中考数学归纳猜想型问题

归纳猜想型问题

一． 专题诠释

归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。

二． 解题策略和解法精讲

归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。

三． 考点精讲

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1．（2011云南曲靖）将一列整式按某种规律排成x ，﹣2x 2，4x 3，﹣8x 4，16x 5…

则排在第六个位置的整式为 ．

【分析】符号的规律：n 为奇数时，单项式为正号，n 为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n 个对应的系数的绝对值是2n ﹣1．指数的规律：第n 个对应的指数是n ．

【解答】根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：﹣26x 6=﹣32x 6． 故答案为：﹣32x 6．

【评注】此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 例2．（2011山东济宁）观察下面的变形规律：

211? ＝1－12； 321?＝12

－31；431

?＝31－41；……

解答下面的问题：

（1）若n 为正整数，请你猜想)

1(1

+n n ＝ ；

（2）证明你猜想的结论；

（3）求和：211?＋321?＋431?＋…＋2010

20091

? .

【分析】（1）根据ij a 的定义规则，可知234a =，223a =，526a =，537a =．则有

()()232252530a a a a -+-=．

（2） 观察数表可知，第1问中的22,23,52,53,a a a a 恰是,,,,np nk mp mk a a a a 的具体形式，

若将,,,,np nk mp mk a a a a 赋值于不同的行与列，我们不难发现()()0np nk mk mp a a a a -+-=．

【解答】（1）111

n n -+

（2）证明：n 1－11+n ＝)

1(1++n n n －)1(+n n n ＝1(1)n n

n n +-+＝)1(1+n n

（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101＝12009

120102010

-=

【评注】归纳猜想题，提供的信息是一种规律，但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只要注重观察数字（式）变化规律，经归纳便可猜想出结论．本题属于典型的开放性探究题，其中的分数形式、分母中相邻两数相差1，都给答案探究提供了蛛丝马迹。问题设置层次感较强，遵循了从特殊到一般的认识规律．从培养学生不完全归纳能力的角度看，不失为一道训练思维的好题．

考点二：猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例1．（2011重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ）

A 、55

B 、42

C 、41

D 、29

【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动4次后便可重合，即4次一个循环，10÷4＝2…2，所以应和图②相同． 【解答】∵图②平行四边形有5个=1+2+2， 图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3， 图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，

∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41． 故选C ．

【评注】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题归纳出规律，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 例2．（2011浙江舟山）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）

A 、2010

B 、2011

C 、2012

D 、2013

【分析】该纸链是5的倍数，中间截去的是剩下3+5n ，从选项中数减3为5的倍数即得到答案．

【解答】由题意设被截去部分为5n+2+1=5n+3，从其选项中看，故选D ． 【评注】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而得到答案．

考点三：猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。 例1．（2011江西南昌，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB ，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：

如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A 1A 2为第1根小棒. 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗答： .（填“能”或“不能”） （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ= 度；

②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2,）,求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.

图甲

活动二： 如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2= AA 1. 数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1θ= ，2θ= ，3θ= ；（用含θ的式子表示）

（4）若只能．．

摆放4根小棒，求θ的范围.

图乙

【分析】（1）显而易见，能。 （2）①° ②方法一：

∵AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1， A 1A 2⊥A 2A 3，∴A 1A 3=2，AA 3=1+2. 又∵A 2A 3⊥A 3A 4，∴A 1A 2∥A 3A 4.同理：A 3A 4∥A 5A 6，∴∠A=∠AA 2A 1=∠AA 4A 3=∠AA 6A 5，

∴AA 3=A 3A 4，AA 5=A 5A 6，∴a 2= A 3A 4=AA 3=1+2,a 3=AA 3+A 3A 5=a 2+A 3A 5.∵A 3A 5=2a 2, ∴a 3=A 5A 6=AA 5=a 2+2a 2=(2+1)2. 方法二：

∵AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1， A 1A 2⊥A 2A 3，∴A 1A 3=2，AA 3=1+2. 又∵A 2A 3⊥A 3A 4，∴A 1A 2∥A 3A 4.同理：A 3A 4∥A 5A 6，∴∠A=∠AA 2A 1=∠AA 4A 3=∠AA 6A 5，

∴a 2=A 3A 4=AA 3=1+2,又∵∠A 2A 3A 4=∠A 4A 5A 6=90°，∠A 2A 4A 3=∠A 4A 6A 5，∴△A 2A 3A 4∽△A 4A 5A 6，

∴32

21a a a =，∴a 3=122a =(2+1)2. a n =(2+1)n-1.

