浙江省七年级(下)期末数学试卷
浙江省七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确选项填涂在答题卷内，不选、多选、错选均不给分）
1．（3分）要使分式有意义，x的取值范围满足（）
A．x＝0B．x≠0C．x＞0D．x＜0
2．（3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）
A．20°B．25°C．30°D．35°
3．（3分）计算3a?（2b）的结果是（）
A．3ab B．6a C．6ab D．5ab
4．（3分）下面的多项式中，能因式分解的是（）
A．m2+n B．m2﹣m+1C．m2﹣n D．m2﹣2m+1 5．（3分）长度单位1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型禽流感病毒（H7N9）的直径约为101纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（）
A．10.1×10﹣8米B．1.01×10﹣7米
C．1.01×10﹣6米D．0.101×10﹣6米
6．（3分）已知一组数据10，8，6，10，9，13，11，11，10，10，下列各组中频率为0.2的是（）
A．5.5﹣7.5B．7.5﹣9.5C．9.5﹣11.5D．11.5﹣13.5 7．（3分）能使x2+18x+m是完全平方式的m值为（）
A．9B．18C．81D．324
8．（3分）若a x＝3，a y＝2，则a2x﹣y等于（）
A．18B．11C．D．7
9．（3分）设“，，”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么在右盘处应放“■”的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．（3分）在数学中，为了书写简便，我们通常记k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，如（x+k）＝（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4），则化简[（x﹣k）（x﹣k﹣1）]的结果是（）
A．3x2﹣15x+20B．3x2﹣9x+8C．3x2﹣6x﹣20D．3x2﹣12x﹣9
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）当a＝2时，代数式3a﹣1的值是．
12．（4分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是．
13．（4分）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是．
14．（4分）计算：＝．
15．（4分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）＝．
16．（4分）若（a+2）a﹣3＝1，则a＝．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）3b3×b2
（2）（14a3﹣7a2）÷7a
18．（6分）为了改进银行的服务质量，随机抽查了30名顾客在窗口办理业务所用的时间（单位：分钟）．下图是这次调查得到的统计图．请你根据图中的信息回答下列问题：
（1）办理业务所用的时间为11分钟的人数是；
（2）补全条形统计图；
（3）这30名顾客办理业务所用时间的平均数是分钟．
19．（6分）分解因式
（1）16a2﹣1
（2）x2+14x+49
20．（8分）解方程组
（1）
（2）
21．（8分）解分式方程
（1）＝﹣2
（2）+1＝
22．（10分）为响应金华市政府发出的创文明城市号召，学校总务处刘老师用M元钱购买花卉发给各班美化卫生保洁区．若以2棵树和3株花为一份，则可买60份；若以2棵树和6株花为一份，则可以买40份，设树的单价为x元/棵，花的单价为y元/株
（1）当M＝2160时，求树和花的单价．
（2）若用这M元钱全部购买花，总共可以买几株花？
23．（10分）先阅读下面的材料，然后回答问题
方程x+＝2+的解为x1＝2，x2＝；
方程x+＝3+的解为x1＝3，x2＝；
方程x+＝4+的解为x1＝4，x2＝；
……
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+＝2019+的解是．
（2）猜想关于关于x的方程x﹣＝﹣+3的解并验证你的结论．
（3）请仿照上述方程的解法，对方程y+＝进行变形，并求出方程的解．24．（12分）如图1，AB∥CD，定点E，F分别在定直线AB，CD上，点A在点B左侧，点C在点D左侧，动点P不在直线AB，CD，EF上．
（1）【初步探究】试问当动点P位于两平行线AB，CD之间时，如图2，图3，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明相应理由
（2）【深入探究】当点P在不同的位置时，请画出∠AEP，∠EPF，∠PFC三个角中其中个角度数等于另两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外．
浙江省七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确选项填涂在答题卷内，不选、多选、错选均不给分）
1．（3分）要使分式有意义，x的取值范围满足（）
A．x＝0B．x≠0C．x＞0D．x＜0
【分析】根据分母不等于0，列式即可得解．
【解答】解：根据题意得，x≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义?分母为零；
（2）分式有意义?分母不为零；
（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
2．（3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数．
【解答】解：过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠4＝∠1＝25°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠3＝∠ABC﹣∠4＝45°﹣25°＝20°，
∴∠2＝∠3＝20°．
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
3．（3分）计算3a?（2b）的结果是（）
A．3ab B．6a C．6ab D．5ab
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：3a?（2b）＝3×2a?b＝6ab．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（3分）下面的多项式中，能因式分解的是（）
