平面向量与空间向量高考题(带详细解析)
平面向量与空间向量
●考点阐释
1.向量是数学中的重要概念,并和数一样,也能运算.它是一种工具,用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题.
向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法.
坐标表示,使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系,用“数”的运算处理“形”的问题,在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题.
2.平移变换的价值在于可利用平移变换,使相应的函数解析式得到简化. ●试题类编 一、选择题
1.(2002上海春,13)若a 、b 、c 为任意向量,m ∈R ,则下列等式不一定...成立的是( ) A.(a +b )+c =a +(b +c )
B.(a +b )·c =a ·c +b ·c
C.m (a +b )=m a +m b
D.(a ·b )c =a (b ·c )
2.(2002天津文12,理10)平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OB OA OC βα+=,其中α、β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( )
A.3x +2y -11=0
B.(x -1)2
+(y -2)2
=5
C.2x -y =0
D.x +2y -5=0 3.(2001江西、山西、天津文)若向量a =(3,2),b =(0,-1),则向量2b -a 的坐标是( )
A.(3,-4)
B.(-3,4)
C.(3,4)
D.(-3,-4)
4.(2001江西、山西、天津)设坐标原点为O ,抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点,则OB OA ?等于( )
A.
4
3 B.-
4
3 C.3 D.-3
5.(2001上海)如图5—1,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若B A 1=a ,11D A =b ,A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是( )
A.-
2
1a +
21b +c B.
2
1a +
2
1b +c
C.
2
1a -2
1b +c D.-
2
1a -
2
1b +c
6.(2001江西、山西、天津理,5)若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则c 等于( )
图5—1
A.-
2
1a +
2
3b B.
2
1a -
2
3b
C.
2
3a -
2
1b D.-
2
3a +
2
1b
7.(2000江西、山西、天津理,4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①(a ·b )c -(c ·a )b =0 ②|a |-|b |<|a -b | ③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直
④(3a +2b )(3a -2b )=9|a |2-4|b |2
中,是真命题的有( ) A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
8.(1997全国,5)如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位,再沿y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l 的斜率为( )
A.-
3
1 B.-3 C.
3
1 D.3
二、填空题
9.(2002上海文,理2)已知向量a 和b 的夹角为120°,且|a |=2,|b |=5,则(2a -b )·a =_____. 10.(2001上海春,8)若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|,则α与β所成角的大小为_____.
11.(2000上海,1)已知向量OA =(-1,2),OB =(3,m ),若OA ⊥AB ,则m = . 12.(1999上海理,8)若将向量a =(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转4
π
得到向量b ,
则向量b 的坐标为_____.
13.(1997上海,14)设a =(m +1)i -3j ,b =i +(m -1)j ,(a +b )⊥(a -b ),则m =_____. 14.(1996上海,15)已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,那么a ·b =_____. 15.(1996上海,15)已知O (0,0)和A (6,3)两点,若点P 在直线OA 上,且2
1=
PA
OP ,
又P 是线段OB 的中点,则点B 的坐标是_____. 三、解答题
16.(2003上海春,19)已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1,在某个空间直角坐标系中,1},0,0,{},0,2
3,2
{
AA m AC m AB =-
=={0,0,n }.
(其中m 、n >0).如图5—2.
(1)证明:三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱; (2)若m =
2n ,求直线CA 1与平面A 1ABB 1所成角的大小.
17.(2002上海春,19)如图5—3,三棱柱OAB —O 1A 1B 1,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB =60°,∠AOB =90°,且OB =OO 1=2,OA =3.求:
(1)二面角O 1—AB —O 的大小;
图5—2
(2)异面直线A1B与AO1所成角的大小.
(上述结果用反三角函数值表示)
18.(2002上海,17)如图5—4,在直三棱柱ABO—A′B′O′中,OO′=4,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,D是线段A′B′的中点,P是侧棱BB′上的一点,若OP⊥BD,求OP与底面AOB所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
图5—3 图5—4 图5—5
19.(2002天津文9,理18)如图5—5,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a.
(1)建立适当的坐标系,并写出点A、B、A1、C1的坐标;
(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
20.(2002天津文22,理21)已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使,
MP?
MN NM?成公差小于零的等差数列.
,
PM?NP
PN
(1)点P的轨迹是什么曲线?
(2)若点P坐标为(x0,y0),θ为PM与PN的夹角,求tanθ.
21.(2001江西、山西、天津理)如图5—6,以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E为VC的中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.
BE,>;
(1)求cos (2)记面BCV为α,面DCV为β,若∠BED是二面角α—VC—β的平面角,求∠BED. 图5—6 图5—7 图5—8 22.(2001上海春)在长方体ABCD—A1B1C1D1中,点E、F分别在BB1、DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D. (1)求证:A1C⊥平面AEF; (2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角).则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等. 试根据上述定理,在AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大 小.(用反三角函数值表示) 23.(2001上海)在棱长为a 的正方体OABC —O ′A ′B ′C ′中,E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点,且AE =BF .如图5—8. (1)求证:A ′F ⊥C ′E . (2)当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时,求二面角B ′—EF —B 的大小(结果用反三角函数表示) 24.(2000上海春,21)四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是一个平行四边形,AB ={2,-1,-4},AD ={4,2,0},AP ={-1,2,-1}. (1)求证:PA ⊥底面ABCD ; (2)求四棱锥P —ABCD 的体积; (3)对于向量a ={x 1,y 1,z 1},b ={x 2,y 2,z 2},c ={x 3,y 3,z 3},定义一种运算: (a ×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ×AD )·AP 的绝对值的值;说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系,并由此猜想向量这一运算(AB ×AD ) ·AP 的绝对值的几何意义. 25.(2000上海,18)如图5—9所示四面体ABCD 中,AB 、BC 、BD 两两互相垂直,且AB =BC =2,E 是AC 中点,异面直线AD 与BE 所成的角的大小为arccos 10 10,求四面体 ABCD 的体积. 图5—9 图5—10 图5—11 26.(2000天津、江西、山西)如图5—10所示,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,CA =CB =1,∠BCA =90°,棱AA 1=2,M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. (1)求BN 的长; (2)求cos<11,CB BA >的值; (3)求证:A 1B ⊥C 1M . 