概率统计理论解释投资风险与收益问题

淮北师范大学

2011届学士学位论文

概率统计理论解释投资风险与收益问题

学院、专业：数学科学学院数学与应用数学

研究方向：概率统计

学生姓名：郭龙

学号： 20071441069

指导教师姓名：马建华

指导教师职称：副教授

2011年4月10日

概率统计理论解释投资风险与收益问题

郭龙

（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）

摘要

本文主要从两个部分讲述概率统计理论解释投资风险与收益问题.第一部分，通过对概率统计理论中的期望的定义、计算以及应用来解释投资收益的问题,并且给出相关的例题进一步解释该问题.第二部分，首先分别分析投资收益在服从正太分布以及随机分布的情况下利用概率统计理论知识中的方差计算风险，解释投资风险问题.然后分析投资收益与投资风险的联系,即投资风险与投资收益两者之间怎么变化.最后给出计算投资风险的例子进一步解释投资风险及其相关问题.

关键词: 概率统计，投资风险，投资收益

The Problem of Investment Risk and Investment Profit are explained by Probability and Statistics

Guo Long

（School of Mathematical Sciences of Huaibei Normal University，Huaibei，235000）

Abstract

This article mainly explains the problem of investment profit and investment risk by probability and statistics theories from two parts. In the first part, it explains investment profit through the definition, calculation and application of expectations from the probability and statistics theories, and gives a further related explanation by some examples of this problem. In the second part, firstly, use the variance in probability and statistics theories to calculate the investment risk from two situations: when it obeys the normal distribution and random distribution .Then analyzes the connections between investment profit and investment risk, how changes the connections between investment risk and investment profit. Finally it gives some examples to calculate investment risk and its related problems.

Key words: probability and statistics, investment risk, investment profit

目录

引言 (1)

一、概率统计理论解释投资收益问题 (1)

（一）投资收益 (1)

（二）投资收益率 (1)

（三）概率 (1)

（四）资产组合的预期收益率 (2)

（五）平均收益 (2)

二、概率统计理论解释投资风险问题 (3)

（一）投资风险 (3)

（二）用概率论表示投资风险 (4)

（三）投资风险的测定 (5)

结论 (10)

参考文献 (11)

致谢 (12)

引言

概率统计理论在整个数学领域是一个相当重要的分支，并且为经济中投资学的发展奠定了基础，它能够极其方便的解决投资中的很多问题.本文就以概率统计理论为基础解释投资收益与风险问题并给出实例方便读者理解.

一、概率统计理论解释投资收益问题

（一）投资收益

投资者进行投资的目的是获取一定的收益，由于投资行为而获得的收益即收入或资本的增益，称之为投资收益.

（二）投资收益率

投资收益总额占投资总额的百分比. 投资收益率100%=?投资总收益

投资总额

（三）概率

在经济活动中，某一事件在相同的条件下可能发生也可能不发生，这类事件称为随机事件.概率就是用来表示随机事件发生可能性大小的数值.投资的收益并不是稳定的，由于投资市场是不确定的，故投资也存在着不确定性.这时引入某种收益率发生的概率，即某种投资的收益率在市场上发生的可能性及其大小.

在引入概率统计理论之后来定义期望收益率

()()()1

n

i i i E R r p ==∑

()E R 投资期望收益率 i r 是第i 种可能的收益率

i p 是收益率发生的概率 n 是可能性的数目

（四）资产组合的预期收益率

()()i i E R w E r =?????∑

i r 表示第i 期的投资收益率 i w 是收益率发生的概率

（五）平均收益

（收益率满足随机分布，并且是等概率事件） 1.算术平均数

12n

r r r R n

++??????=

i r 表示第i 期的投资收益率，n 表示持有期数.

2.几何平均数（收益率满足随机分布，并且是等概率事件）

1R +=i r 表示第i 期的投资收益率

例1 某公司正在考虑以下三个投资项目，其中A 和B 是两只不同公司的股票 而C 项目是投资于一家新成立的高科技公司，预测的未来可能的收益率情况如表所示.

