电磁场理论知识点总结
电磁场与电磁波总结
第1章 场论初步
一、矢量代数
A ?
B =AB cos θ
A B ?=AB e AB sin θ
A ?(
B ?
C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系
矢量线元 x y z =++l e e e d x y z
矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz
单位矢量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系
矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e z
z z ρ??ρρ?
3. 球坐标系
矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ?
θ??θ
cos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ??
??????
???
?=-??????????????????
?????
sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ????
??????
?
?=-????????????-??????
θ?θ?θ?
θθ?θ?θ??
sin 0cos cos 0sin 0
10r r z A A A A A A ????
??????
??=-????????????????
??θ??θθθθ
三、矢量场的散度和旋度
1. 通量与散度=??
A S S
d Φ 0lim
?→?=??=??A S A A S
v d div v
2. 环流量与旋度=??A l ?l
d Γ max
n
rot =lim
?→???A l A e ?l
S d S
3. 计算公式
????=
++????A y x z
A A A x y z
11()????=
++????A z
A A A z ?ρρρρρ? 22111()(sin )sin sin ????=++????A r A r A A r r r r ?
θθθθθ?
x y z ?
??
??=
???e e e A x y z x y z A A A ???
??=???e e e A z z z A A A ρ?
ρ
?ρρ?ρ sin sin ???
??=???e e e A r r z
r r r A r A r A ρ
?
θθθ?θ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理
?=????A S A ?S
V
d dV ?=?????A l A S ?l
S
d d
四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度
00()()lim
?→-?=??l P u M u M u l
l
cos cos cos ????=
++????P u
u u u
l
x y z
αβγ cos ??=?e l u u θ grad ????=
=+????e e e +e n x y z
u u u u
u n x y z
2. 计算公式
????=++???e e e x
y z
u u u
u x y z
1????=++???e e e z u u u u z ρ
?ρρ? 11sin ????=++???e e e r u u u
u r r r z
θ?
θθ 五、无散场与无旋场
1. 无散场 ()0????=A =??F A
2. 无旋场 ()0???=u =?F u
六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系
2222
2222222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
222222222????=++?=?+?+??????????????=
++?=++?=++?????????A e e e x x y y z z
y y y x x x z z z x y z
u u u u A A A x y z
A A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z
，，
2. 圆柱坐标系
222
22
22222
2222
111212???????=++ ??????????????=?--+?-++? ? ??????
?A e e e z z u u u
u z
A A A A A A A ?ρρρρ???ρρρρρ?ρρ?ρρ?
3. 球坐标系
22
222222
111sin sin sin ??????????=+
+ ? ??????????u u u
u r r r r r r θθθ?θ? ???
?
????+-??+?+???
?
????--??+?+???
? ????-??---?=??θθθ?θ?θθθθ?θθθθ????θθθ?θθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2
22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 2
2cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理
如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为
()()()=-?+??F r r A r φ
其中 1
()()4''??'=
'-?F r r r r V dV φπ
1
()
()4''??'='-?F r A r r r V dV π
第2章 电磁学基本规律
一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律
真空中方程： 0
d ?=
?S
E S ?q
ε
d 0?=?l
E l ? 0
??=
E ρ
ε 0??=E 场位关系：3
'
'()(')'4'
-=
-?
r r E r r r r V q dV ρπε =-?E φ 0
1
()
()d 4π'
'='-?
r r |r r |
V V ρφε
介质中方程： d ?=?D S ?S q
d 0?=?l
E l ? ??=D ρ 0??=E
极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε 极化电荷：==?P e PS n n P ρ =-??P P ρ 2. 恒定电场基本规律
电荷守恒定律：0???+=?J t
ρ
传导电流： =J E σ 与运流电流：ρ=J v
恒定电场方程： d 0?=?J S ?S
d 0l
?=?E l ? 0??=J 0??E =
3. 恒定磁场基本规律
真空中方程：0 d ?=?B l ?l
I μ
d 0?=?S
B S ? 0
??=B J μ 0??=B
场位关系：0
3()( )()
d 4π ''?-'=
'
-?J r r r B r r r V
V μ =??B A 0 ()
()d 4π'''='-?J r A r r r V V μ 介质中方程：d ?=?H l ?l I
d 0?=?S
B S ? ??=H J 0??=B
磁化：0
=
-B
H M μ m 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ 磁化电流：m =??J M ms n =?J M e
4. 电磁感应定律
d d ?=-???
