新人教版九年级上册《第24章圆》单元测试卷

新人教版九年级上册《第24章圆》单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列说法错误的是（）

A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧

C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧

2．如图，正方形ABCD四个顶点都在O上，点P是在弧AB上的一点，则CPD 的度数是（）

A．35B．40C．45D．60

3．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）

A．3cm B cm C．2.5cm D cm 4．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是( )

A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°5．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）

A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．P是⊙O内一点，⊙O的半径为15，P点到圆心的距离为9，通过P点、长度是整数的弦的条数是（）

A．5 B．7 C．10 D．12

7．如果两条弦相等，那么（）

A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等

C．圆心到这两条弦的距离相等D．以上答案都不对

8．如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 的值为（ ）

A ．12

B ．

√32 C ．√33 D ．√3

9．如图，已知⊙O 的半径为2，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于（ ）

A ．OM 的长

B ．12OM 的长

C ．2OM 的长 D

．CD 的长

10．如图，在直角△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D 、E 分别是AC 、BC 上的一点，且DE=3．若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M 、N ，则MN 的最大值为（ ）

A ．85

B ．2

C ．125

D ．14

5

二、填空题

11．有一张矩形的纸片，AB=3cm ，AD=4cm ，若以A 为圆心作圆，并且要使点D 在⊙A 内，而点C 在⊙A 外，⊙A 的半径r 的取值范围是 ______.

12．正八边形的中心角为______度．

13．如图，已知Rt △ABC 的斜边AB=8，AC=4．以点C 为圆心作圆，当⊙C 与边AB 只有一个交点时，则⊙C 的半径的取值范围是_____．

14．如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么围成的圆锥的高度是cm．

15．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中AC的长是_____cm（计算结果保留π）．

16．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC

于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为2

3

π

，则图中阴影部分的面积为_____．

17．如图，扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角的度数是________．

18．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为_____cm2．（结果保留π）

19．扇形的圆心角为120°，弧长为6πcm，那么这个扇形的面积为_____cm2．20．如图，⊙O的半径⊥

OD AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB4,CD1

==,则EC的长为___ .

三、解答题

21．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB=∠COD．求证：∠C=∠D．

22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．

（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

23．已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm．

（1）求DE的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

24．

如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．

（1）求证：CF﹦BF；

（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．

25．如图，⊙O的半径为6，点A，B，C为⊙O上三点，BA平分∠OBC，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）当sin∠OBC=2

时，求BC的长；

3

（3）连结AC，当AC∥OB时，求图中阴影部分的面积．

26．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．

（1）求证：AB=EF；

（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．

参考答案

1．B

【解析】

试题解析：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；

B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；

C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；

D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．

故选B．

2．C

【解析】

【分析】

连AC，由四边形ABCD为正方形，得到∠CAD=45°，由∠CPD=∠CAD=45°．

【详解】

连接AC，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°．

又∵∠CPD=∠CAD，∴∠CPD=45°．

故选C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了正方形的性质．

3．D

【解析】

分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．

详解：连接OB，

∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2

解得：OE=3，

∴OB=3+2=5，

∴EC=5+3=8．

在Rt△EBC中，

==

∵OF⊥BC，

∴∠OFC=∠CEB=90°．

∵∠C=∠C，

∴△OFC∽△BEC，

∴OF OC

BE BC

=，即

4

OF

，

解得：

故选D．

点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．

4．D

【解析】

分析：圆的弦所对的圆周角分两种，一种是优弧所对的圆周角，一种是劣弧所对的圆周角，它们互补.

详解：因为正六边形的中心角是360°÷6＝60°，所以圆内接正六边形的一边所对的

圆周角为30°或150°.

点睛：本题考查了圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的弧所对的圆心角度数的

一半，圆的弦所对的圆周角分两种，一种是优弧所对的圆周角，一种是劣弧所对的

圆周角，它们是互补的关系.

