高三平面向量及其应用复习专题 百度文库
一、多选题
1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是
（ ）
A ．()
0a b c -?=
B ．()
0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?=
D ．2a b c ++=
2．下列说法中正确的是（ ）
A ．对于向量,,a b c ，有()()
a b c a b c ??=??
B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底
C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件
D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则
0λμ+=
3．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤
B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3??-+∞ ???
4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6
A a c π
===则角C 的大小
是( ) A ．
6
π
B ．
3
π C ．
56
π D ．
23
π 5．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?=
D ．()
4BC a b ⊥+
6．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）
A ．1122
AE AB AC →
→→
=+
B ．2AB EF →→
=
C ．1133
CP CA CB →→→
=+
D ．2233
CP CA CB →
→→
=+
7．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.
B ．若4A
C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<
8．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
A ．2
AB AB AC B ．2
BC CB AC C ．2AC
AB BD
D ．2
BD
BA BD
BC BD
9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b =
，
30A =?，则B =（ ）
A ．30
B ．45?
C ．135?
D ．150?
10．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF
CE G =，
则（ ）
A ．1
2AF AD AB =+
B ．1
()2
EF AD AB =
+ C ．21
33
AG AD AB =-
D ．3BG GD =
11．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+?与b 方向相同
C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上
12．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是
（ ） A ．a b c +=
B ．a d b +=
C ．b d a +=
D ．a b c +=
13．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等
B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >
D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
14．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个
C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得
()11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC ?中，601ABC A b S ?∠=?=，，则2sin 2sin sin a b c
A B C
-+-+的值等于
（ ）
A ．
3
B C D ．17．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()
20BC OB OC OA ?+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
18．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，
，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则
ABC 一定为直角三角形；④若3
B π
=
，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是
)
+∞.以上结论中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
20．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形
ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．以上都不对
21．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
22．在ABC ?中，设2
2
2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
23．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．2
3BG BE = B ．2CG GF = C ．1
2
DG AG =
D ．0GA GB GC ++=
24．O 为ABC ?内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
0a OA b OB c OC ?+?+?=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=，若3a =，则
边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为（ ） A ．
23
π B ．
43
π C ．
6
π D ．
3
π 25．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
26．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()
20c a c b ?--=，则b c ?的最大值为（ ） A ．
5
4
B ．2
C ．
174
D ．4
27．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45?，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75?，则山高BC =（ ）
A ．500米
B ．1500米
C ．1200米
D ．1000米
28．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，
2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）
A
B ．1
C ．
12
D
29．在ABC 中，()
2
BC BA AC AC +?=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
30．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3
C π
∠=
，且
sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：
①2a b =
②ABC ?
③ABC ?的周长为4+
④ABC ?外接圆半径3
R =
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
31．已知点O 是ABC ?内一点，满足2OA OB mOC +=，4
7
AOB ABC S S ??=，则实数m 为（ ） A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
32．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3
π
，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．
12
B ．－
12
C ．
13
D ．－
13
33．在ABC ?中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ?的外心，若
AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）
A ．
34
B ．
53
C ．
73
D ．
83
34．奔驰定理：已知O 是ABC ?内的一点，BOC ?，AOC ?，AOB ?的面积分别为A S ，
B S ，
C S ，则0A B C S OA S OB S OC ?+?+?=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ?内的一点，A ，B ，C 是ABC ?的三个内角，且点
O 满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则必有（ ）
A ．sin sin sin 0A OA
B OB
C OC ?+?+?= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ?+?+?= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=
D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ?+?+?=
35．在ABC 中，若()()
0CA CB CA CB +?-=，则ABC 为（ ）
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
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一、多选题 1．ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析：ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-?=?=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-?=?=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --?=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
2．BCD 【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．，
解析：BCD 【分析】
A ．向量数量积不满足结合律进行判断
B ．判断两个向量是否共线即可
C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断
D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，
B ．
12
57
-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，
C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180?，此时0m n <成立，
当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ?
