶分布函数和一阶的量子修正项, 并且得到了它们满足的运动方程. 当然我们仍须进一步估算它们在介观系统中的效应, 分析出究竟是什么因素控制着量子修正项的大小. 值得指出的是半经典近似(11)和梯度近似(7)只适用于那些量子效应足够小的系统, 因而我们可以忽略掉展开式中的高阶项而只保留零阶项和一阶的量子修正项.

3 弛豫时间近似

方程(12)和(13)是非线性的微分积分方程, 有许多求解这类Boltzmann 方程的方法. 这里我们只采用弛豫时间近似的方法来计算电子被杂质散射问题中的量子效应. 利用弛豫时间近似我们可以简化方程(12)中的散射项, 将方程(12)变为 0000(,,)(,,),R p f p R T f U f p R T T R τ?????=+??????????

v (14) 其中0τ是对应于经典过程的弛豫时间, "表示对动量求平均. 类似的, 如果我们引入量子弛豫时间1τ来对方程(13)中的散射项做近似, 则方程(13)可变为

1111(,,)(,,)R p f p R T f U f p R T T R τ?????=+??????????v r r 00002πi[,Re ]2πi[Re ,],G G <

为了简单起见, 我们只考虑有杂质的一维导体中的电子输运问题, 并且也不考虑分布函数对能量ε的依赖性. 在此情形下p 只是一维的动量, 而x 是一维导体中的位置变量. 通常只有靠近Fermi 面的电子才会对电子输运有贡献, 所以对于各向异性系统, 我们可以采用下面的近似, 即0FD (,,)(),p p f p R T f p ?≈? 0FD (,,)(),f p R T f p ≈ 其中FD f 是Fermi 分布函数[8]. 可是由于这个近似过于简单, 我们只能得到平凡解: FD 0FD 0()(,,)(),f f p R T f p eEv ετε

?≈+? (16) 所以我们应当采用一个更合理的近似以便得到一个非平凡解, 如采用0(,,)p f p R T ?≈ FD ()(),p f p g T ??

0FD (,,)()(),f p R T f p g T ≈? 其中()g T 是一个依赖于T 的函数. 采用这个近似, 方程(14)可以用Fourier 变换的方法求解, 它的解为 FD FD 0000

()()i (,,)exp ,f p f T eEv f p R T G ετττε?????????+≈???????????

?? (17)

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其中G 是函数()g T 的Fourier 变换形式. 由于0i G τ???????

是一个常数, 它可以被最终归一化掉. 当然我们也可以采用另外一种形式的近似, 如0FD (,,)()(),p p f p R T f p g R ?≈?? 0(,,)f p R T ≈ FD ()(),f p g R ? 其中()g R 是一个依赖于R 的函数; 在此情形下, 方程(14)的解可表示为 FD FD 0()()i (,,)exp ,f p f R f p R T G eE ελλλ

ε???????≈??+????????????? (18) 其中0v λτ≡是平均自由程. 当然()i /G λ?由于是常数也可以被归一化掉. 无论是解(17)式还是

(18)式都随位置或时间指数衰减.

量子修正项所满足的方程(15)也可以用Fourier 变换的方法求解, 它的解为

21term 111(,,)11(,,)exp i i 2p F p q F p F p q p q p eE eE eE m ???ττ???′?????=+++??????????

???????∫ 2111'1exp d ,i i 2p p C p q p eE m ?τ??????′′′×?+++?????????????