5．D

【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB 的度数，再根据圆周定理求出∠C 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E 的度数即可．

【详解】由图可知，OA=10，OD=5，

在Rt △OAD 中，

∵OA=10，OD=5，，

∴tan ∠1=AD OD

=∴∠1=60°， 同理可得∠2=60°

， ∴∠AOB=∠1+∠2=60°

+60°=120°， ∴∠C=60°

， ∴∠E=180°

-60°=120°, 即弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°

， 故选D ．

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.

6．D

【解析】

解：在⊙O 中，半径是15，点P 到圆心的距离为9，则过点P 最长的弦是过点P 的直径，长度为30．过点P 最短的弦是垂直于OP 的弦，这条弦长为24．

最长的弦有一条，最短的弦有一条，而弦长分别是25，26，27，28，29的弦有两条，

所以过P 点，长度是整数的弦一共有1+2×

5+1=12条． 故选D ．

7．D

【解析】

根据圆心角、弧、弦之间的关系（在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的弧相等，所对的圆心角相等，圆心到两条弦的距离相等）判断即可．

【详解】

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的弧相等，所对的圆心角相等，圆心到两条弦的距离（弦心距）相等，

即选项A、B、C都不对．

故选D．

【点睛】

本题考查的知识点圆心角、弧、弦之间的关系的应用，解题关键是注意在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的弧相等，所对的圆心角相等，圆心到两条弦的距离（弦心距）相等．

8．C

【解析】

【分析】

首先设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，根据直角对的圆周角是直径，即可得CD 是直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠OBC=∠ODC，继而可求得答案．

【详解】

设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD．

∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10．

∵C（0，5），∴OC=5，∴OD=√CD2?OC2=5√3．

∵∠OBC=∠ODC，∴tan∠OBC=tan∠ODC=OC

OD =

5√3

=√3

3

．

故选C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

9．B

【解析】

【分析】

作直径AE，连接BE，得直角三角形ABE，根据圆周角定理可证∠CBD=∠MAO，运用三角函数定义求解即可．

【详解】

作直径AE，连接BE．如图所示：

则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，∴∠BDC=∠ABE=90°，即△ABE和△BCD都是直角三角形，∴∠CBD=∠EAB．

又∵△OAM是直角三角形，OA=2，∴sin∠CBD=sin∠EAB=OM

OA =1

2

OM，即sin∠CBD的值等

于1

2

OM的长．

故选B．

【点睛】

本题考查了圆周角定理和三角函数定义．通过作辅助线证出∠CBD=∠EAB是解决问题的关键．

10．C．

【解析】

试题分析：过O作OG垂于G，连接OC，∵OC=3

2，只有C、O、G三点在一条直线上OE最

小，连接OM，∴OM=3

2，∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，作CF⊥AB于F，

∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴

，∵

1

2

AC?BC=

1

2AB?CF，∴CF=12 5

，∴OG=

12

5﹣

3

2=

9

10，∴MG=22

OM OG

- =

6

5，∴MN=2MG=

12

5，故选C．

考点：直线与圆的位置关系．

11．4cm＜r＜5cm

【解析】

试题解析：矩形的纸片，3cm,4cm.

AB AD

==

5cm.

AC

∴=

以A为圆心作圆，并且要使点D在A内，而点C在A外,

A的半径r的取值范围是：4cm<5cm.

r<

故答案为：4cm<5cm.

r<

12．45°

【分析】

运用正n边形的中心角的计算公式

360

n

?

计算即可.

【详解】

解：由正n边形的中心角的计算公式可得其中心角为

360

45

8

?

=?，

故答案为45°.

【点睛】

本题考查了正n边形中心角的计算.