S
E l B S ?l
d
dt ???=-
?B
E t
5. 全电流定律和位移电流
全电流定律：
d ()d ??=+
????D H l J S ?l
S
t ???=+
?D
H J t
位移电流： d =D
J d dt
6. Maxwell Equations
d ()d d d d d 0???=+????
???=-?????
?=??
?=?????????D H J S B E S D S B S ????
l S l S S
V S l t l t V d ρ 0????=+???????=-?????=????=?D H J B E D B t t ρ ()() ()()0????=+???????=-?????=????=?E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性
e m e m e m e e m m e e m m
m e 00??????=-??=????????????=+??=--???????=?=?????=?=??
????B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ??
??=--???????=+????
?=???=???B E J D H J D B t
t ρρ 三、边界条件 1. 一般形式
12121212()0()()()0
?-=?-=?-=?-=e E E e H H J e D D e B B n n S n S
n ρ
2. 理想导体界面 和 理想介质界面
111100?=??
?=??
?=???=?e E e H J e D e B n n S
n S n ρ 12121212()0
()0
()0()0
?-=??
?-=??
?-=???-=?e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章 静态场分析
一、静电场分析
1. 位函数方程与边界条件
位函数方程： 220?=-
?=ρφφε
电位的边界条件：12
12
12=??
???-=-????s n
n φφφφεερ 11
1=??
??=-???s const n
φφερ（媒质2为导体） 2. 电容
定义：=
q
C φ
两导体间的电容：=C q /U
任意双导体系统电容求解方法：221
1
??===
?????
?D S E S E l
E l
蜒S
S d d q C U d d ε
3. 静电场的能量
N 个导体： 112
==∑n
e i i i W q φ 连续分布： 12=?e V W dV φρ 电场能量密度：1
2D E ω=?e
二、恒定电场分析
1. 位函数微分方程与边界条件
位函数微分方程：2
0?=φ
边界条件：12
1212=??
???=????n
n φφφφεε 12()0?-=e J J n 1212[]0?-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律
欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =??E J V
P dV
3. 任意电阻的计算
2
2
11d d 1??=
===
?????
?E l E l J S
E S
S
S
U
R G I
d d σ （L R =σS ）
4. 静电比拟法：C —— G ，ε —— σ
221
1
??===
?????
?D S E S E l
E l
蜒S
S d d q C U d d ε 2
2
1
1
d d d ??===
???
???
J S E S
E l
E l
S S d I G U
σ
三、恒定磁场分析
1. 位函数微分方程与边界条件
矢量位：2?=-A J μ 12121
2
1
1
???A A e A A J n s μμ(
)=?-
?=
标量位：20m φ?= 2112
2
1??==??m m m m n n
φφ
φφμμ 2. 电感
定义：d d ??=
=
=??B S A l ?S
l
L I
I
I
ψ
=+i L L L
3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：1
12==
∑N
m j j j W I ψ 连续分布：m 1d 2A J =??V W V 磁场能量密度：m 1
2H B ω=? 第4章 静电场边值问题的解
一、边值问题的类型
● 狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ ● 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值
()?=?f s n
φ
● 混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2
112()()?==?f s f s n
φφ ● 自然边界：lim r r φ→∞
=有限值
二、唯一性定理
静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
静电场的唯一性定理是镜像法和分离变量法的理论依据。 三、镜像法
根据唯一性定理，在不改变边界条件的前提下，引入等效电荷；空间的电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
选择镜像电荷应注意的问题：镜像电荷必须位于待求区域边界之外；镜像电荷(或电流)与实际电荷 (或电流)共同作用保持原边界条件不变。 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
'q q =- 二者对称分布
2. 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角,=n n
π
α 为整数时，
该角域中的点电荷将有(2n －1)个镜像电荷。
3. 点电荷对接地导体球面的镜像
'=-a
q q d
，2=a b d
4. 点电荷对不接地导体球面的镜像
'-=a
q q d ，2=a b d
'''=-=a
q q q d
，位于球心
四、分离变量法 1. 分离变量法的主要步骤
● 根据给定的边界形状选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯方程的表达式及给定的
边界条件。
● 通过变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出含有待定常数的常微分方程的通解。 ● 利用给定的边界条件确定待定常数，获得满足边界条件的特解。 2. 应用条件
分离变量法只适合求解拉普拉斯方程。 3. 重点掌握
(1) 直角坐标系下一维情况的解 22
0=d dx φ
通解为： =+Ax B φ 022
()x d dx ρεφ=-
(2) 圆柱坐标系下一维情况的解
1()0=d d r r dr dr
φ
通解为： ln =+A r B φ (3) 球坐标系下轴对称系统的解
222211()(sin )0sin ?????=
+=????r r r r r φφ
φθθθθ
通解为： (1)0
(,)()(cos )∞
-+==+∑n n n n n n r A r B r P φθθ
其中2
012(cos )1,(cos )cos ,(cos )(3cos 1)/2===-P P P θθθθθ
(,)
P r θ
第5章 时谐电磁场
一、时谐场的Maxwell Equations 1. 时谐场的复数描述
()[()][()()()]E r E r e r e r e r &&&&j t j t j t j t m x xm y ym z zm ,t Re e Re E e E e E e
ωωωω==++ 2. Maxwell Equations
??=+????=-?