27.(2000全国理,18)如图5—11,已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°. (1)证明:C 1C ⊥BD ; (2)假定CD =2,CC 1= 2 3,记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α—BD —β的 平面角的余弦值; (3)当 1 CC CD 的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明. 28.(1999上海,20)如图5—12,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,AB =BC =a ,AD =2a ,且PA ⊥底面ABCD ,PD 与底面成30°角. (1)若AE ⊥PD ,E 为垂足,求证:BE ⊥PD ; (2)求异面直线AE 与CD 所成角的大小. 29.(1995上海,21)如图5—13在空间直角坐标系中BC =2,原点O 是BC 的中 点,点A 的坐标是(2 1 ,23,0),点D 在平面yOz 上,且∠BDC =90°, ∠DCB =30°。 (1)求向量OD 的坐标; (2)设向量AD 和BC 的夹角为θ,求cos θ的值. 图5—12 图5—13 答案解析 1.答案:D 解析:因为(a ·b )c =|a |·|b |·cos θ·c 而a (b ·c )=|b |·|c |·cos α·a 而c 方向与a 方向不一定同向. 评述:向量的积运算不满足结合律. 2.答案:D 解析:设OC =(x ,y ),OA =(3,1),OB =(-1,3),αOA =(3α,α), βOB =(-β,3β) 又αOA +βOB =(3α-β,α+3β) ∴(x ,y )=(3α-β,α+3β),∴? ??+=-=βαβα33y x 又α+β=1 因此可得x +2y =5 评述:本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法. 3.答案:D 解析:设(x ,y )=2b -a =2(0,-1)-(3,2)=(-3,-4). 评述:考查向量的坐标表示法. 4.答案:B 解法一:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 所在直线方程为y =k (x - 2 1),则OB OA ?=x 1x 2+y 1y 2. 又?? ???=-=x y x k y 2)21(2,得k 2x 2-(k 2+2)x + 42k =0,∴x 1·x 2=41,而y 1y 2=k (x 1-21)k (x 2-2 1)=k 2 (x 1- 2 1)(x 2- 2 1)=-1.∴x 1x 2+y 1y 2= 4 1-1=- 4 3. 解法二:因为直线AB 是过焦点的弦,所以y 1·y 2=-p 2=-1.x 1·x 2同上. 评述:本题考查向量的坐标运算,及数形结合的数学思想. 5.答案:A 解析:)(2 1111BC BA A A BM B B M B ++ =+==c + 2 1(-a +b )=- 2 1a + 2 1b +c 评述:用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力. 6.答案:B 解析:设c =m a +n b ,则(-1,2)=m (1,1)+n (1,-1)=(m +n ,m -n ). ∴???=--=+21n m n m ∴???????- ==2 32 1n m 评述:本题考查平面向量的表示及运算. 7.答案:D 解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假; ②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a -b |恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真; ③因为[(b ·c )a -(c ·a )b ]·c =(b ·c )a ·c -(c ·a )b ·c =0,所以垂直.故③假; ④(3a +2b )(3a -2b )=9·a ·a -4b ·b =9|a |2 -4|b |2 成立.故④真. 评述:本题考查平面向量的数量积及运算律. 8.答案:A 解析:设直线l 的方程为y =kx +b (此题k 必存在),则直线向左平移3个单位,向上平移1个单位后,直线方程应为y =k (x +3)+b +1即y =kx +3k +b +1 因为此直线与原直线重合,所以两方程相同.比较常数项得3k +b +1=b .∴k =-3 1. 评述:本题考查平移变换与函数解析式的相互关系. 9.答案:13 解析:∵(2a -b )·a =2a 2-b ·a =2|a |2-|a |·|b |·cos120°=2·4-2·5(-2 1)=13. 评述:本题考查向量的运算关系. 10.答案:90° 解析:由|α+β|=|α-β|,可画出几何图形,如图5—14. |α-β|表示的是线段AB 的长度,|α+β|表示线段OC 的长度,由|AB |=|OC | ∴平行四边形OACB 为矩形,故向量α与β所成的角为90° 评述:本题考查向量的概念,向量的几何意义,向量的运算.这些知识不只在学习向量时用到,而且在复数、物理学中也是一些最基本的知识. 11.答案:4 解析:∵OA ={-1,2},OB ={3,m },OA OB AB -=={4,m -2},又OA ⊥AB , ∴-1×4+2(m -2)=0,∴m =4. 评述:本题考查向量的概念,向量的运算,向量的数量积及两向量垂直的充要条件. 12.答案:( 22 3 ,22) 解析:设a =OA =2+i ,b =OB ,由已知OA 、OB 的夹角为 4 π ,由复数乘法的几何意 图5—14 义,得OB =OA (cos 4 π +isin 4 π )=(2+i )i i 22 32 2)2 22 2( + = + . ∴b =( 22 3,22) 评述:本题考查向量的概念,向量与复数一一对应关系,考查变通、变换等数学方法,以及运用数学知识解决问题的能力. 13.答案:-2 解析:由题意,得 ∵(a +b )⊥(a -b ),∴(m +2)×m +(m -4)(-m -2)=0,∴m =-2. 评述:本题考查平面向量的加、减法,平面向量的数量积及运算,两向量垂直的充要条件. 14.答案:-63 解析:解方程组 得 ∴a ·b =(-3)×5+4×(-12)=-63. 评述:本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法. 15.答案:(4,2) 解析:设P (x ,y ),由定比分点公式12 11321 0,22 1162 1 0=+ ?+ = =+ ?+ = y x , 则P (2,1),又由中点坐标公式,可得B (4,2). 16.(1)证明:∵}0,2 3, 2 { m m AB AC BC =-=,∴| BC |=m , 又}0,0,{},0,2 3,2 { m AC m m AB =- = ∴|AB |=m ,|AC |=m ,∴△ABC 为正三角形. 又AB ·1AA =0,即AA 1⊥AB ,同理AA 1⊥AC ,∴AA 1⊥平面ABC ,从而三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱. (2)解:取AB 中点O ,连结CO 、A 1O . ∵CO ⊥AB ,平面ABC ⊥平面ABB 1A 1,∴CO ⊥平面ABB 1A 1,即∠CA 1O 为直线CA 1与平面A 1ABB 1所成的角. 在Rt △CA 1O 中,CO = 2 3m ,CA 1=2 2n m +, a + b =(m +2)i +(m -4)j =(m +2,m -4) a - b =m i +(-m -2)j =(m ,-m -2) a +b =2i -8j a - b =-8i +16j a =-3i +4j =(-3,4) b =5i -12j =(5,-12) ∴sin CA 1O = 2 21 = CA CO ,即∠CA 1O =45°. 17.解:(1)取OB 的中点D ,连结O 1D , 则O 1D ⊥O B. ∵平面OBB 1O 1⊥平面OAB , ∴O 1D ⊥平面OA B. 过D 作AB 的垂线,垂足为E ,连结O 1E . 则O 1E ⊥A B. ∴∠DEO 1为二面角O 1—AB —O 的平面角. 由题设得O 1D =3, sin OBA = 7 212 2 = +OB OA OA , ∴DE =DB sin OBA = 7 21 ∵在R t △O 1DE 中,tan DEO 1=7, ∴∠DEO 1=arctan 7,即二面角O 1—AB —O 的大小为arctan 7. (2)以O 点为原点,分别以OA 、OB 所在直线为x 、y 轴,过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系如图5—15.则 O (0,0,0),O 1(0,1,3),A (3,0,0),A 1(3,1,3),B (0,2,0). 设异面直线A 1B 与AO 1所成的角为α, 则}3,1,3{},31,3{1111-=-=--=-=OO OA A O OA OB B A , cos α= 7 1| |||1111= ??A O B A A O B A , ∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小为arccos 7 1. 18.解法一:如图5—16,以O 点为原点建立空间直角坐标系. 由题意,有B (3,0,0),D ( 2 3,2,4),设P (3,0,z ),则 BD ={- 2 3,2,4},OP ={3,0,z }. 图5—15 图5—16 ∵BD ⊥OP ,∴BD ·OP =- 2 9+4z =0,z = 8 9. ∵BB ′⊥平面AOB ,∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角. tan POB = 8 3,∴∠POB =arctan 8 3. 解法二:取O ′B ′中点E ,连结DE 、BE ,如图5—17,则 DE ⊥平面OBB ′O ′, ∴BE 是BD 在平面OBB ′O ′内的射影. 又∵OP ⊥B D. 由三垂线定理的逆定理,得OP ⊥BE . 