D ．由23CD CB =得22
33
CD AB AC =-，
则23λ=
，23
μ=-，则22
033λμ+=-=，故D 正确
故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．
3．AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知
解析：AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ?=，则||||||a b a b ?≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -?=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ?+>即2||0a a b λ+?>可得530λ+>，解得5
3
λ>-
，
当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+?= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
4．BD 【分析】
由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握
解析：BD 【分析】
由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin 2
c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得
sin sin a c
A C
=,
∴ sin sin 2
c C A a ==,而a c <,
∴ A C <, ∴
566
C π
π<<, 故3C π
=
或
23
π. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
5．ABD
【分析】 A.
根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长
解析：ABD 【分析】
A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；
B.根据2AB a =，
2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1
,2
a AB
b BC =
=，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ?=-，利用数量积运算判断. 【详解】
A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；
B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；
C. 因为1,2a AB b BC =
=，所以11
22cos120122
a b BC AB ?=?=????=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ?=-，所以()()
2
444440BC a b b a b a b b ?+=?+=?+=-+=，所以()
4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心
解析：AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
111()()222
AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →
→
→
→
→→→→→
→=+=+=+-=+, A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →
→→→→→????
==?+=+ ? ?????
，
所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.
7．ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图
解析：ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得2
24sin sin30AB R ACB =
==∠?
，故A 正确；
对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当
1
22
x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解；
当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；
当AD AB AC <<，即1
22
x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．
故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
8．AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】
对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形
解析：AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2
cos AB AB AC AB AC A AB AC
AB AC
，故A 正确；
对于B ，
2
cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC
CB AC
，
故B 错误； 对于C ，
2
cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD
BD
AB
,故C 错误； 对于D ，2
cos BD BA BD
BA BD ABD BA BD BD BA
,
2
cos BD BC BD
BC BD CBD BC BD
BD BC
,故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.
9
．BC 【分析】
用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】
解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
解析：BC 【分析】
用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】
解：根据正弦定理sin sin a b A B
=得： 1
sin 2sin 12
b A B a ===， 由于1b a =>=，所以45B =或135B =.
故选：BC. 【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
10．AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误 【详解】 ，即A 正确 ，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有 ∴，即C 错误 同理 ，
解析：AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+，即A 正确 11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有
||||1
||||2
GF GE AG CG == ∴211121
()333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =
+=++=+，即C 错误 同理21212
()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =
+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1
()3
GD AD AB =-
∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
11．C 【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简；
对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A
解析：C 【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+； 对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；
B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ?=?，得||||(1cos )0a b θ?-=， 则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；
C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C 【点睛】
本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.
12．ABD 【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知成立， 故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查
解析：ABD 【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；
由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.
13．AD 【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据
解析：AD 【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】
本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．
14．AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的. 对于B,由平面向量基本
解析：AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为
0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的.
对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．A 【解析】
分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.
详解：由题意，在ABC ?中，
利用三角形的面积公式可得011
sin 1sin 6022
ABC S bc A c ?==???=， 解得4c =，
又由余弦定理得2
2
2
1
2cos 116214132
a b c bc A =+-=+-???
=
，解得a =，
由正弦定理得2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+===
-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 17．C 【分析】
由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()
0BC AB AC ?+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答
案. 【详解】
由题意，()()
2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()
0BC AB AC ?+=，
取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ?=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 18．B 【分析】
由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】
①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2
A B π
+=
，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；
③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=， 结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，
因为0A π<<，所以2
A π
=，因此③正确；
④由正弦定理
sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A
==， 因为三角形有两解，所以
2,332
A B A πππ
>>=≠
所以sin 2A ??
∈ ? ???
，即)
b ∈
，故④错误.
故选：B 【点睛】
本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 19．B 【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?， 则()()()
0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．B 【分析】
计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】
2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.
设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .
【点睛】
本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 21．A 【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan
2
C
，从而求得tan C ． 【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221
2sin 22
ab C a b ab c ??=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ?-=+-，
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C
C ab ab +-?-===-，∴sin cos 12C C +=
， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴2
22tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ?===---， 故选：A ． 【点睛】
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 22．D 【分析】
根据已知条件可得()
2
2
2AC AB AC AB BC AM BC -=+?=?，整理可得
()
0BC MC MB ?+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线
上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】
()()()
2
2
2AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+?-=+?=?
()
20BC AC AB AM ∴?+-=