高等数学习题册部分答案及解析

高等数学

1.对于数列{}∞=1n n x ，试证明a x a x x n n k n n =?==∞

→∞

→∞

→lim lim lim 1-22k ，并

以此说明{}∞=+1)

11()1(-n n

n

极限不存在。

解：充分性显然成立 必要性

极限不存在。

时，当时，当得证。

成立，有时，，当，取和时有当成立，取时，有当同理时，有当对∴=+===∴+===?==∴<>=<<>=<>>?<>>?>?∴=∞

→∞→∞

→∞

→∞

→∞

→,1-lim )

1

1-(1-2,1lim ,112k n lim lim lim -N n 2K N --},,{max -,0-,0,0lim 1-221-22k 21-2212221-2112k n n k n n n n k n n n k k k k k n x n

x k n x n x a x a x x a x a x a x K k k k K a x k k k a x k k k a x εεεεε

ε

2.对于数列{}∞

-1n n U ，试证明a U a U n n n n =?=∞

→∞→lim lim 。 证明：

a

U a U a U a U a U N n N a U n n n n n n n n =∴<∴<∴<>>?>?∴=∞

→∞

→lim ----,0,0,lim 成立成立

时，有当对于εεε

）（则若A ,1)1

3

11(

.331

lim =-=+-+-→a x ax x

A.1

B.-1

C.0

D. 都不对

2141*)sin ()2

2sin

(*2sin 2sin 2sin cos 1sin sin tan .4220

22

20

20

lim

lim

lim

lim

===-=-→→→→x x x x x x x

x x x x x x x x

4

2

22

020

])1[()]1([)

(.5lim

lim lim e e

x e e x

e e x x

x e

x

e x x x

x x x x

x

x =+=+=+→→→

P3

n

n n n n n x n x x x x x lim ),,2,1(),1

(21,0.611∞

→+??=+=

>证明该数列收敛，并求满足：设数列{}{}{}1

,11,1

1)1

(21,1)20()-1

(21-11)1

(21lim lim 1111====∴∴≥+≠∴≥≤=

≥+=

∞

→∞

→++n x n n x n n n n n n n

n n n

n n x x x x x x x x x x n x x x x x x x 该数列收敛，则若收敛，从第二项起单调有界，成立

递减，且有则从第二项起，若又，于等于成立，即从第二项起大证明：

)

?(0)(,0)0(.7B x x f f 处连续在下列哪个条件可以得到已知==

)1

(.0

)1-(.0

)sin (.0

)1-cos (.lim lim lim lim 0

2

====→→→→n f D e f C x f B x f A x x x x x

3

()()()(),(,],[(.8321321）

使得证明存在上连续，）在设x f x f x f c f b a c b x x x a b a x f ++=

∈<<<<.

3

()()()(),,(3

()()(],[)(),()(321321）

使得即）

间的与最小值上取得最大值必能在上连续，在证明：x f x f x f c f b a c x f x f x f m M b a x f b a x f ++=

∈?++∴ 不可导

在点不可导，则在点可导，在点若判断：设000,.9x x f x x x x f ===+=ψ?ψ?处不可导。在点假设不成立不可导矛盾，在点可导，与可导，即处可导，则在正确。假设000-x x f x x f x x f =∴∴==ψψ?)

ln ()(.102x f e f y x =求导

P5

)()ln (1)ln ()()(22'

''x x x x e f x f x

x f e f e e f y +

???= 2

2

1.11dx y

d x

e y y 数

所确定的函数的二阶导求由方程+=

3

22

2'

'''

'''''

''

)-1()-1(-11)

-1(ln -ln -1x e e x e e y x e e x e y y y y x e y y x

e e y x e y e y y y

y y y y y y y y

y

y

+=∴++

===

∴+=求导两边取对数解：两边同时求导

有且只有三个实数根

证明方程1-2.122=x x

).(,)

1(arctan )()(,42)1()()(.13x f x x x

x F x f F x f x F 求的一个原函数，且为设+==

π

x

x x f x x F C F C x x F C

t t d t t x x t dx x x x dx x F x f C x F x dF x F dx x F x F dx x F x f )1(22

-)(∴arct an 2)(∴0

π42)1()arct an ()(∴)arct an (arct an arct an 2?,)1(arct an )()()(2

1)()()()()()(2

2

22

2

'∫∫∫∫∫∫+====+=+===+=+===得代入令解：

14.数列{n X }有界，

∞

→n lim n y =0，则

∞

→n lim n n x y =0.