(3)θθθθθθ432321===，，

(4)由题意得{

ο

οφ905906≤θθ，∴15°＜θ≤18°.

【解答】（1）能 （2）①° ②a n =(2+1)n-1.

(3)θθθθθθ432321===，，

(4)由题意得{

ο

οφ905906≤θθ，∴15°＜θ≤18°.

【评注】这是一道典型的归纳猜想型问题，以物理学中反射的知识作为命题载体，而三角形外角等于不相邻的两个内角和，是解决问题的主干数学知识。

例2．（2011浙江衢州）ABC ?是一张等腰直角三角形纸板，

Rt 2C AC BC ∠=∠==，.

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大请说明理由.

（图2）

（图1）

P

N D

F

E

C

B

Q

M

图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S ；按照甲种剪法，在余下的ADE BDF ??和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为2S (如图2)，则2=S ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为3S (如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，10S = .

求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.

【分析】解决问题的关键看内接正方形的一边与三角形重合的边落在三角形的哪条边上，通过对例题的分析，直角三角形的内接正方形有两种，比较两者的大小，可知，直角边上的内接正方形的边长比斜边上的内接正方形的边长大。

【解答】(1)解法1：如图甲，由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙，设MN x =，则由题意，得,AM MQ PN NB MN x =====

238

()39

PNMQ x x S ∴==∴==正方形解得

又819

>

Q ∴甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D 、E 、F 分别为AB AC BC 、、的中点，

1

12

ABC CFDE S S ==V 正方形

解法2：如图甲，由题意得AE DE EC ==，即EC=1

如图乙，设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得

33

13

x x EC MN ∴==>

>Q 解得又即

∴甲种剪法所得的正方形的面积更大

(2)21

2S =

(3)1091

2

S =

(3)解法1：探索规律可知：11

2

n n S -=‘

剩余三角形的面积和为：()12109911

1122124

22S S S ??-+++=-++++= ???L L

解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -

第二次剪取后剩余三角形面积和为12211

122S S S -=-==

第三次剪取后剩余三角形面积和为233111

244

S S S -=-==

……

第十次剪取后剩余三角形面积和为910109

1

=

2

S S S -= 【评注】类比思想是数学学习中不可缺少的一种数学方法，它可以使一些数学问题简单化，也可以使我们的思维更加广阔。数学思维呈现形式是隐蔽的，难以从教材中获取，这就要求在教学过程中，有目的地进行思维训练，通过思维类比，不断在解决问题中深化引导，学生的数学思维能力就会得到相应的提高。

考点四：猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。 例1．（2010河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是

A ．6

B ．5

C ．3

D ．2

【分析】不妨把立体图形用平面的形式表现出来。如右图所示。 前三次变换过程为下图所示：

可以发现，三次变换可还原成初始状态。十次意味着三轮还原后又变换了一次，所以状态为上图所示，骰子朝上一面的点数是 5。

【解答】B 。

【评注】历年以“骰子”形式出现的中考题不在少数。本题以考查学生空间想象能力为出发点，将空间转化融入到正方体的旋转中。正方体表面展开图识别

图6-1 图6-2

向右翻滚90° 逆时针旋转90°

对面本不难，但这样一来难度陡然上升。三次变换循环的规律也要煞费周折。有点动手操作题的味道。题目呈现方式灵活，考查形式新颖，使日常熟悉的东西平中见奇。要求考生有很强的空间感，给平时靠死记硬背得分的同学一个下马威，也给教学中不重视动手探究的老师敲响了警钟。

例2. （2011湖南邵阳）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：

如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。

（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。

证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60°，∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=1

2

∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①

又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。

∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°。………………②

由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中，

∵__________,____________,___________,

∴△AEM≌△MCN（ASA）。

∴AM=MN.

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图)，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立（直接给出答案，不需要证明）

（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形A n B n C n D n…X n”，请你猜想：当∠A n M n N n=______°时，结论A n M n=M n N n仍然成立（直接写出答案，不需要证明）【分析】证明线段相等，三角形全等是一种重要的方法。根据题目条件，结合图形，对应边角还是不难找的。关键是到正方形、正多边形，哪些条件变了，哪些没变。

【解答】（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；

（2）结论成立；

（3）

02

180n n

-?。 【评注】三角形全等的判定是初中数学中的重点知识，第一问明显考查“角边角”方法的条件寻找。而从三角形到正方形的变化，抓住不变的东西，透视问题的本质，也不难得到正确答案。再到正多边形，是一个质的飞跃。在这道题中，先探讨简单情景下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，原来结论是否成立，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，难度

不算大，具有一定的区分度．

四．真题演练

1. （2011四川成都）设12211=112S ++,22211=123S ++,32211

=134

S ++,…,

22

11

=1(1)

n S n n +++ 设12...n S S S S =+++，则S=_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．

2. （2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）

3．（2011河北）如图9，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5.若从某一

顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.

