矩阵分析课后习题解答(整理版)

第一章:

第二章线性空间与线性变换

（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）

（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）

.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 .证明同。

.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）

.提示：设),)(-

?==n j i a A n

n ij （，分别令T

i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行）

，代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得

0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为

反对称阵。若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令

T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='

=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j

行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A

.AB 是Hermite 矩阵，则AB

BA A B AB H H H ===)(

.存在性：令2

,2H

H A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,

唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由

111

1C B C B A H

H H -=+=，得C A A C B A A B H

H =-==+=

,211（矛盾)

…

第二章酉空间和酉变换

（注意实空间与复空间部分性质的区别）

法二：设~

2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T

n i ==（1在第i 行）；

2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T

n j ==（1在第j 行）

根据此题内积定义?

?≠===j i j i X Y e e H j i 01),~

~（故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

，

（注意，在无特别定义的情况下，内积的定义默认为X

(）

)

X H