在矩形OBB ′O ′中,易得Rt △OBP ∽Rt △BB ′E , ∴ B B OB E B BP ' = ',得BP = 8 9. (以下同解法一) 19.解:(1)如图5—18,以点A 为坐标原点O ,以AB 所在直线为Oy 轴,以AA 1所在直线为Oz 轴,以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴,建立空间直角坐标系. 由已知,得 A (0,0,0), B (0,a ,0),A 1(0,0,2 a ), C 1(a a a 2,2 , 2 3- ). (2)坐标系如图,取A 1B 1的中点M ,于是有M (0, 2,2 a a ) ,连AM ,MC 1有 1MC =(- 2 3a ,0,0),且AB =(0,a ,0),1AA =(0,0, 2 a ) 由于1MC ·AB =0,1MC ·1AA =0,所以MC 1⊥面ABB 1A 1. ∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. ∵1AC =(a a a 2,2, 2 3- ),AM =(0, 2,2 a a ), ∴1AC ·AM =0+ 4 2 a +2a 2 = 49a 2 . 而|1AC |= a a a a 324 432 2 2 = ++ . |AM |= a a a 2 324 2 2 = +. 图5—17 图5—18 ∴cos <1AC ,AM >= 2 32 334 9 2 =? a a a . 所以1AC 与AM 所成的角,即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 20.解:(1)记P (x ,y ),由M (-1,0),N (1,0)得PM =-MP =(-1-x ,-y ), PN =-NP =(1-x ,-y ),MN =-NM =(2,0) ∴MP ·MN =2(1+x ),PM ·PN =x 2 +y 2 -1,NM ·NP =2(1-x ). 于是,MP ·MN ,PM ·PN ,NM ·NP 是公差小于零的等差数列等价于 ?? ? ? ?<+---++=-+,0)1(2)1(2)],1(2)1(2[2112 2x x x x y x 即???>=+0 ,32 2 x y x 所以,点P 的轨迹是以原点为圆心,3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0). PM ·PN =x 02+y 02-1=2. |PM |·|PN |= 2 02 02 02 0)1()1(y x y x +-? ++. ∴cos θ= 2 2 02 43tan .41| |||x x x PB PM PN PM --= -= ??θ 21.解:(1)由题意知B (a ,a ,0),C (-a ,a ,0),D (-a ,-a ,0),E (2 ,2,2h a a - ). 由此得,)2 ,23,2(),2,2,2 3(h a a DE h a a BE =- - = ∴42322)232()223(2 2 h a h h a a a a DE BE +-=?+?-+?-=?, 2 222 2 102 1)2()2()23(||||h a h a a DE BE +=+- +-= =. 由向量的数量积公式有 cos 2 2 2 22 2 2 2 2 2 106102 1102 142 3| |||h a h a h a h a h a DE BE DE BE ++-= +? ++- =?? (2)若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角,则CV BE ?,则有CV BE ⊥=0. 又由C (-a ,a ,0),V (0,0,h ),有CV =(a ,-a ,h )且)2 ,2,2 3(h a a BE - - =, ∴02 2 2 32 2 2 =+ + - =?h a a CV BE . 即h =2a ,这时有 cos 3 1) 2(10)2(61062 2 2 22 2 2 2- =++-= ++-a a a a h a h a , ∴∠BED = 1- )=π-arccos 3 1 评述:本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法;考查运用向量研究空间图形的数学思想方法. 22.(1)证明:因为CB ⊥平面A 1B ,所以A 1C 在平面A 1B 上的射影为A 1B . 由A 1B ⊥AE ,AE ?平面A 1B ,得A 1C ⊥AE . 同理可证A 1C ⊥AF . 因为A 1C ⊥AF ,A 1C ⊥AE , 所以A 1C ⊥平面AEF . (2)解:过A 作BD 的垂线交CD 于G ,因为D 1D ⊥AG ,所以AG ⊥平面D 1B 1BD . 设AG 与A 1C 所成的角为α,则α即为平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成的角. 由已知,计算得DG = 4 9. 如图5—19建立直角坐标系,则得点A (0,0,0),G (4 9, 3,0),A 1(0,0,5), C (4,3,0). AG ={ 4 9,3,0},A 1C ={4,3,- 5}. 图5—19 因为AG 与A 1C 所成的角为α, 所以cos α= 25 2 12arccos ,25 2 12| |||11== ??αC A AG C A AG . 由定理知,平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成角的大小为arccos 25 2 12. 注:没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角. 解法一:设AG 与BD 交于M ,则AM ⊥面BB 1D 1D ,再作AN ⊥EF 交EF 于N ,连接MN ,则∠ANM 即为面AEF 与D 1B 1BD 所成的角α,用平面几何的知识可求出AM 、AN 的长度. 解法二:用面积射影定理cos α= AEF ABD S S ??. 评述:立体几何考查的重点有三个:一是空间线面位置关系的判定;二是角与距离的计算;三是多面体与旋转体中的计算. 23.建立坐标系,如图5—20. (1)证明:设AE =BF =x ,则A ′(a ,0,a ),F (a -x ,a ,0),C ′(0,a ,a ),E (a ,x ,0) ∴F A '={-x ,a ,-a },E C '={a ,x -a ,-a }. ∵F A '·E C '=-xa +a (x -a )+a 2=0 ∴A ′F ⊥C ′E (2)解:设BF =x ,则EB =a -x 三棱锥B ′—BEF 的体积 V = 6 1x (a -x )·a ≤ 6 a ( 2 a )2= 24 1a 3 当且仅当x = 2 a 时,等号成立. 因此,三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时BE =BF = 2 a ,过B 作BD ⊥EF 于D ,连 B ′D ,可知B ′D ⊥EF .∴∠B ′DB 是二面角B ′—EF —B 的平面角在直角三角形BEF 中,直角边BE =BF = 2 a ,BD 是斜边上的高.∴BD = 4 2a . ∴tan B ′DB = 22='BD B B 故二面角B ′—EF —B 的大小为arctan22. 评述:本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值,二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系,把几何问题代数化,降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于F A '·E C '=0,使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法,计算较简单,有一定的思维量. 24.(1)证明:∵AB AP ?=-2-2+4=0,∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ?=-4+4+0=0,∴AP ⊥AD . ∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线,∴AP ⊥底面ABCD . (2)解:设AB 与AD 的夹角为θ,则 cos θ= 10534 16161428| |||= +?++-= ??AD AB AD AB V = 3 1|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=16141105 911053 2=++?-? (3)解:|(AB ×AD )·AP |=|-4-32-4-8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍. 猜测:|(AB ×AD )·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积). 评述:本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力,综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 25.解:如图5—21建立空间直角坐标系 由题意,有A (0,2,0)、C (2,0,0)、E (1,1,0) 设D 点的坐标为(0,0,z )(z >0) 则BE ={1,1,0},AD ={0,-2,z }, 设BE 与AD 所成角为θ. 则AD ·BE = 2·2 24+cos θ=-2,且AD 与BE 所成 的角的大小为arccos 10 10.∴cos 2 θ= 10 1422 = +z ,∴z =4,故|BD |的长度为4. 又V A —BCD = 6 1|AB |×|BC |×|BD |= 38 ,因此,四面体ABCD 的体积为3 8 . 图5—21 评述:本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具,利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题,思路自然,解法灵活简便. 26.