?
??=????=?H D
E B D B J j j ωωρ ()/0
??=+????=-?
?
??=????=?H E
E H E H j j σωεωμρε 二、媒质的分类
分类标准：tan ''
=
=E E j σσ
δωεωε
● 当tan 1'=>>σ
δωε，即传导电流远大于位移电流的媒质，称为良导体。 ● 当tan 1'=≈σ
δωε，即传导电流与位移电流接近的媒质，称为半导体或半电介质。
● 当tan 1'
=<<σ
δωε，即传导电流远小于位移电流的媒质，称为电介质或绝缘介质。
三、坡印廷定理 1. 时谐电磁场能量密度为
2112
2
=
?E D =
e E ωε 211
2
2
=?H B =m H ωμ 2==?E J p E σ
1
]2
1
1
Re[]Re[]
Re[44
eav mav E D B H J E ***==
?=??av w w p
221
1
2
2
()()=+E t H t ωεμ
2. 能流密度矢量
=?S E H 1
Re[]2
*=?S E H av
3. 坡印廷定理
-??=
+???E H S ?S
V V d
d dV pdV dt
ω 四、波动方程及其解
1. 有源区域的波动方程
ρεμμε?+??=??-?1222
t t J E E J H H ?-?=??-?2
22
t με
特解： '
,1(,)d 4'
??
--
?
??=-
π-???r r G r F r r r V''t v t v'
在无源区间，两个波动方程式可简化为齐次波动方程
2222
220
0???-=?-=??E
H
E H t
t
μεμε
复数形式-亥姆霍兹方程
220?E +E =k ， 220?H +H =k
五、达朗贝尔方程及其解
时谐场的位函数
=??B A ?=-?-
?A E t
φ 达朗贝尔方程
J A
A μμε-=??-?222
t 2
22??-=-?t φρφμεε （洛仑兹规范??=-??A t
φμε
） 复数形式
22?+=-A A J k μ 22?+=-
k ρφφε
特解： '
'
''
()1
()()'
()'4'
4'
----=
=
π-π-??
r r r r J r r A r r r r r r jk jk V V 'e
'e dV dV μ
ρφε
六、准静态场（似稳场）
1. 准静态场方程
00???=??=-
??=??=?B H E
E B D t
σ
特点：位移电流远小于传导电流（
?<<=?D
J E t
σ）
；准静态场中不可能存在自由体电荷分布。 2. 缓变电磁场（低频电路理论）
随时间变化很慢，或者频率很低的电磁场。低频电路理论就是典型的缓变电磁场的实例。根据准静态方程第一方程，两边取散度有
1
000=??=??=?=∑?J J S ?N
j S
j d i （基尔霍夫电流定律）
位函数满足
20??=-?=A J u μ
符合静态场的规律。这就是“似稳”的含义。
d d d d ?-?=?+??+??????J A
E l l l l 蜒蜒a l l l l t φσ 1
0==∑N
j j U （基尔霍夫电压定律） 3. 场源近区的准静态电磁场
如果观察点与源的距离相当近j 2 1 e 1-=π<
kr λ
，则
'
'
()
1()
()'()'4'
4'
=
=
π-π-??