(19) 其中1(,,)F p q ?是一阶分布函数1(,,)f p R T 的Fourier 变换: 111(,,)d d exp(i )exp(i )(,,),2πf p R T q qR T F p q ???+∞

+∞?∞?∞=??∫∫ (20)

其中出现的常数1C 最后可由边界条件确定. term F 是方程(15)右边所有项, 即r 2πi[,Re ]G

4 Boltzmann 方程的解

图1~3是零阶和一阶分布函数变化的曲线. 我们研究的是一个含有杂质的一维导体中的电子输运问题, 其中导体中存在一个外加电场E . 图1是零阶和一阶分布函数随时间变化的曲线, 在这里变量p 和R 保持不变. 由于零阶分布函数对应于经典情形, 它的值总是正的. 而反映量子关联效应的一阶量子修正则可以有负值, 这使得总的Wigner 分布函数在空间中有负 值[15,16]. 但是我们能将Wigner 分布函数中的负值部分(即量子修正项)非常自然地分离出来, 从而避免了进一步做Husimi 式的粗粒平均. 这样我们不仅能得到有物理意义的零阶正定的分布函数, 而且我们也可以得到非常有趣的一阶量子修正项. 并且在我们的方案中, 我们并没有降低分布函数的空间分辨精度.

如果我们用0f 和1f 来计算位置的平均值, 我们会看到由零阶分布函数得到的位置平均值对应于经典轨道, 而由一阶分布函数得到的位置平均值则对应于由于量子涨落影响所造成的对经典轨道的偏离. 如果系统中的量子效应足够小, 以至于我们可以忽略掉展开式(11)中的高阶项, 这时总的Wigner 分布函数便可以是处处正定的了. 图1中插图表示采用不同的外加电场下量子修正的变化曲线, 这时量子修正是非常小的. 插图中实线对应于E = 1 mV/nm 情形下的量子修正的实部的变化曲线, 而点画线对应于E = 5 mV/nm 情形下相应的曲线. 从这些曲线

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图1 零阶和一阶分布函数随时间变化的曲线

实线对应于零阶分布函数, 点画线和虚线分别对应于一阶量子修正的实部和虚部. 图中位置变量和Fermi 能级处的动量取为常数, 即x 0 = 16 nm, p 0 = 0.48×10?25 M ·m/s(M 是质量单位, m 是长度单位米, s 是时间单位). 经典的弛豫时间取为τ0 = 1 ps, 量子的弛豫时间取为τ1 = 0.1 ps; 温度为T = 20 K, 外加电场取为E = 1 mV/nm. 插图中, 可以很好地看到一阶量子修正随时间变化的情况, 实线和虚线分别对应于一阶量子修正的实部和虚部随时间的变化, 其中外加电场取为E = 1 mV/nm; 点画线和虚点画线对应于电场取为E = 5 mV/nm 时一阶量子修正的实部和虚部随时间的变化情形

我们可以看到, 当外加电场增大时, 量子效应将增大.

图1中我们画出了f 1的实部和虚部曲线. 他们的数值大小相当, 但都比f 0的数值小. f 1的大小主要由杂质散射的自能、外加电场和围绕Fermi 面的动量变化所决定. 零阶分布函数随时间变化而指数衰减, 衰减的快慢是由它所对应的弛豫时间决定的. 在图2中我们画出了零阶和一阶分布函数随动量p 变化的曲线. 我们看到, 零阶分布函数在Fermi 动量处有一个峰. 在图3中我们则画出了零阶和一阶分布函数随位置x 变化的曲线, 它们的变化特征类似于图1中曲线的变化特征.

5 量子热力学熵的经典极限

半经典近似展开能使我们非常方便地讨论Wigner 分布函数的经典极限情形. 在经典极限近似下0→=, 量子分布函数趋于经典的分布函数0(,)f p X . 相应的我们也可以讨论其他一些

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图2 零阶和一阶分布函数随动量变化的曲线

实线对应于零阶分布函数, 点画线和虚线分别对应于一阶量子修正的实部和虚部. 图中位置变量和时间变量取为常数, 即x 0 = 16 nm, t 0 = 0.8 ps. 经典的弛豫时间取为τ0 = 1 ps, 量子的弛豫时间取为τ1 = 0.1 ps; 温度为T = 20 K, 外加电场取为E = 1 mV/nm. 插图中, 我们可以很好地看到一阶量子修正随动量变化的情况. 实线和虚线分别对应于一阶量子修正的实部和虚部随动量的变化, 其中外加电场取为E = 1 mV/nm. 点画线和虚点画线对应于电场取为E = 5

mV/nm 时一阶量子修正的实部和虚部随动量的变化情形

物理量的经典极限, 如量子热力学熵的经典极限. 量子热力学熵的定义为[18]