表1 项目投资收益表

计算每个项目投资的预期收益率，即概率分布的期望值如下：

()()

E R=-?+?+?+?=

22%0.220%0.435%0.250%0.117.4%

A

()()

10%0.100.27%0.430%0.245%0.112.3%

E R=-?+?+?+?+?=

B

()()()

100%0.110%0.210%0.440%0.2120%0.112%

E R=-?+-?+?+?+?=

C

例2 某企业正在考虑的A、B投资项目，项目数据如下

表2 项目投资收益表

R=?+?+?=

40%0.220%0.60%0.220%

A

()

R=?+?+-?=

70%0.220%0.630%0.220%

B

例 3 某公司股票的历史收益率数据如表所示，试用算术平均值估计其预期收益率.

表3 股票收益率表

＝（＋＋＋＋＋）＝％

预期收益率26%11%15%27%21%32%/622

二、概率统计理论解释投资风险问题

风险按新华字典的解释是：做某件事有遭到损害或失败的可能性.(风险：可能发生的危险.危险：有遭到损害或失败的可能.)n 根据这个解释，风险应该是做某件事有遭到损害或失败的概率.

（一）投资风险

投资者进行投资是为获取一定的收益，但是投资发生在现在，收益是未来的事，受时间等因素的影响，未来的收益可大可小，甚至受损失，这种收益的不确定性即是风险.

投资风险主要有市场风险，利率风险，购买力风险，违约风险，财务风险，经营风险等.

（二）用概率论表示投资风险

1. 投资收益是正态分布随机变量的情况

当投资收益是正态分布随机变量时，投资风险的表示.设某项投资的收益X 是服从正态分布的随机变量，()2,N μσX

.按照投资风险的本义，它是发生亏

本即负收益的概率．用数学符号表示即：()0X P <.由正态分布的理论知

()0X P <0μσ-??=Φ ???μσ-??

=Φ ???，(其中()x Φ是标准正态分布的分布数)．因为

()x Φ严格单调上升，因此，当μ固定时，()0X P <的值：μσ-??

Φ ???

，

关于()0X P <严格单调上升．即()0X P <的大小由σ的值确定，σ越大，()0X P <就越大，风险越大；σ越小，()0X P <越小，风险越小．由此可见，用σ的大小来描述风险大小与用()0X P <描述风险是等价的．而σ是正态分布随机变量X ，

()

2,N μσX

的标准差，即方差2σ的算术根：σ=，所以风险的大小等价

于方差的大小．

2. 投资收益是一般的随机变量(任意分布)的情况

当投资收益是一般的随机变量(任意分布)时，投资风险的表示.以上我们对收益X 是正态分布的随机变量其风险大小和方差大小的等价性给出了证明．下面我们将证明投资收益是一般的随机变量其风险大小和方差大小的等价性．为此，假设投资收益随机变量X 的分布函数是()F x ，方差2DX σ=, ()0σ<<+∞，期望收益EX μ=．()*X F x 是标准化随机变量*X X μ

σ

-=

的分布函数．

显然，对于给定的μ,总存在充分大的正数0x 使00x μ-<，此时

()0P X x μ<-表示投资该项目亏本的概率，即该项目的投资风险．而对于任意的正数0x

()0P X x μ<-()**0*00x X X x x x P X dF x F σσσ<--????

=<== ? ?????

?，

因()*X F x 是单调非降函数，所以，当0x 固定时，()0P X x μ<-*0X x F σ-??

= ???

是σ

的单调不降函数．

因此，投资风险——投资亏本的概率：()0P X x μ<-是σ的单调不降函数，即()0P X x μ<-的大小由σ的值确定，σ越大，()0P X x μ<-越大，风险越大；

σ越小，()0P X x μ<-越小，风险越小．由此可见，用σ的大小来描述风险大

小与用()0P X x μ<-描述风险是等价的．这就说明了，对于投资收益是任意分布的随机变量，其风险大小也是由其方差2σ确定的．

（三）投资风险的测定

1.方差

方差是统计学上一种基本量，它表示一组变量与其平均值的偏差平方和的平均数，是测定离散程度的一种统计量，记为2σ，在投资学上，方差表示收益的各种可能性值与其期望值的偏离程度.其基本公式为

()()2

22E E σξξ=-????

()E ξ为各期收益的期望值.方差大，表明收益与其期望值的偏离程度大，即收益的不确定程度大，因而风险大，反之，风险也小.

2.标准差

标准差即方差的平方根，用σ表示：

σ=

方差大，标准差也大，方差小，标准差也小.