A．m2+n B．m2﹣m+1C．m2﹣n D．m2﹣2m+1
【分析】根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、m2+n不能分解因式，故本选项错误；
B、m2﹣m+1不能分解因式，故本选项错误；
C、m2﹣n不能分解因式，故本选项错误；
D、m2﹣2m+1是完全平方式，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键．5．（3分）长度单位1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型禽流感病毒（H7N9）的直径约为101纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（）
A．10.1×10﹣8米B．1.01×10﹣7米
C．1.01×10﹣6米D．0.101×10﹣6米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数
字前面的0的个数所决定．
【解答】解：101纳米＝101×10﹣9＝1.01×10﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（3分）已知一组数据10，8，6，10，9，13，11，11，10，10，下列各组中频率为0.2的是（）
A．5.5﹣7.5B．7.5﹣9.5C．9.5﹣11.5D．11.5﹣13.5
【分析】根据题意可得：共10个数据，频率为0.2的频数为2，确定各个选项中频数是2的，即可确定．
【解答】解：A．5.5﹣7.5的频率为1÷10＝0.1，不符合题意；
B．7.5﹣9.5的频率为2÷10＝0.2，符合题意；
C．9.5﹣11.5的频率为6÷10＝0.6，不符合题意；
D．11.5﹣13.5的频率为1÷10＝0.1，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查频率、频数的关系：频率＝频数÷数据总和．
7．（3分）能使x2+18x+m是完全平方式的m值为（）
A．9B．18C．81D．324
【分析】利用完全平方公式计算即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+18x+m是完全平方式，
∴m＝81，
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（3分）若a x＝3，a y＝2，则a2x﹣y等于（）
A．18B．11C．D．7
【分析】根据同底数幂的除法法则求解．
【解答】解：a2x﹣y＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
9．（3分）设“，，”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么在右盘处应放“■”的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】首先根据图示可知，2×○＝△+□（1），○+□＝△（2），据此判断出○、△与□的关系，然后判断出结果．
【解答】解：根据图示可得，
2×○＝△+□（1），
○+□＝△（2），
由（1），（2）可得，
○＝2□，△＝3□，
∴○+△＝2□+3□＝5□，
故选：D．
【点评】此题主要考查了等量代换问题，判断出○、△与□的关系是解答此题的关键．10．（3分）在数学中，为了书写简便，我们通常记k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，如（x+k）＝（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4），则化简[（x﹣k）（x﹣k﹣1）]的结果是（）A．3x2﹣15x+20B．3x2﹣9x+8C．3x2﹣6x﹣20D．3x2﹣12x﹣9【分析】根据k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，可得答案．
【解答】解：[（x﹣k）（x﹣k﹣1）]＝（x﹣1）（x﹣2）+（x﹣2）（x﹣3）+（x﹣3）（x ﹣4）
＝x2﹣3x+2+x2﹣5x+6+x2﹣7x+12
＝3x2﹣15x+20，
故选：A．
【点评】本题考查了规律型，利用求和公式得出多项式的乘法是解题关键．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）当a＝2时，代数式3a﹣1的值是5．
【分析】将a＝2直接代入代数式即可求出代数式3a﹣1的值．
【解答】解：将a＝2直接代入代数式得，
3a﹣1＝3×2﹣1＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了代数式求值，要学会替换，即将字母换成相应的数．
12．（4分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是50°．
【分析】根据平行线性质由AB∥CD得到∠1＝∠BCD＝40°，再根据垂直的定义得∠CBD＝90°，然后利用三角形内角和定理计算∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BCD＝40°，
∵DB⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°．
故答案为50°．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等．
13．（4分）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（x﹣2）2．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1
＝（x﹣1﹣1）2
＝（x﹣2）2．
故答案为：（x﹣2）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式是解题关键．14．（4分）计算：＝x+5．
【分析】公分母为x﹣5，将分母化为同分母，再将分子因式分解，约分．
【解答】解：＝﹣
＝
＝
＝x+5，
故答案为：x+5．
【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
15．（4分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）＝﹣3．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣2，