Q Tr ln ,S k ρρ=? (21) 其中ρ是对应于量子态的密度算子, k 为Boltzmann 常数. 当我们在坐标表象中讨论问题时, 量子热力学熵可以表为

Q 121221d d (,)ln (,),S k x x x x x x ρρ=?∫∫ (22) 其中12(,)x x ρ是密度矩阵ρ的分量1221(,)||x x x x ρρ=, 在坐标表象中方程(21)中的求迹变成了对坐标变量1x 和2x 的积分. 通过对密度函数12(,)x x ρ做Fourier 变换, 我们可以将密度函数12(,)x x ρ和量子Wigner 分布函数联系起来, 即[1] 1(,)d exp ,i ,2π22p x x f p X x x X X ρ????=?+?????????

∫== (23)

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图3 零阶和一阶分布函数随位置变化的曲线

实线对应于零阶分布函数, 点画线和虚线分别对应于一阶量子修正的实部和虚部. 图中时间变量和Fermi 能级处的动量取为常数, 即t 0 = 0.8 ps, p 0 = 0.48×10?25 M ·m/s. 经典的弛豫时间取为τ0 = 1 ps, 量子的弛豫时间取为τ1 = 0.1 ps; 温度为T = 20 K, 外加电场取为E = 1 mV/nm. 插图中, 我们可以很好地看到一阶量子修正随位置变化的情况. 实线和虚线分别对应于一阶量子修正的实部和虚部随位置的变化, 其中外加电场取为E = 1 mV/nm. 点画线和虚点画线对应于

电场取为E = 5 mV/nm 时一阶量子修正的实部和虚部随位置的变化情形

其中1,2x X x += 2,2

x X x ?= x 是相对坐标. 经过Fourier 变换后, 量子Wigner 分布函数中出现的是动量p 和质心坐标X , 而不再是粒子位置1x 和2x 了. 利用这个结果我们可以将量子热力学熵表示为

Q d d (,)ln (,),S k p X f p X f p X =?∫∫ (24) 由于量子Wigner 分布函数能用Planck 常数展开, 如果我们将这个展开代入到量子热力学熵的

表达式中, 我们就可得到 Q 0101d d [(,)(,)]ln[(,)(,)],S k p X f p X f p X f p X f p X =?++++∫∫="=" (25) 显然在经典极限下0→=, 量子热力学熵约化为经典热力学熵:

C 00d d (,)ln (,),S k p X f p X f p X =?∫∫ (26)

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1187 由于0(,)f p X 是经典分布函数, 除了常数项的差别外, 方程(26)正是经典热力学熵. 因此在经典极限下, 量子热力学熵可以非常自然地过渡到为经典热力学熵.

上面的讨论提供了一条将量子热力学熵和经典热力学熵在经典极限下联系起来的途径. 虽然这个问题已经被Beretta [18]用非常抽象和严格的方法讨论过了, 但我们的讨论有助于理解这个问题.

6 结论

经过在梯度近似展开中引入Planck 常数, 我们从量子Wigner 分布函数中分离出了经典的分布函数和量子修正项. 而且进一步得到了它们所满足的方程. 我们没有利用Husimi 的粗粒平均的方法去处理Wigner 分布函数中由于存在量子关联而出现的负值问题. 利用半经典近似展开非常自然地从Wigner 分布函数中分离出负的量子修正项. 最后也利用这个半经典近似展开讨论了量子热力学熵的经典极限.

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