解:如图5—22,建立空间直角坐标系O —xyz . (1)依题意得B (0,1,0)、N (1,0,1) ∴|BN |=3)01()10()01(2 2 2 = -+-+-. (2)依题意得A 1(1,0,2)、B (0,1,0)、C (0,0,0)、B 1(0,1,2) ∴1BA ={-1,-1,2},1CB ={0,1,2,},1BA ·1CB =3,|1BA |= 6,|1CB |=5 ∴cos<1BA ,1CB >= 3010 1| |||1111= ??CB BA CB BA . (3)证明:依题意,得C 1(0,0,2)、M ( 2 1 ,21,2) ,B A 1={-1,1,2}, M C 1={ 2 1 ,21,0}. ∴B A 1·M C 1=- 2 121++0=0,∴B A 1⊥M C 1,∴A 1B ⊥C 1M . 评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 27.(1)证明:设CB =a ,CD =b ,1CC =c ,则|a |=|b |,∵CB CD BD -==b -a , ∴BD ·1CC =(b -a )·c =b ·c -a ·c =|b |·|c |cos60°-|a |·|c |cos60°=0, ∴C 1C ⊥BD . (2)解:连AC 、BD ,设AC ∩BD =O ,连OC 1,则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵2 1)(2 1= += CD BC CO (a +b ),2 111= -=CC CO O C (a +b )-c ∴CO ·2 11= O C (a +b )·[ 2 1(a +b )-c ] = 4 1(a 2+2a ·b +b 2)- 2 1a ·c - 2 1b · c 图5—22 = 4 1(4+2·2·2cos60°+4)- 2 1·2· 2 3cos60°- 2 1·2· 2 3cos60°= 2 3. 则|CO |=3,|O C 1|= 2 3,∴cos C 1OC = 3 3| |||11= ??O C CO O C CO (3)解:设 1 CC CD =x ,CD =2, 则CC 1= x 2. ∵BD ⊥平面AA 1C 1C ,∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足:D C C A 11?=0即可. 设A A 1=a ,AD =b ,DC =c , ∵C A 1=a +b +c ,D C 1=a -c , ∴D C C A 11?=(a +b +c )(a -c )=a 2+a ·b -b ·c -c 2= x x 242 + -6,令6- 2 42x x - =0, 得x =1或x =- 3 2(舍去). 评述:本题蕴涵着转化思想,即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题. 28.(1)证明:∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥AB ,又AB ⊥AD .∴AB ⊥平面P AD .又∵AE ⊥PD ,∴PD ⊥平面ABE ,故BE ⊥PD . (2)解:以A 为原点,AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则点C 、D 的坐标分别为(a ,a ,0),(0,2a ,0). ∵PA ⊥平面ABCD ,∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角,∴∠PDA =30°. 于是,在Rt △AED 中,由AD =2a ,得AE =a .过E 作EF ⊥AD ,垂足为F ,在Rt △AFE 中,由AE =a ,∠EAF =60°,得AF = 2 a ,EF = 2 3a ,∴E (0, 2 3, 2 1a a ) 于是,CD a a AE },2 3, 2 1, 0{=={-a ,a ,0} 设AE 与CD 的夹角为θ,则由cos θ=| |||CD AE CD AE ?? 4 20 )()2 3( )2 1( 00 2 321)(02 2 2 2 2 2 = ++-? ++?+?+ -?a a a a a a a a ∴θ=arccos 4 2,即AE 与CD 所成角的大小为arccos 4 2. 评述:第(2)小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段. 29.解:(1)过D 作DE ⊥BC ,垂足为E ,在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°,BC =2,得BD =1,CD =3,∴DE =CD ·sin30°= 2 3. OE =OB -BE =OB -BD ·cos60°=1- 2 12 1= . ∴D 点坐标为(0,- 2 3, 2 1),即向量OD [TX →]的坐标为{0,- 2 3, 2 1}. (2)依题意:}0,1,0{},0,1,0{},0,2 1 ,23{ =-==OC OB OA , 所以}0,2,0{},2 3, 1,23{=-=-- =-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ,则 cos θ= 2 2 2 2 2 2 20)2 3( )1()2 3(0 2 32)1(02 3| |||++? +-+- ?+ ?-+?- = ??BC AD BC AD 105 1- =. 评述:本题考查空间向量坐标的概念,空间向量数量积的运算及空间向量的夹角公式.解决好本题的关键是对空间向量坐标的概念理解清楚,计算公式准确,同时还要具备很好的运算能力. 平面向量单元检测题 学校学号成绩 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.若ABCD是正方形,E是CD的中点,且AB a =,AD b =,则BE =() A. 1 2 b a +B.1 2 b a - C. 1 2 a b +D.1 2 a b - 2.下列命题中,假命题为() A.若0 a b -=,则a b = B.若0 a b ?=,则0 a =或0 b = C.若k∈R,k0 a =,则0 k=或0 a = D.若a,b都是单位向量,则a b ?≤1恒成立 3.设i,j是互相垂直的单位向量,向量13 () a m i j =+-,1 () b i m j =+-,()() a b a b +⊥-,则实数m为() A.2 -B.2 C. 1 2 -D.不存在 4.已知非零向量a b ⊥,则下列各式正确的是()A.a b a b +=-B.a b a b +=+ ... . . ... . . C .a b a b -=- D .a b +=a b - 5. 在边长为1的等边三角形ABC 中,设BC a =,CA b =,AB c =,则a b b c c a ?+?+?的值为 ( ) A . 32 B .32 - C .0 D .3 6. 在△OAB 中,OA =(2cos α,2sin α), OB =(5cos β,5sin β),若5OA OB ?=-,则S △OAB ( ) A B . 2 C .5 D . 52 7. 在四边形ABCD 中,2AB a b =+,4BC a b =--,53CD a b =--,则四边形ABCD 的形状是 ( ) A .长方形 B .平行四边形 C .菱形 D .梯形 8. 把函数23cos y x =+的图象沿向量a 平移后得到函数 的图象,则向量 是 ( ) A .( 33 ,π-) B .( 36 ,π) C .( 312 ,π-) D .(312 ,π- ) 9. 若点1F 、2F 为椭圆 的两个焦点,P 为椭圆上的点,当△12 F PF 的面积为1时, 的值为 ( ) A .0 B .1 C .3 D .6 2sin()y x π =-6 a 2214 x y +=1 2 PF PF ? 数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1.★★(2014·辽宁卷L) 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b∥c ,则a∥c ,则下列命题中真命题是 ( ) A .p ∨q B .p ∧q C .)()(q p ?∧? D .)(q p ?∨ 2.★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB → 与AC → 的夹角为________. 3.★★(2014·四川卷) 平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,则=+FC EB ( ) A . B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OD OC OB OA +++等于 ( ) A .OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★(2011浙江L )若平面向量,αβ满足1,1a β=≤,且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ,则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★(2014浙江 L )记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?,,min{,},y x y x y x x y ≥?=?,设,a b r r 为平面向量,则( ) A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ C.2 222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2 222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+ 5.平面向量(含解析) 一、选择题 【2015,2】2.已知点A (0,1),B (3,2),向量(4,3)AC =--,则向量BC =( ) A .(-7,-4) B .(7,4) C .(-1,4) D .(1,4) 【2014,6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则=+( ) A . B . 21 C .2 1 D . 二、填空题 【2017,13】已知向量()1,2a =-,(),1b m =,若向量a b +与a 垂直,则m = . 【2016,13】设向量()1x x +,a =,()12,b =,且⊥a b ,则x = . 【2013,13】已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =ta +(1-t )b .