J r r A r r r r r r V V ''dV dV μ
ρφε
（近区场条件：11 26
=
=≈r k λλπ）
第6章 电磁辐射基础
一、基本极子的辐射 1. 电偶极子的远区场
j 0 sin j
e 2-=kr I l E r θηθλ j sin j e 2-=kr
I l H r
?θλ
2. 磁偶极子的辐射
2sin -=
jkr
IS E e r ?πηθλ 2
sin -=-jkr IS H e r
θπθλ 二、天线参数
1. 辐射功率
12*
??=?=
??????S S E H S 蜒r av S S P d Re d 电偶极子的辐射功率： 2
2280??= ???
r l P πI λ 2. 辐射电阻
r L 22 = P R I
电偶极子的辐射电阻： 2
280??= ???
r l R πλ 3. 效率
===
++r r r
A in r L r L
P P R P P P R R η 4. 方向性函数
max
max )
,()
(),,(),(f f r E r E F ?θ?θ?θ==
电偶极子的方向性函数为：(,)sin =F θ?θ 功率方向性函数：2(,)(,)=p F F θ?θ? 如下图
● 主瓣宽度052.θ、052.?：两个半功率点的矢径间的夹角。元天线：005290=.θ
● 副瓣电平：1
010S SLL=lg
dB S S 0为主瓣功率密度，S 1为最大副瓣的功率密度。 ● 前后比： 0b
10S
FB=lg dB S S 0为主瓣功率密度，S b 为最大副瓣的功率密度。
5. 方向性系数
2π
π
2
4π
d (,)sin d =
?
?D F ?θ?θθ
电偶极子方向性系数的分贝表示 D = 10lg1.5 dB= 1.64dB
6. 增益
=A G D η 10=dB G lg G
三、对称天线
1. 对称天线的方向图函数
cos(cos )cos ()sin -=
kl kl
F θθθ
2． 半波对称天线
场：cos(cos )602sin -=jkr m I E j e r θπθθ cos(cos )22sin -=jkr m I H j e r ?π
θπθ
方向性函数为： cos cos 2()sin ??
???=
πF θθθ
辐射电阻为：73.1=r R Ω
方向性系数：D = 10lg1.64 dB = 2.15dB 四. 天线阵
1. 天线阵的概念
为了改善和控制天线的辐射特性，使用多个天线按照一定规律构成的天线系统，称为天线阵或阵列天线。天线阵的辐射特性取决于：阵元的类型、数目、排列方式、间距、电流振幅及相位和阵元的取向。 2. 均匀直线阵
均匀直线式天线阵：若天线阵中各个单元天线的类型和取向均相同，且以相等的间隔 d 排列在一条直线上。各单元天线的电流振幅均为I ，但相位依次逐一滞后或超前同一数值ξ，这种天线阵称为均匀直线式天线阵。
（1）均匀直线阵阵因子
sin (cos )2(,)1sin (cos )2??+????=
??+????
n kd AF kd θξθφθξ （2）方向图乘法原理
1(,)(,)(,)=F AF f θ?θ?θ?
第7章 均匀平面波的传播
一、沿任意方向传播的均匀平面波
0001
-?-?-?==
?k r n r
n r E E =E H n E j jk jk e e e η
其中x x y y z z k k k k ==++k n e e e ，x y z x y z =++r e e e ，n 为传播矢量k 的单位方向，即电磁波的传播方向。
二、均匀平面波在自由空间中的传播
对于无界空间中沿+z 方向传播的均匀平面波，即
()-=E e =e x j jkz x x x xm z E E e e ?
1. 瞬时表达式为：(,)Re ()cos()-??=-+??E e =e x j jkz j t
x xm x xm x z t E e e e E t kz ?ωω?
2. 相速与波长： 2π
=
k λ 2π=k λ ===p r r
v k ωμεμε（非色散）
3. 场量关系： 0
1120=
??=
=ΩH e E
E =H e z z
μηηπη
ε 4. 电磁波的特点
TEM 波；电场、磁场同相；振幅不变；非色散；磁场能量等于电场能量。 三、均匀平面波在导电媒质中的传播
对于导电媒质中沿+z 方向传播的均匀平面波，即
--==E e e z j z x x x xm E E e e αβ （=+j γαβ）
1.波阻抗
1/2
j 1e j
-??