13．r=2√3或4＜r≤4√3．

【解析】

【分析】

作CD⊥AB于D，如图，利用勾股定理计算出BC=4√3，再利用面积法计算出CD=2√3，讨

论：当⊙C与AB相切时得到r=2√3；当直线AB与⊙C相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，CA＜r≤CB．

【详解】

作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ABC中，BC=√82?42=4√3．

∵1

2CD?AB=1

2

AC?BC，∴CD=4×4√3

8

=2√3，当⊙C与AB相切时，r=2√3；

当直线AB与⊙C相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，4＜r≤4√3．

综上所述：当r=2√3或4＜r≤4√3，⊙C与边AB只有一个公共点．

故答案为：r=2√3或4＜r≤4√3．

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l 和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．

14．4

【分析】

已知弧长即已知围成的圆锥的底面半径的长是6πcm，这样就求出底面圆的半径．扇形的半径为5cm就是圆锥的母线长是5cm．就可以根据勾股定理求出圆锥的高．

【详解】

设底面圆的半径是r，则2πr=6π，

∴r=3cm，

∴圆锥的高．

故答案为4.

15．10π

【分析】

根据AC的长就是圆锥的底面周长即可求解．

【详解】

解：∵圆锥的高h为12cm，OA=13cm，

∴，

∴圆锥的底面周长为10πcm，

∴扇形AOC中AC的长是10πcm，

故答案为10π．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长．

162 3π

【解析】

试题分析：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，

∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，

∴∠BAC=∠EBA=30°，∴BE∥AD，BE的长为，,解得R=2.∴AB=ADcos30°=2，∴BC=AB=,

(23)2(3)23,

AC A B B C

=-=-=

121233332, s ABC BC AC

?=??=?=

∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE=

考点：了扇形的面积计算以及三角形面积求法

17．150

【解析】

【分析】

设扇形半径长度为r，圆心角为n，由扇形面积与弧长两者比值可以计算出扇形的半径，即可求出扇形的圆心角的度数.

【详解】

设扇形半径长度为r，圆心角为n，

由题意得：220180240360

n r n r ππππ?=????=??①②， 由②÷①可得：r =24，

将r =24代入①可得：n =150°

. 故答案为150°

. 【点睛】

本题主要考查扇形的弧长以及面积公式.

18．60π

【解析】

试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 由题意得圆锥的母线长

∴圆锥的侧面积

．

考点：勾股定理，圆锥的侧面积

点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积

底面半径×母线. 19．227cm π

【详解】

试题分析：设半径为R ，先根据弧长公式求得半径，再根据扇形的面积公式即可得到结果． 设半径为R ，由题意得，解得， 则这个扇形的面积为11692722

S lR ππ==??= 考点：本题考查的是弧长公式，扇形的面积公式

点评：解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式：，扇形的面积公式：，运用公式解题时，需注意公式中n 的值在代入计算时不能带有度数．

20

【详解】

解：连接BE

∵⊙O 的半径⊥OD AB ,AB=2 ∴114222

AC BC AB ===?= 且90ACO ∠= , 若设⊙O 的半径为r ，则,2,1OA r AE r OD r ===-.

在Rt △ACO 中,根据勾股定理有222AO AC OC =+,

即()2

2221r r =+-，

解得： 2.5r =.

∴ 2.5 1.5OA OE OC ===，. 23BE OC ∴==

∵AE 是⊙O 的直径，

∴90ABE ∠=

CE ∴==.

【点睛】

在与圆的有关的线段的计算中，一定要注意各种情况下构成的直角三角形，有了直角三角形就有可能用勾股定理、三角函数等知识点进行相关计算.本题抓住由半径、弦心距、半弦构成的直角三角形和半圆上所含的直角三角形，三次利用勾股定理并借助方程思想解决问题. 21．证明见解析.