若b ·c =0,则t =______. 【2012,15】15.已知向量a ,b 夹角为45°,且||1a =,|2|10a b -=,则||b =_________. 【2011,13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数, 若向量+a b 与向量k -a b 垂直,则k = . 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编 4.平面向量 一、选择题 (2017·4)设非零向量,a b ,满足+=-a b a b 则( ) A .a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b (2015·4)向量a = (1,-1),b = (-1,2),则(2a +b )·a =( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (2014·4)设向量b a ,满足10||=+b a ,6||=-b a ,则=?b a ( ) A .1 B .2 C .3 D .5 二、填空题 (2016·13)已知向量a =(m ,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m =___________. (2013·14)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ?=uu u r uu u r _______. (2012·15)已知向量a ,b 夹角为45o,且|a |=1,|2-a b |b |= . (2011·13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a +b 与向量k a -b 垂直,则k = . 平面向量高考经典试题 一、选择题 1.(全国1文理)已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,则a 与b A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向 2、(山东文5)已知向量(1)(1)n n ==-,,,a b ,若2-a b 与b 垂直,则=a ( ) A .1 B .2 C .2 D .4 3、(广东文4理10)若向量,a b 满足||||1a b ==,,a b 的夹角为60°,则a a a b ?+?=______; 答案:3 2 ; 4、(天津理10) 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、(山东理11)在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2 AC AC AB =? (B ) 2 BC BA BC =? (C )2AB AC CD =? (D ) 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 6、(全国2 理5)在?ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD =2DB , CD =CB CA λ+3 1 ,则= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、(全国2理12)设F 为抛物线y 2 =4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,若 ++=0,则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、(全国2文6)在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若 平面向量高考试题精选(一) 一.选择题(共14小题) 1.(2015?河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则() A. B. C. D. 2.(2015?福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21 3.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=()A.20 B.15 C.9 D.6 4.(2015?安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是() A.||=1 B.⊥C.?=1D.(4+)⊥ 5.(2015?陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是() A.||≤|||| B.||≤|||﹣||| C.()2=||2D.()?()=2﹣2 6.(2015?重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()A. B. C. D.π 7.(2015?重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为() A. B. C. D. 8.(2014?湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D 满足||=1,则|++|的取值范围是() A.[4,6] B.[﹣1,+1] C.[2,2] D.[﹣1,+1] 9.(2014?桃城区校级模拟)设向量,满足,,<>=60°,则||的最大值等于() A.2 B. C. D.1 10.(2014?天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=() A. B. C. D. 11.(2014?安徽)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为() A. B. C. D.0 一、多选题1.题目文件丢失! 2.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量,下列命题中正确的是( ) A .||||||a b a b ?≤ B .若a b c b ?=?且0b ≠,则a c = C .两个非零向量a ,b ,若||||||a b a b -=+,则a 与b 共线且反向 D .已知(1,2)a =,(1,1)b =,且a 与a b λ+的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? 3.在RtABC 中,BD 为斜边AC 上的高,下列结论中正确的是( ) A .2 AB AB AC B .2 BC CB AC C .2AC AB BD D .2 BD BA BD BC BD 4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,b =15,c =16,B =60°,则a 边为( ) A .8+33 B .83161+ C .8﹣33 D .83161- 5.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ,其中1OA =,则下列结论正确的有( ) A .2 2 OA OD ?=- B .2OB OH OE +=- C .AH HO BC BO ?=? D .AH 在AB 向量上的投影为22 - 6.在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形 7.在△ABC 中,AB =AC ,BC =4,D 为BC 的中点,则以下结论正确的是( ) A .BD AD AB -= B .1 ()2 AD AB AC = + C .8BA BC ?= D .AB AC AB AC +=- 8.已知a 、b 是任意两个向量,下列条件能判定向量a 与b 平行的是( ) A .a b = B .a b = C .a 与b 的方向相反 D .a 与b 都是单位向量 9.有下列说法,其中错误的说法为( ). A .若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c B .若PA PB PB P C PC PA ?=?=?,则P 是三角形ABC 的垂心 C .两个非零向量a ,b ,若a b a b -=+,则a 与b 共线且反向 D .若a ∥b ,则存在唯一实数λ使得a b λ= 10.已知正三角形ABC 的边长为2,设2AB a =,BC b =,则下列结论正确的是( ) A .1a b += B .a b ⊥ C .() 4a b b +⊥ D .1a b ?=- 11.(多选)若1e ,2e 是平面α内两个不共线的向量,则下列说法不正确的是( ) A .()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量 B .对于平面α中的任一向量a ,使12a e e λμ=+的实数λ,μ有无数多对 C .1λ,1μ,2λ,2μ均为实数,且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使() 11122122e e e e λμλλμ+=+ D .若存在实数λ,μ,使120e e λμ+=,则0λμ== 12.如图所示,梯形ABCD 为等腰梯形,则下列关系正确的是( ) A .A B D C = B .AB D C = C .AB DC > D .BC AD ∥ 新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 5.平面向量(含解析) 一、选择题 【2015,2】2.已知点A (0,1),B (3,2),向量(4,3)AC =--u u u r ,则向量BC =u u u r ( ) A .(-7,-4) B .(7,4) C .(-1,4) D .(1,4) 【2014,6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则=+FC EB ( ) A .AD B . AD 21 C .BC 2 1 D .BC 二、填空题 【2017,13】已知向量()1,2a =-r ,(),1b m =r ,若向量a b +r r 与a r 垂直,则m = . 【2016,13】设向量()1x x +,a =,()12,b =,且⊥a b ,则x = . 【2013,13】已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =ta +(1-t )b .