如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即

从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶

点；然后从1→2为第二次“移位”. 若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是____________.

4. （2010四川内江）阅读理解：

我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,

任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的对称中心的坐标为（x1＋x22，y1＋y2

2）. 观察应用：

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，－1)、P2(2，3)的对称中心是点A ，则点A 的坐标为 ； （2）另取两点B(－，、C(－1，0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A 、B 、

第1个图形

第1个图形

第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形

第 18题

图

1

3

4 图9

C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…．则P3、P8的坐标分别为，;

拓展延伸：

（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标.

答案：

1. 1

22++n n n ．

22111(1)n S n n =+++=21111[]2(1)(1)n n n n +-+?++=2

111[]2(1)(1)n n n n ++?++

=21

[1](1)

n n +

+ ∴S=1(1)12+?+1(1)23+?+1

(1)34

+?+…+1(1)(1)n n +

+122++=n n n . 接下去利用拆项法111

(1)1

n n n n =-++即可求和．

2. (1)4n n ++或24n n ++

3. 根据“移位”的特点，然后根据例子寻找规律，从而得出结论． ∵小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”， ∴3→4→5→1→2五个顶点五次移位为一个循环返回顶点3，

同理可得：小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，即连续循环两次，故仍回到顶点3． 故答案为：3． 4. 设A 、P3、P4、…、Pn 点的坐标依次为(x ，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn ，yn)(n≥3，且为正整数).

（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，

∴x ＝0＋22＝1，y ＝－1＋3

2＝1， ∴A （1，1）

（2）∵点P3与P2关于点B 成中心对称，且B(－，, ∴2＋x32＝－，3＋y3

2＝， 解得x3＝－，y3＝， ∴P3(－，.

∵点P4与P3关于点C 成中心对称，且C(－1，0), ∴－＋x42＝－1，错误!＝0， 解得x4＝，y4＝－， ∴P4，－ .

同理可得P5(－，→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8 (2, 3).

（3）∵P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－，.→P4，－→P5(－，→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8 (2, 3) …

∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，

∵2012÷6＝335……2，

∴P2012的坐标与P2的坐标相同，为P2012 (2，3);

在x 轴上与点P2012、点C 构成等腰三角形的点的坐标为 （－32－1,0），（2,0），（32－1,0），（5,0）

第二部分 练习部分

1. （2011湖南常德）先找规律，再填数： 1111111111111111,,,,12234212563

3078456

............

111

+_______.2011201220112012

+-=+-=+-=+-=-=?则

2.（2011四川内江）同学们，我们曾经研究过n ×n 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n 2．但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已

经知道0×1+1×2+2×3+…+(n —1)×n=1

3

n(n+1)(n —1)时，我们可以这样做：

(1)观察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2) 12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3 =(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+ =(1+2+3+4)+( ) ……

(2)归纳结论：

12+22+32+…+n 2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+[1+(n —1)]n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n 一1)×n

=( )

+[ ]

= + =1

6

× (3)实践应用：

通过以上探究过程，我们就可以算出当n 为100时，正方形网格中正方形的总个数是 ．

3. （2011广东肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．

4. （2011广东东莞）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1，取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形

A 1F 1

B 1D 1

C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△1

D 1

E 1

F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A n F n B n D n C n E n F n 的面积为 .

5．（2011广东汕头）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；

（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数；

（3）求第n 行各数之和．

6. （2011四川凉山）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了()n

a b +（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应()2

222a b a ab b +=++展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着()3322233a b a a b ab b +=+++展开式中的系数等等。

（1）根据上面的规律，写出()5

a b +的展开式。

（2）利用上面的规律计算：5432252102102521-?+?-?+?-

7.（2011江苏南通）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与

直线y

＝3

3x 相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．

8.（2010年湖北恩施） (1)计算:如图10①,直径为a 的三等圆⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3

两两外切，切点分别为A 、B 、C ，求O 1A 的长（用含a 的代数式表示）.

（2）探索:若干个直径为a 的圆圈分别按如图10②所示的方案一和如图10③所

示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n 层圆圈的高度n h 和（用含n 、a 的代数式表示）.