例4（属于已知未来收益率发生的概率以及未来收益率的可能值时）以A项目为例：

表4 投资项目未来可能的收益率情况表

A项目方差

()()

22%0.1(2%)0.220%0.435%0.250%0.117.4%

E R=-?+-?+?+?+?=

A

()()

E R=-?+?+?+?+?=

10%0.1(0.0%)0.27%0.430%0.245%0.112.3% B

()()

100%0.1(10%)0.210%0.440%0.2120%0.112%

E R=-?+-?+?+?+?=

C

表5 相关数据计算表

A项目标准差：

σ=

20.03%

A

B项目标准差：

16.15%B σ=

A 项目标准离差率：

()

20.03%

1.1517.4%

A

A A V E R σ=

=

≈

B 项目标准离差率：

()

16.15%

1.311

2.3%

B

B B V E R σ=

=

≈

结论：从标准差的计算可以看出，项目A 的标准差20%大于项目B 的标准差16.15%，似乎项目A 的风险比项目B 的风险大，然而从标准离差率的计算来看，由于项目A 的预测收益率17.4%大于项目B 的预期收益率12.3%，使得项目A 的标准离差率1.15却小于项目B 的标准离差率1.31.这样一来，项目A 的相对风险（即每单位收益所承担的风险）却小于项目B.

3.投资组合风险的度量

用两项投资组合的收益率的方差、标准差来衡量

22222

1122121,2122w w w w σσσρσσ=++

p σ=例5 有项目A 、B 两个投资项目（如下）

表6 项目投资相关指数表

A 和

B 的相关系数：0.2

要求计算投资于A 和B 的组合标准差.

投资组合的标准差 12.65%=

4.投资收益和投资风险的关系

假设随机变量X 表示某项投资的收益，X 的分布函数是()F x ，方差

2DX σ=，()0σ<<+∞期望收益EX μ=，()*X F x 是标准化随机变量*X X μ

σ

-=

的分布函数．那么投资者获得高的回报(高的收益)的机会，等价于对于一个较大的正数0x ，事件{}0X x μ>+发生的概率，即()0P X x μ>+.

因0x 充分大，所以00x μ-<，因此()0P X x μ<+即表示投资者亏本的概率，也即投资风险．由于

()()**0*0001x X X X x x P X x P X dF x F σμσσ>????

>+=>==- ? ??????

()()**0*000x X X X x x P X x P X dF x F σμσσ<-????

<+=<-==- ? ?????

?

且()*X F x 是单调非降函数，因而当平均收益μ和0x .固定时，

()**0001X x x P X x P X F μσσ????

>+=>=- ? ?????是σ的单调不降函数；

()*00X x P X x F μσ??

<-=- ???

也是σ的单调不降函数．

这说明，如果投资者想以较大的概率获得高回报，即对于充分大的正数0x ，

()0P X x μ>+能足够的大，必须DX 足够的大；此时，即他亏本的概率

()0P X x μ<+也大，

即风险大；反之，若风险小，即()0P X x μ<+小，则DX 小，从而()0P X x μ>+也小，即获得高回报的概率(机会)小．也就是说，如果希望获得高回报，那么必须承担高风险，即高回报和高风险是并存的；没有高风险就不可能有高回报，有高风险才有高收益的机会．而对收益 是正态分布的随机变量时，更有：

()()()0000011x x P X x P X x P X x μμμσσ????

>+=-≤+=-Φ=Φ-=<- ? ?????

因此()0P X x μ>+大，则()0P X x μ<+也同样大，收益和风险的关系更加明显．

综上所述，我们可以得到：

<1>投资风险，即投资某项目亏本(做某件事有遭到损害或失败)的概率，它可以用投资收益的方差或标准差来表示，方差大，则风险大；方差小，则风险小．

<2>机会和风险同在，高回报和高风险同在，两者是并存的、同时的．在平均收益固定时，要想获得高收益就得承担高风险，没有高风险就不可能有高回报，有高风险才有高收益的机会．

<3>高风险未必是坏事，低风险未必是好事，要视具体事情、具体情况．不要一味追求低风险，因为在平均收益固定时，低风险就意味着不可能有更高的回报，要想获得高收益就得承担高风险；不要盲目地追求高回报，因为平均收益固定时，要能获得高回报，就得承担高风险，必须有足够的思想准备和物质准备．