若b ·c =0,则t =______. 【2012,15】15.已知向量a r ,b r 夹角为45°,且||1a =r ,|2|a b -=r r ||b =r _________. 【2011,13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量+a b 与向量k -a b 垂直,则k = . 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编 4.平面向量 一、选择题 (2017·4)设非零向量,a b ,满足+=-a b a b 则( ) A .a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b (2015·4)向量a = (1,-1),b = (-1,2),则(2a +b )·a =( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (2014·4)设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ,6||=-b a ρρ,则=?b a ρρ( ) A .1 B .2 C .3 D .5 二、填空题 (2016·13)已知向量a =(m ,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m =___________. (2013·14)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ?=uu u r uu u r _______. 平面向量高考经典试题 海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料 一、选择题 1.(全国1文理)已知向量(5,6)a =-r ,(6,5)b =r ,则a r 与b r A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向 解.已知向量(5,6)a =-r ,(6,5)b =r ,30300a b ?=-+=r r ,则a r 与b r 垂直,选A 。 2、(山东文5)已知向量(1)(1)n n ==-,,,a b ,若2-a b 与b 垂直,则=a ( ) A .1 B .2 C .2 D .4 【答案】:C 【分析】:2(3,)n -a b =,由2-a b 与b 垂直可得: 2(3,)(1,)303n n n n ?-=-+=?=±, 2=a 。 3、(广东文4理10)若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ,,a b r r 的夹角为60°,则a a a b ?+?r r r r =______; 答案:3 2 ; 解析:1311122 a a a b ?+?=+??=r r r r , 4、(天津理10) 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2 m b m α=+r 其中,,m λα为 实数.若2,a b =r r 则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 【答案】A 【分析】由22 (2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2 m b m α=+r 2,a b =r r 可得 2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?,设k m λ =代入方程组可得222 22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2 2 22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ? --?? ,再化简得 平面向量单元测试题 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.向量a =(1,-2),向量a 与b 共线,且|b |=4|a |.则b =( ) A .(-4,8) B .(-4,8)或(4,-8) C .(4,-8) D .(8,4)或(4,8) 2.已知a=(2,1),b =(x ,1),且a +b 与2a -b 平行,则x 等于( ) A .10 B .-10 C .2 D .-2 3.已知向量a 和b 满足|a |=1,|b |=2,a ⊥(a -b ).则a 与b 的夹角为( ) A .30o B .45o C .75o D .135o 4.设e 1、e 2是两个不共线向量,若向量 a =3e 1+5e 2与向量b =m e 1-3e 2共线, 则m 的值等于( ) A .- 53 B .- 95 C .- 35 D .- 59 5.设□ABCD 的对角线交于点O ,AD → =(3,7),AB → =(-2,1),OB → =( ) A .( -52 ,-3) B .(52 ,3) C .(1,8) D .(1 2 ,4) 6.设a 、b 为两个非零向量,且a ·b =0,那么下列四个等式①|a |=|b |;②|a +b |=|a -b |; ③a ·(b +a )=0;④(a +b )2=a 2+b 2.其中正确等式个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 7.下列命题正确的是( ) A .若→ a ∥→ b ,且→ b ∥→ c ,则→ a ∥→ c B .两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同 C .向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 D .若非零向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线 8.a =),(21-,b =),(1-1,c =),(2-3用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a +q b ,则实数p 、q 的值为( ) A .p =4 q =1 B . p =1 q =4 C . p =0 q =4 D . p =1 q =0 9.设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ,已知(DB → +DC → -2DA → )·(AB → -AC → )=0.则ΔABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形 10.设()()2211,,,y x b y x a ==定义一种向量积()()().,,,21212211y y x x y x y x b a =?=?已知 ,0,3,21,2?? ? ??=??? ??=πn m 点()y x P ,在x y sin =的图象上运动,点Q 在()x f y =的图象上运动,且满足 (),为坐标原点 其中O n OP m OQ +?=则()x f y =的最大值A 及最小正周期T 分别为( ) A .π,2 B ., 2π4 C .,21π4 D .π,2 1 二、填空题:每小题5分,共25分. 11.已知()2,1,10==b a ,且b a //,则a 的坐标为_______ 12.已知向量a 、b 满足 a =b =1,b a 23-=3,则 b a +3 = 13.已知向量a =( 2 ,- 2 ),b =( 3 ,1)那么(a +b )·(a -b )的值是 . 14.若a =(2,3),b =(-4,7),a +c =0,则c 在b 方向上的投影为 . 15.若对n 个向量 a 1,a 2,a 3,…,a n ,存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1 a 1+k 2a 2 +…+k n a n =0成立,则称a 1,a 2,…,a n 为“线性相关”.依此规定,能使a 1=(1,0),a 2=(1, -1),a 3=(2,2)“线性相关”的实数k 1,k 2,k 3 依次可以取 . 三、解答题 16.(本题满分13分)已知向量a =(sin 2x ,cos 2x),b =(sin 2x ,1), )(x f )=8a ·b . (1)求)(x f 的最小正周期、最大值和最小值. (2)函数y=)(x f 的图象能否经过平移后,得到函数y=sin4x 的图象,若能,求出平移向量m ;若不能,则说明理由. 2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点,过P作两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B 求的值() A. B. C. D. 2、向量,,若,且,则x+y的值为() A.-3 B.1 C.-3或1 D.3或1 3、已知向量满足,若,则向量在方向上的投影为A. B. C.2 D.4 4、.如图,为等腰直角三角形,,为斜边的高,为线段的中点,则 () A.B. C.D. 5、在平行四边形中,,若是的中点,则() A. B. C. D. 6、已知向量,且,则() A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形,D为的中点,且,则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中,,则该四边形的面积为 A. B. C.5 D.10 9、下列命题中正确的个数是() ⑴若为单位向量,且,=1,则=;⑵若=0,则=0 ⑶若,则;⑷若,则必有;⑸若,则 A.0 B.1 C.2 D.3 10、如图,在扇形中,,为弧上且与不重合的一个动点,且,若存在最大值,则的取值范围为() 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足,且对任意都有,则的最小值为________. 13、已知,,则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知,是夹角为的两个单位向量,,,若,则实数的值为 __________. 15、已知向量与的夹角为120°,,,则________. 16、已知中,为边上靠近点的三等分点,连接为线段的中点,若 , 则__________. 