高中空间几何所有证明题图形汇总

1、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面

BDE 。

2、已知ABC ?中90ACB ∠= ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．

3、已知正方体1111ABCD A BC D -，

O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．

4、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；

（2）''BD ACB ⊥平面.

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

S

D

C

B

A

D 1O

D

B A

C 1

B 1

A 1

C

N M P C B

A

5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．

6、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，

3AN NB =

（1）求证：MN AB ⊥；

（2）当90APB ∠= ，24AB BC ==时，求MN 的长。

7、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，

E 、

F 、

G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG .

A

1

8、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点.

（1）求证：1//AC 平面

BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .

9、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；

（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．

10、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等

边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．

（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；

11、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．Array

求证：AH⊥平面BCD．

3. 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC

又EO 在平面BDE 内，1AC 在平面BDE 外 ∴1//AC 平面

BDE 。 考点：线面平行的判定

4. 证明：90ACB ∠=∵° B C A C ∴⊥

又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥

又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定

5. 证明：（1）连结11AC ，设

11111AC B D O ?=，连结1

AO

∵ 1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O

C AO = 11AOC O ∴是平行四边形

111,C O AO AO ∴?∥面11AB D ，1

C O ?面11AB

D ∴C 1O ∥面11AB D

（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!C C B D

∴⊥ 又1111AC B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 111A C B D

⊥即 同理可证11AC AD ⊥， 又1111D B AD D ?= ∴1

AC ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 考点：线面垂直的判定

7. 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ?平面B 1D 1C ，B 1D 1?平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．

而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．

(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．

从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

9. 证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点，

∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB

∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND =[来源:学§科§网] ∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥

（2）∵90APB ∠= ，,PA PB =∴1

22

PD AB ==，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥，且

1

12

MQ BC ==，∴MN =考点：三垂线定理

10. 证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ?平面BDG ，BD ?平面BDG ∴EF ∥平面BDG

∵1D G

EB ∴四边形1

DGBE 为平行四边形，1D E ∥GB 又1D E ?平面BDG ，GB ?平面BDG ∴1D E ∥平面BDG

1EF D E E ?=，∴平面1D EF ∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） 证明：（1）设AC BD O ?=，

∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1AC ∥EO

又1

AC ?平面BDE ，EO ?平面BDE ，∴1AC ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，1AA BD ⊥

又BD AC ⊥，1AC AA A ?=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ?平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12.证明：在ADE ?中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ?平面ABCD ，∴PA DE ⊥ 又PA AE A ?=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角

在Rt PAD ?，PD =Rt DCE ?中，DE =

在Rt DEP ?中，2PD DE =，∴030DPE ∠= 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13. 证明：（1）ABD ?为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD

（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ?=，∴AD ⊥平面PBG ，

PB ?平面PBG ，∴AD PB ⊥

（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥

∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角 在Rt PBG ?中，PG BG =，∴045PBG ∠=

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

14. 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．

∵AD BD =，∴DF AB ⊥． 又CF DF F = ，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B ?=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．

∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ?=，

∴ AH ⊥平面BCD ．

考点：线面垂直的判定