（附：数列极限定义的“ε-N ”语言：对任一给定的正数ε若存在正整数N ，使当n>N 时，恒有A X n -<ε，则称A 为数列{}n X 的极限。） 证明：{Xn}有界，则?M ，使|Xn|≤M 又

∞

→n lim n y =0，

0 ε?，N ?，当n ＞N 时 有0-n y =n y M

ε

从而此时有：εε

=?M M

y x n n

∴∞

→n lim n n x y =0. .

三个实数根。

综上，该方程有且只有个根至少有且至多有三个根，又假设不成立。

使必存在上连续可导在使必存在上连续可导，在使必存在上连续可导，在则有假设方程有四个根为证明：令3)(,0)5(,0)4(,0)1()0(0)(02ln 2)(,0)(),(,2-2ln 2)(0)()(),()

,(2-ln 2)(,0)()()(),(),,(),,()(,0)()()()(,,1--2)(3'''6'''5462''5''4''325214'3'2'1'433322211432143212x f f f f f x f x f f R x f f f R x x x f f f f x x x x x x R x f x f x f x f x f x x x x x x f x x x x ∴><===∴∴>==∈∴===∈∈∴====∈∈∈∴====<<<= ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ

15.

()x x x 2

cot cos 0

lim →（指数有二次方，底数却为一次方，需统一）

=()

x

x x x 22sin 2cos 2cos 0

lim →

=()

2cos sin 1222sin 10

lim x

x

x x ?

-→

=()

2

cos sin 1

222sin 10lim x x

x x --

??

???

?

-→ 3

=??

??

??-→2cos 0lim 2x x e

=2

1

-e

（利用几个基本极限中，()e x x x x x

x =??

? ??-∞→=-→11lim 10lim 1）.

16.设f=ψ?+，若f 在点x=0x 可导，则ψ?,在x=0x 处都可导(?)

证明：令x x 1

+=?

x

x 1

-=ψ

又f=x 2=+ψ? ∴f=2x ，在x=0处可导

但ψ?,在x=0处无意义，即不可导 （注意：两函数相加后定义域可能改变）

17.讨论下列等式是否成立

arcsin （sinx ）=x （?） 对于y=sinx ，x ∈R

而对于arcsiny=x ，??

?

??

?-

∈2,

2ππx （注意：等式是否成立，不仅要看左右值域是否相等，还要考虑左右定义域的大小是否相同）

18.函数()x f =()15ln +x 的一个有界区间为（C ）

A.(-05

1，

) B.(-55

1，) C.(0,51

) D.(∞，5

1)

（注：“有界”指的是值域在一个范围内,即:f(x)≤M ）

19.试证：若()x f 在0x 处存在左右导数，则()x f 在0x 处连续 证：

()()()

,lim 0000a x x x f x f x x x f =--→=

'-

-令 ()()()b x x x f x f x x x f =--→=

'+

+0

000lim ()()[]()()()00lim lim 000000=?=???

???-?--→=

-→∴

--a x x x x x f x f x x x f x f x x

()()[]()()()00lim lim 0000

00

=?=??

?

?

??-?--→=

-→+

+

b x x x x x f x f x x x f x f x x ()()()00

0lim

lim x f x f x x x f x x =→=→∴

-- ()处连续在0x x f ∴

（证连续：证明左右极限存在且等于()0x f ）

20.若f（x）+fˊ(x)＞0，证明：y=f（x）与x轴至多有一个交点令F（x）=()x e x

f则Fˊ(x)=(f(x)+fˊ（x）)x e

1)反证法：假设有两个或两个以上的交点，则有

F(x1)+F(x2)=0 令x1 x2

根据罗尔定理，则必有∈

ε（x1，x2）使：

Fˊ（ε）=0 又Fˊ（x）=(f(x)+fˊ（x）)x e

即使f(x)+fˊ（x）=0

这与f（x）+fˊ(x)＞0矛盾

2）Fˊ(x)= ＞0

所以F（x）=(f(x)+fˊ（x）)x e0

单调递增，与x轴至多有一个交点。

又x e0

，则F（x）零点个数与f(x)零点个数相同

∴y=f（x）与x轴至多有一个交点