17、已知向量为单位向量,向量,且,则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中,已知E,F分别是BC,CD上的点,且满足,。若 (λ,μ∈R),则λ+μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中,向量,,且. (1)求的值;(2)设,求的值. 20、已知向量=(sin,cos﹣2sin),=(1,2). (1)若∥,求的值; (2)若,0<<,求的值. 21、已知向量,.(1)若在集合中取值,求满足的概率;(2)若 在区间[1,6]内取值,求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中,已知向量, (1)求证:且; (2)设向量,,且,求实数t的值. 一、多选题1.题目文件丢失! 2.若a →,b →,c → 是任意的非零向量,则下列叙述正确的是( ) A .若a b →→ =,则a b →→ = B .若a c b c →→→→?=?,则a b →→ = C .若//a b →→,//b c →→,则//a c →→ D .若a b a b → → → → +=-,则a b →→ ⊥ 3.已知ABC 的三个角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos A b B a =,则该三角形的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 4.在ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 2sin c A =,且 02 C << π ,4b =,则以下说法正确的是( ) A .3 C π = B .若72 c = ,则1cos 7B = C .若sin 2cos sin A B C =,则ABC 是等边三角形 D .若ABC 的面积是4 5.已知在平面直角坐标系中,点()10,1P ,()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点 时,点P 的坐标为( ) A .4,23?? ??? B .4,33?? ??? C .()2,3 D .8 ,33?? ??? 6.已知向量()1,0a =,()2,2b =,则下列结论正确的是( ) A .()25,4a b += B .2b = C .a 与b 的夹角为45° D .() //2a a b + 7.以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A .在ABC 中,a :b :c =sin A :sin B :sin C B .在ABC 中,若sin 2A =sin 2B ,则a =b C .在ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B ,若A >B ,则sin A >sin B 都成立 历年平面向量高考试 题汇集 高考数学选择题分类汇编 1.【2011课标文数广东卷】已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实 数,(a +λb)∥c ,则λ=( ) A.14 B .1 2 C .1 D .2 2.【2011·课标理数广东卷】若向量a ,b ,c 满足a ∥b 且a ⊥c ,则c·(a +2b)=( ) A .4 B .3 C .2 D .0 3.【2011大纲理数四川卷】如图1-1,正六边形ABCDEF 中,BA →+CD →+EF →= ( ) A .0 B.BE → C.AD → D.CF → 4.【2011大纲文数全国卷】设向量a ,b 满足|a|=|b|=1,a·b =-1 2,则|a +2b|=( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5.【2011课标文数湖北卷】若向量a =(1,2),b =(1,-1),则2a +b 与a -b 的夹角等于( ) A .-π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6.【2011课标理数辽宁卷】若a ,b ,c 均为单位向量,且a·b =0,(a -c)·(b -c)≤0,则|a +b -c|的最大值为( ) A.2-1 B .1 C. 2 D .2 【解析】 |a +b -c|=(a +b -c )2=a 2+b 2+c 2+2a·b -2a·c -2b·c ,由于a·b =0,所以上式=3-2c·(a +b ),又由于(a -c)·(b -c)≤0,得(a +b)·c ≥c 2=1,所以|a +b -c|=3-2c·(a +b )≤1,故选B. 7.【2011课标文数辽宁卷】已知向量a =(2,1),b =(-1,k),a·(2a -b)=0,则k =( ) A .-12 B .-6 C .6 D .12 平面向量高考真题精选(一) 一.选择题(共20小题) 1.(2017?新课标Ⅱ)设非零向量,满足|+|=|﹣|则() A.⊥B.||=||C.∥D.||>|| 2.(2017?新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则?(+)的最小值是() A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1 3.(2017?浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=?,I2=?,I3=?,则() A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3 4.(2017?新课标Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为() A.3 B.2 C.D.2 5.(2016?四川)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是() A.B.C. D. 6.(2016?新课标Ⅱ)已知向量=(1,m),=(3,﹣2),且(+)⊥,则m=() A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8 7.(2016?天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、 BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为()A.﹣ B.C.D. 8.(2016?山东)已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为() A.4 B.﹣4 C.D.﹣ 9.(2016?四川)在平面内,定点A,B,C,D满足==,?=?=?=﹣2,动点P,M满足=1,=,则||2的最大值是() A.B.C. D. 10.(2016?新课标Ⅲ)已知向量=(,),=(,),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120° 11.(2015?新课标Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,,则()A.B. C.D. 12.(2015?新课标Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(﹣4,﹣3),则向量=() A.(﹣7,﹣4)B.(7,4) C.(﹣1,4)D.(1,4) 13.(2015?四川)设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=()A.2 B.3 C.4 D.6 14.(2015?山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.﹣a2B.﹣a2C.a2 D.a2 15.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N 一、多选题 1.正方形ABCD 的边长为1,记AB a =,BC b =,AC c =,则下列结论正确的是 ( ) A .() 0a b c -?= B .() 0a b c a +-?= C .()0a c b a --?= D .2a b c ++= 2.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量,下列命题中正确的是( ) A .||||||a b a b ?≤ B .若a b c b ?=?且0b ≠,则a c = C .两个非零向量a ,b ,若||||||a b a b -=+,则a 与b 共线且反向 D .已知(1,2)a =,(1,1)b =,且a 与a b λ+的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? 3.在ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 2sin c A =,且 02 C << π ,4b =,则以下说法正确的是( ) A .3 C π = B .若72 c = ,则1 cos 7B = C .若sin 2cos sin A B C =,则ABC 是等边三角形 D .若ABC 的面积是4 4.在ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,已知 cos cos 2B b C a c =-, ABC S = △b = ) A .1cos 2 B = B .cos 2 B = C .a c += D .a c +=5.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论,正确的是( ) A .cos cos 0A B +> B .若a b >,则cos2cos2A B < C .24sin sin sin S R A B C =,其中R 为ABC 外接圆的半径 D .若ABC 为非直角三角形,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 一、多选题 1.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论,正确的是( ) A .cos cos 0A B +> B .若a b >,则cos2cos2A B < C .24sin sin sin S R A B C =,其中R 为ABC 外接圆的半径 D .