<4>风险是由事件本身确定的，是客观的，是事件的一个重要特征．要改变风险，只有改变事件的条件．比如，某个手术的风险是由病人的病情，手术医生的技术，医疗条件等确定的．手术医生要想降低手术风险，就必须提高医疗技术、创造好的医疗条件；投资项目的风险是由该项目的投资方案确定的，投资者要想降低某项目的投资风险，只能改变投资方案．

<5>正确处理收益和风险的关系=处理效益与风险的关系，不同的人不同的情况要采用不同的方法．根据上面分析的结果，提出以下建议．

①长期、大户投资者应投资平均收益最大的项目

一般来说，做任何一件事应该追求总体效益的最大化，即首先应考虑总体效益(平均收益)，应该做总体效益大的事情，不做无效益更不做亏本的事情．做某件事情有利也有弊，该不该做这件事的关键在于这件事是否利大于弊，应该做利大于弊的事情．在人力物力都许可的情况下，一件事该不该做，取决于做这件事的总体效益，而不在乎风险的大小．效益指标是关键的、首要的，风险指标只是为你分析你能获得该效益的把握．假如你是一位长期投资者，拥有足够的资金，那么你在挑选投资项目时，应该挑选那些平均收益高的项目．

②小户投资者应投资风险小、平均收益较大的项目

假如你是一位小户投资者，有一些资金，但不多，经不起大的风险，那么你在挑选投资项目时，首先要挑历选风险小，其次考虑平均收益大的项目，可以变

为选择项目的指标．因为你的资金不多，你必须追求稳，否则，

一旦失利，你就会无法继续发展，甚至是无法继续生存．比如，一般工薪阶层的

人，适合把钱存在银行里，尽管收益很低，但无风险，而且可以提前支取．假如你把不多的剩余工资用于股票或是其他的风险投资，一旦失利，将会给你造成很大的压力．因为你不多的剩余工资可能要用于孩子上学的学费、看病的医疗费等，而这些都是必须的，一旦没了着落，怎么办?

③选择适当的投资组合规避风险

对于一般的投资者来说，总希望能有一个比较理想的收益同时又尽可能少承担风险．能达到这一目的的方法就是多投资几个项目，选择适当的投资组合，但是这需要相当的专业知识．具体的讲就是：假如你准备投资 1X ，2X ，……n X 这n 个项目，已知项目i X 的收益是i EX μ=，i X 的标准差是i σ，1,2,

,i n =；i

X 与j X 的相关系数是ij ρ ，那么你可以这样来选择投资组合： 1

n

i i i a X =∑选择你的收

益：1

n

i i i a X μ==∑，其中，0i a ≥，()1max i i n

μμ≤≤<，1,2,

,i n =求满足1

n

i i i a X μ==∑ ，

及0i a ≥ 1,2,,i n =条件的，关于12,,

,n a a a 的函数：

()1211

,,

,n

n

n i j ij i j i j f a a a a a ρσσ===∑∑的最小值点．如果存在，那么这个最小值点

()

1

2

,,

,n a a a 就是你投资各个项目的比例系数．这样做的结果，使在收益是μ的

条件下，风险达到最小．

结 论

本文简单总结介绍了概率统计理论解释投资风险与收益问题，并通过实例向读者展示了概率统计理论在经济学中计算投资的巨大作用.它明显简化了投资的计算问题，它经常使复杂问题简单化.

参考文献：

[1]中国社会科学院语言研究所词典编辑室.现代汉语词典[M].北京:商务印书馆,1996.

[2]复旦大学.概率论[M].北京:高等教育出版社,1979.

[3]龙永红.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2004.

[4]周忠惠,张鸣,徐逸星.财务管理[M].上海:上海三联书店,1995.164-174.

[5]荆新,王化成.财务管理学[M].北京:中国人民大学出版社,1993.50-60.

[6]马建华.论风险与效益[J].淮北煤炭师范学院学报,2007,28(3):1-3.

[7]龚六堂.经济数学中的优化方法[M]北京：北京大学出版社,2000.

[8]洪毅，贺德化,昌志华,等.经济数学模型[M]广州：华南理工大学出版社,1999.

致谢

本文非常感谢数学科学学院马建华指导老师的悉心指导，同时感谢图书馆电子资源和数学科学学院机房的硬件设施给我提供了足够的信息资源来准备论文，最后也感谢我的同班同学对我的耐心指导.在此我向他们一起致谢.