专题 含参函数单调性的分类讨论问题
含参函数单调性的分类讨论问题
一、含参函数单调性讨论步骤
1.求定义域；
2.求导数；
3.数轴标根；
4.判断导数正负；
5.确定函数的单调性（单调区间）.
二、常见含参函数的形式分类
1.一次函数形式
??
???→-=→>→-=→<→+=单调区间数轴标根单调区间数轴标根(0(0)(k b x k k b x k b kx x f 2.二次函数形式
)
)(()()(212x x x x a x f c bx ax x f --='→→++=因式分解???
?????????→<>→>→→<→→=?→→<>→=→单调区间或比较两根大小单调区间数轴标根单调区间数轴标根不能判断或一次函数讨论形式讨论参数)(0000002121x x x x a a a 3.指数函数形式（含x
e ）???→++='→++='→→=根据参数分类讨论根据参数分类讨论因式分解的式子含))(()())(()()()(c bx a e x
f c e b e a x f e x f x x x x
题型一一次函数型
例1.1讨论函数ax x x f -=ln )(的单调性.【解析】
练1.1已知函数x a ax x x f )12(ln )(2
+++=，讨论)(x f 的单调性.【解析】
题型二二次函数型
例2.1设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈，讨论()f x 的单调性.
【解析】由题意，()2121'2,0ax f x ax x x x
-=-=>①当0a 时，2210ax -≤，()'0f x ≤，()f x 在()0,+∞上单调递减.
②当0a >时，令()0f x '=，有
x =，当x ∈时，()'0f x <；当)x ∈+∞
时，()'0f x >，故()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增.
练2.11已知函数1()ln f x x a x x
=-+，讨论()f x 的单调性.【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，222
11()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．①若2≤a ，则()0'≤f x ，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减．
②若2a >，令()0f x '=
得，2a x =
或2
a x =．
当(0,)(,)22
a a x -+∈+∞ 时，()0f x '<；
当(,22a a x ∈时，()0f x '>．所以()f x
在(0,2a
，(,)2++∞a
单调递减，在(,22
a a +单调递增．练2.12设函数1()ln 1
x f x a x x -=++，其中a 为常数．讨论函数()f x 的单调性．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222
2(22)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +++'=+=++，（1）当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，
（2）当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22
(22)44(21)a a a ?=+-=+，①当12
a =-时，0?=，221(1)2()0(1)x f x x x --'=≤+，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，②当12a <-
时，0,()0g x ?<<，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，③当102
a -<<时，0?>，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，
则1(1)a x a -++=
，2(1)a x a -+=，
由11a x a
+-=-0a =>-，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，综上可知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞
上单调递减；当102a -<<时，()f x 在(1)(0,a a -++，(1)(,)a a
-++∞
上单调递减，在(1)(1)(
,a a a a -+-+上单调递增．例2.2已知函数32()22f x x ax =-+，讨论()f x 的单调性.
【解析】2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得0=x 或3a x =.①若0>a ，则当(,0),3a x ??∈-∞+∞ ??? 时，()0f x '>；当0,3a x ??∈ ???
时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ??-∞+∞ ???单调递增，在0,3a ?? ???
单调递减；②若0=a ，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；