==-= ???-c c j ?μ
μσηησεωεεω
2. 电磁波的特点
TEM 波；电场、磁场有相位差；振幅衰减；色散；磁场能量大于电场能量。
四、良导体中的均匀平面波特性
1. 对于良导体，传播常数可近似为： μσωμσ
βαf π===2
2. 相速与波长：p p 222ππ====≈v v f f ωωλβμσβμσ （色散）
3. 趋肤深度： 1
1
2d f λ
α
β
μσ
=
=
=
=
π
π 导体的高频电阻大于其直流电阻或低频电阻。
4. 良导体的本征阻抗为：C C 4j (1j)j j f f e π
μμωμμμησεσσσεω
π2π==≈=+=-
良导体中均匀平面电磁波的磁场落后于电场的相角45?。 五、电磁波的极化
1. 极化：电场强度矢量的取向。设有两个同频率的分别为x 、y 方向极化的电磁波
12cos()
cos()=-+???
=-+??x xm y
ym E E t kz E E t kz ω?ω? 2. 线极化：x E ,y E 分量相位相同，或相差180?
则合成波电场表示直线极化波。
3. 圆极化：x E ,y E 分量振幅相等，相位差为90?，合成波电场表示圆极化波。
旋向的判断：2
-=
y x π
??，左旋；2
-=-
y x π
??，右旋
4. 椭圆极化：x E ,y E 分量振幅不相等，相位不相同，合成波电场表示椭圆极化波。 六、均匀平面波对分界面的垂直入射 1. 反射系数与透射系数
2c 1c 2c 1c -=
=
+rm im E R E ηηηη 2c
2c 1c
2==+tm im E T E ηηη 2. 对理想导体界面的垂直入射
R = 0 ，T = -1，合成波为纯驻波 3. 对理想介质界面的垂直入射
合成波为行驻波，透射波为行波。驻波系数：
max min ||1||
||1||
+=
=
-E R E R ρ 4. 对多层介质界面的垂直入射
(1) 3层等效波阻抗
322ef 2
232tan()
tan()
+=+j d j d ηηβηηηηβ
(2) 四分之一波长匹配层
212
40?=?
=?
?=?d R λη 无反射 照相机镜头上的涂敷层消除反射的原理。
(3) 半波长介质窗
21311213
021?
==
????=-??
=-??=?tm im R d E E TT ληη 雷达天线罩消除电磁波反射的原理。
七、均匀平面波在界面上的斜入射 1. 反射定律与和折射定律
=i r θθ
1122sin sin ==t i k n k n θθ （11
2212===
=ω
ω
c c
c c
n k n k v v ） 2. 垂直极化波和平行极化波的反射系数与透射系数
2i 1t
2i 1t 2i 2i 1t
cos cos cos cos 2cos cos cos ⊥⊥-=
+=+R T ηθηθηθηθηθηθηθ
⊥⊥==
R T
1i 2t
//1i 2t
2i //1i 2t
cos cos cos cos 2cos cos cos -=
+=+R T ηθηθηθηθηθηθηθ
////=R T
3. 全反射
全反射条件： //1⊥==R R
i c 12
≥=>n n θθ
4. 全透射
入射角i θ称为布儒斯特角，记为
=B θ //0=R 只适用于平行极化波。极化滤波的概念
5. 对理想导体的斜入射
(1) 垂直极化波
1
0⊥⊥=-=R T 1
sin sin sin ===>p px p i i i
v v v k k ωω
θθθ
振幅呈驻波分布；非均匀平面波；TE 波。 (2) 平行极化波
////10==R T 1sin sin sin =
=
=>p px p i
i i
v v v k k ω
ω
θθθ
振幅呈驻波分布；非均匀平面波；TM 波。
第8章导行电磁波（微波技术课程）
1. 均匀导波系统
●波导的横截面在z向是均匀的，场量只与x、y有关，与z无关；
●波导壁是理想导体，填充介质是理想介质；
●波导内的电磁场为无源区的时谐场。
2. 单导体系统不能传输TEM波，为什么？
单导体波导内无纵向的传导电流和位移电流。因为是单导体，所以无传导电流；因为TEM波的纵向场E z = 0，所以无纵向位移电流。
二、导行波方程
波导内的电磁场满足亥姆霍兹方程
2222
k k
E E H H
+=0+=0
??
1. TEM波的概念
2. TE波和TM波概念
。。。。。。