若ABC 为非直角三角形,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 2.已知ABC 的面积为3,在ABC 所在的平面内有两点P ,Q ,满足20PA PC +=, 2QA QB =,记APQ 的面积为S ,则下列说法正确的是( ) A .//P B CQ B .2133 BP BA BC = + C .0PA PC ?< D .2S = 3.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A . 6 π B . 3 π C . 56 π D . 23 π 4.已知点()4,6A ,33,2B ??- ??? ,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33?? ??? B .97,2?? ??? C .14,33?? - - ??? D .(7,9) 5.在△ABC 中,点E ,F 分别是边BC 和AC 上的中点,P 是AE 与BF 的交点,则有( ) A .1122AE A B A C → →→ =+ B .2AB EF →→ = C .1133 CP CA CB → →→ =+ D .2233 CP CA CB → →→ =+ 6.在ABC 中,AB =1AC =,6 B π =,则角A 的可能取值为( ) A . 6 π B . 3 π C . 23 π D . 2 π 7.以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A .在ABC 中,a :b :c =sin A :sin B :sin C B .在ABC 中,若sin 2A =sin 2B ,则a =b C .在ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B ,若A >B ,则sin A >sin B 都成立 D .在ABC 中, sin sin sin +=+a b c A B C 8.下列关于平面向量的说法中正确的是( ) 《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P (1,1),A (2,-4),B (x,-9)共线,则( ) A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是( ) A.(-5k,4k ) B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ,则A 分所成的比是( ) A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ,a ·b=-40,|a|=10,|b|=8,则向量a 与b 的夹角为( ) A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5,则向量a ·b=( ) A.103 B.-103 C.102 D.10 6.(浙江)已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c =( ) A.? ????79,73 B.? ????-73,-79 C.? ????73,79 D.? ????-7 9 ,-73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量(a+x )·b 与b 垂直,则x 的值为( ) A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点P 在有向线段21P P 的延长线上,则λ的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中,有DC = 2 1 ,且||=|BC |,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为( ) A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后,得到y=x 2 的图像,则a 等于( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D 的坐标是( ) A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1),向量b 与a 共线且b 与a 同向,b 的模为25,则b= 。 14.已知:|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°,要使λb-a 垂直,则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5,如果a ∥b ,则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中,(AB +AD )·(AB -AD )= 。 6 . ( 2015?重庆)若非零向量 S 满足|叫 --I - 夹角为( ) 7T ~2 C . 平面向量高考试题精选(一) 一 ?选择题(共14小题) 1. ( 2015?可北)设D ABC 所在平面内一点,’-:’丨,则( ) 2.( 2015?畐建)已知忑匚心 I A B 1^-- I AC I 二t ,若P 点是△ ABC 所在平面内一点, 且7p- 4-4^-,则PB-PC 的最大值等于( ) |AB| |AC| A . 13 B . 15 C . 19 D . 21 3. (2015?四川)设四边形 ABCD 为平行四边形,『:|=6, $ >|=4,若点M 、N 满足卩", 则川-【」;=( ) A . 20 B . 15 C . 9 D . 6 4. (2015?安徽)△ ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量 …,满足「丨,=2“,U 「=2i+.?, 则下列结论正确的是( ) A .卩 |=1 B . -ah C . ?,=1 D . (4 |+[ ■)丄 5. ( 2015?陕西)对任意向量 I 、烏下列关系式中不恒成立的是( ) A .丨「忡计| '| B .丨-:冋十卩,|| ―* ―? —? ――* —S- —* C .(日 + b ) 2=|旦+ b |2 D . (n+b ) ? (,-¥)=耳2—H 2 A . B . 7. ( 2015?重庆)已知非零向量 辽, b 满足l b |叫|,且且 丄 ( 2 a + b )则呂与b 的夹角 为( ) A 7T A.— B . — C . — D . — 3 2 3 6 & ( 2014?湖南)在平面直角坐标系中, O 为原点,A (- 1, 0), B (0 ,(5), C ( 3, 0), 动点D 满足「|=1,则| ;+飞+ 一丁|的取值范围是( ) A ? [4, 6] B . [ . - 1 , l'i+1] C . [2 一;,2 ? ] D . [. - - 1 , +1] 9. ( 2014?桃城区校级 模拟)设向量;,E , 7满足 |十币|二 1,二?二—斗 v ;, g ■;> =60°则|岀的最大值等于( ) A . 2 B . C ..二 D . 1 中的最小值为4|.『,则d 与「的夹角为( ) (1, 2), b = (4, 2), C =m 3+bi (m€R ),且 d 与占的夹角等 —? — 于 与?■的夹角,贝U m=( ) A . - 2 B . - 1 C . 1 D . 2 13. (2014?新课标I )设D , E , F 分别为△ ABC 的三边BC , CA , AB 的中点,则卜?+卜’= 10. 上, 11. (2014?安徽)设1丨,为非零向量,|l ,|=2|.i|,两组向量??-.,「,「,― <■和 ?」,丁;,均由2个:和2个排列而成,若 + 巧 12. (2014?四川)平面向量?■<= (2014?天津)已知菱形 ABCD 的边长为2, / BAD=120 °点E 、F 分别在边 BC 、DC 廿尸( B . D . 高中平面向量经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、向量a=(2,4),b=(-1,-3),则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°,a=(3,4),|b | =1,则|a+5b | = 。 3、已知点A(1,2),B(2,1),若→ AP=(3,4),则 → BP= 。 4、已知A(-1,2),B(1,3),C(2,0),D(x,1),若AB与CD共线,则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a,b满足|a+b|= 10,|a-b|= 6 ,则a·b=。 7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是。 8、在△ABC中,D为AB边上一点,→ AD = 1 2 → DB, → CD = 2 3 → CA + m → CB,则 m= 。 9、已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,a⊥(2a+b),则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中,已知A(-3,1),B(4,-2),点P(1,-1)在中线AD 上,且→ AP= 2 → PD,则点C的坐标是()。 二、选择题 1、设向量→ OA=(6,2),→ OB=(-2,4),向量→ OC垂直于向量→ OB,向量 → BC平行于 →OA,若→ OD + → OA= → OC,则 → OD坐标=()。 A、(11,6) B、(22,12) C、(28,14) D、(14,7) 2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A',则点A'的坐标() A、(4 , 2) B、(3,1) C、(2,1) D、(1,0) 3、已知向量a,b,若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则(2a+ b)⊥(a-2b),则向量a与b的夹角是()。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°,| a|= 2,b=(-1,0),则| 2a-3b|=()平面向量单元测试题(含答案)
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