【解析】

【分析】

证得∠BOC =∠AOD ，然后运用“SAS ”证明△COB ≌DOA ，即可证得∠C =∠D ．

【详解】

∵∠AOB =∠COD ，∴∠AOB +∠AOC =∠COD +∠AOC ，即∠BOC =∠AOD ．

在△COB 和△DOA 中，∵{OA =OB

∠BOC =∠AOD OC =OD

，∴△COB ≌DOA ，∴∠C =∠D ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、同圆半径相等的性质，熟悉全等三角形的判定方法和圆的有关性质是解决问题的关键．

22．（1）直线BC 与⊙O 相切，证明见解析；（2）23

π 【解析】

【分析】

（1）连接OD ，证明OD ∥AC ，即可证得∠ODB =90°，从而证得BC 是圆的切线；

（2）在直角三角形OBD 中，设OF =OD =x ，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB 的面积减去扇形DOF 面积即可确定出阴影部分面积．

【详解】

解：（1）BC 与⊙O 相切．理由如下：

连接OD ．∵AD 是∠BAC 的平分线

∴∠BAD =∠CAD ．

∵OD =OA

∴∠OAD =∠ODA

∴∠CAD =∠ODA

∴OD ∥AC

∴∠ODB =∠C =90°，即OD ⊥BC ．

又∵BC 过半径OD 的外端点D ，∴BC 与⊙O 相切；

（2）设OF =OD =x ，则OB =OF +BF =x +2．

根据勾股定理得：222OB OD BD =+，

即22212x x +=+（）， 解得：x =2，即OD =OF =2

∴OB =2+2=4．

Rt △ODB 中

∵OD=1

2

OB

∴∠B=30°

∴∠DOB=60°

∴S扇形DOF=604 360

π?

=

2

3

π

则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=12

2

23

π

??=

2

3

π

．

故阴影部分的面积为2

3

π

．

23．（1）（2）6π．

【解析】

分析：（1）连接OE，根据中点的性质出去OD，根据勾股定理求出DE；

（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式计算．

详解：（1）连接OE．

∵D是CO的中点，⊙O的半径为6cm，∴OD=1

2

OC=3cm．

∵OC⊥AB，DE∥AB，∴∠ODE=90°，∴DE；

（2）∵OD=1

2

OC，∠ODE=90°，∴∠OED=30°，∴∠DOE=60°，∴图中阴影

部分的面积=

2

60π6

360

?

﹣

1

2

×3=6π（cm2）．

点睛：本题考查的是扇形面积计算，掌握垂径定理、扇形面积公式是解题的关键．24．（1）见解析

（2）5 ，24 5

【分析】

（1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC；

（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长．

【详解】

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A=90°-∠ABC．

∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°，

∴∠ECB=90°-∠ABC，

∴∠ECB=∠A．

又∵C是BD的中点,

∴CD CB

=

∴∠DBC=∠A，

∴∠ECB=∠DBC，

∴CF=BF；

（2）解：∵CD CB

=

∴BC=CD=6，

∵∠ACB=90°，

10

AB

∴===

∴⊙O的半径为5，

1122ABC S AB CE BC AC =

= 6824105CE ?∴== 【点睛】

此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键．

25．（1）证明见解析；（2）4√5；（3）27√32

?6π． 【解析】

【分析】

（1）根据切线的判定证明即可；

（2）过O 点作OE ⊥BC 于点E ，利用勾股定理和三角函数解答；

（3）连结OC ，利用菱形的性质和直角三角形的性质解答即可．

【详解】

（1）∵BA 平分∠OBC ，∴∠OBA =∠CBA ．

∵OA =OB ，∴∠OBA =∠OAB ，∴∠OAB =∠CBA ，∴AO ∥BC ．

∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥AO ，∴直线AD 是⊙O 切线；

（2）过O 点作OE ⊥BC 于点E ，得BC =2BE ．在Rt △OBE 中，∵sin ∠OBC =23，∴OE OB =23，OB =6，∴OE =4，∴BE =√OB 2?OE 2=√62?42=2√5，∴BC =2BE =4√5； （3）连结OC ．

∵AO ∥BC ，AC ∥OB ，OA =OB ，∴四边形OACB 是菱形，∴OA =AC =OC =6，

∴∠AOC =∠OAC =60°，∴∠DAC =30°，∴在Rt △ADC 中，CD =6sin30°

=3，∴AD =3√3，∴S 阴影CDA =S 四边形OADC ?S 扇形OAC =12×（3+6）×3√3?60π×62360=27√3

2?6π．

【点睛】