（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这

样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管（3≈）

O O 1 O 2

O 3

x

y

· ·

· 1 1

1 2

1 1

3 3 1

1 …………………………（a +b ）1 …………………………（a +b ）

2 …………………………（a +b ）3

…………………

②

③

① 图10

答案：

1. 11006

2. （1+3）×4

4+3×4

0×1+1×2+2×3+3×4 1+2+3+…+n

0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n 1

(1)2n n + 1

3

n(n+1)(n —1) n(n+1)(2n+1)

3. )2(+n n

4. 14n

5. （1）64，8，15；

（2）2(1)1n -+，2n ，21n -；

（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n 行各数之和等于2(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-.

6. ⑴()5

54322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++

⑵原式=()()()()()2

3

4

5

54322521102110215211+??-+??-+??-+??-+- =5(21)- =1

7. 设直线y ＝3

3x 与三个半圆分别切于A ，

B ，

C ，作AEX 轴于E ，则在RtAEO 1中，易得∠AOE=∠EAO 1=300，由r 1＝1得EO=， AE=，OE=，OO 1=2。则。111222222

12

33r OO R AOO R BOO r r OO r r ???

=?=?=+Q ∽t t 同理，111333333

12

99r OO R AOO R COO r r OO r r ???

=?=?=+Q ∽t t 。

8. (1)∵⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切， ∴O 1O 2=O 2O 3=O 1O 3=a 又∵O 2A= O 3A ∴O 1A ⊥O 2O 3

∴O 1A=224

1

a a +

=

a 2

3

（2） n h =n a

=

()a a n +-12

3

(3) 方案二装运钢管最多．即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多. 根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，

设钢管的放置层数为n,可得

()1.31.01.012

3

≤+?-n 解得68.35≤n

∵ n 为正整数 ∴n =35

钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）

【答案】

1. （1）1110433221??+?+?Λ =)210321(31??-??+)321432(31??-??+…+)11109121110(31

??-?? =1211103

1

??? =440．

（2）)2)(1(3

1

++n n n

（3）987543432321??++??+??+??Λ =)32104321(41???-???+)43215432(4

1

???-??? +…+)987610987(41

???-???

=1098741

???? =1260

2.根据如图所示的运算程序，分情况列出算式，当x 为偶数时，结果为x 2

1；当x

为奇数时，结果为()32

1+x ，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果

为24，第二次输出的结果为12，第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为3，以后每次输出的结果都是3．所以选择B 。

3.图案是一圈一圈的。可以根据每圈中棋子的个数得出规律。第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，第2个图案需要19＝1＋6＋12枚棋子，第3个图案需要37＝1＋6＋12＋18枚棋子，由此规律可得第6个图案需要1＋6＋12＋…＋3×（6＋1）枚棋子，第n 个图案需要1＋6＋12＋…＋3×（n ＋1）＝1＋3×[2＋3＋…＋（n ＋1）]＝2331n n ++枚棋子。所以，摆第6个图案需要127枚棋子，摆第n 个图案需要2331n n ++枚棋子．

4. 正△A 1B 1C 1的面积4

3

，第二个正三角形的面积是前一个正三角形面积的四

分之一，第8个正△A 8B 8C 8的面积是第一个正方形面积的7

41???

??，所以，第8个正

△A 8B 8C 87

1()4

，选择C 。

5.当OA n 与y 轴正半轴重合时，度数为360m ＋90是10的倍数，从2+22+23＋…，只有2+22+23+24＝30和2+22+23+24+25+26+27＋28＝510，所以n 必须是8的倍数或是8的倍数多4，当m 为1，2，3时，无解，当m 为4时，360m ＋90＝1530，符合题意。故答案选B 。

7. (1)∵⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切， ∴O 1O 2=O 2O 3=O 1O 3=a

又∵O

2A= O

3

A

∴O

1A⊥O

2

O

3

∴O

1

A=2

2

4

1

a

a+

=a

2

3

（2）

n

h=n a

=()a

a

n+

-1

2

3

(4)方案二装运钢管最多．即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多.

根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，

设钢管的放置层数为n,可得()1.3

1.0

1.0

1

2

3

≤

+

?

-

n

解得68

.

35

≤

n

∵n为正整数∴n=35

钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）

4. （2010年浙江绍兴中考题）(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,

CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.

求证：BE＝CF.

(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,

BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF

＝4.求GH的长.

(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,

∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表

示).

(1) 证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°.

∵∠EOB=∠AOF＝90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2) 如图2,过点A作AM//GH交BC于M，

过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF=BN,GH=AM，

∵∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴∠NO/A=90°,

故由(1)得, △ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4．

(3)① 8．② 4n。

第23题图2O′

N

M