∴（1﹣m）（1﹣n）＝1﹣（m+n）+mn＝1﹣2﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（4分）若（a+2）a﹣3＝1，则a＝3或﹣1或﹣3．
【分析】分别运用负整数指数幂、零指数幂运算法则计算即可．
【解答】解：∵（a+2）a﹣3＝1，
∴a+2≠0，且a﹣3＝0或a+2＝1或a+2＝﹣1，且a﹣3是偶数，
∴a＝3或﹣1或﹣3，
故答案为：3或﹣1或﹣3．
【点评】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练运用相关幂的运算公式是解题的关键，本题容易丢解，要注意等于1的所有情况．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）3b3×b2
（2）（14a3﹣7a2）÷7a
【分析】（1）直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）3b3×b2＝b5；
（2）（14a3﹣7a2）÷7a＝2a2﹣a．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（6分）为了改进银行的服务质量，随机抽查了30名顾客在窗口办理业务所用的时间（单位：分钟）．下图是这次调查得到的统计图．请你根据图中的信息回答下列问题：
（1）办理业务所用的时间为11分钟的人数是5；
（2）补全条形统计图；
（3）这30名顾客办理业务所用时间的平均数是10分钟．
【分析】（1）从条形图中得出每种情况的人数，再计算办理业务所用的时间为11分钟的人数；
（2）根据前面计算的结果补全条形图；
（3）根据平均数的概念求得这30名顾客办理业务所用时间的平均数．
【解答】解：（1）办理业务所用的时间为11分钟的人数＝30﹣3﹣10﹣7﹣4﹣1＝5（人），（2）如图：
（3）这30名顾客办理业务所用时间的平均数＝（8×3+9×10+10×7+11×5+12×4+13×1）÷30＝10（分钟）．
【点评】本题考查了从条形图获得信息的能力和计算平均数的能力．
19．（6分）分解因式
（1）16a2﹣1
（2）x2+14x+49
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（4a+1）（4a﹣1）；
（2）原式＝（x+7）2．
【点评】此题考查了分解因式﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．（8分）解方程组
（1）
（2）
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把②代入①得：﹣3（y﹣1）+2y＝1，
y＝2，
∴x＝2﹣1＝1，
∴方程组的解为：；
（2），
①﹣②得：9t＝3，
t＝，
把t＝代入①得：2s+1＝2，s＝，
∴方程组的解为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．（8分）解分式方程
（1）＝﹣2
（2）+1＝
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2﹣x＝﹣1﹣2x+6，
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：2+2x+1﹣x2＝x﹣x2，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．（10分）为响应金华市政府发出的创文明城市号召，学校总务处刘老师用M元钱购买花卉发给各班美化卫生保洁区．若以2棵树和3株花为一份，则可买60份；若以2棵树和6株花为一份，则可以买40份，设树的单价为x元/棵，花的单价为y元/株
（1）当M＝2160时，求树和花的单价．
（2）若用这M元钱全部购买花，总共可以买几株花？
【分析】（1）由题意列出方程组，解方程组即可；
（2）根据（1）的结论，由数量＝总价÷单价就可以得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：；
答：树的单价为9元/棵，花的单价为6元/株；
（2）∵树和花的单价比为3：2，以2棵树和3株花为一份，则可买60份，
∴用这笔钱全部购买花：60×3+60×3＝360（株），
答：若用这M元钱全部购买花，总共可以买360株花．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时根据条件建立方程组是解答本题的关键．
23．（10分）先阅读下面的材料，然后回答问题
方程x+＝2+的解为x1＝2，x2＝；
方程x+＝3+的解为x1＝3，x2＝；
方程x+＝4+的解为x1＝4，x2＝；
……
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+＝2019+的解是x1＝2019，x2＝．
（2）猜想关于关于x的方程x﹣＝﹣+3的解并验证你的结论．
（3）请仿照上述方程的解法，对方程y+＝进行变形，并求出方程的解．【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
【解答】解：（1）猜想方程x+＝2019+的解是x1＝2019，x2＝，
故答案为：x1＝2019，x2＝；
（2）猜想关于x的方程x﹣＝﹣+3的解为x1＝3，x2＝﹣，理由为：
方程变形得：x+（﹣）＝3+（﹣），依此类推得到解为x1＝3，x2＝﹣；
（3）y+＝，
方程变形得：y+＝，
y+2+＝5+，可得y+2＝5或y+2＝，解得：y1＝3，y2＝﹣．
【点评】此题考查了分式方程的解和数字类的规律问题，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．
24．（12分）如图1，AB∥CD，定点E，F分别在定直线AB，CD上，点A在点B左侧，点C在点D左侧，动点P不在直线AB，CD，EF上．
（1）【初步探究】试问当动点P位于两平行线AB，CD之间时，如图2，图3，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明相应理由
（2）【深入探究】当点P在不同的位置时，请画出∠AEP，∠EPF，∠PFC三个角中其中个角度数等于另两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外．
【分析】（1）①如图2中，结论：∠EPF＝∠AEP+∠CFP．利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
②如图3中，结论：∠AEP+∠EPF+∠CFP＝360°．利用平行线的性质以及三角形的内
角和定理解决问题即可．
（2）有四种情形，分别画出图形写出结论即可．
【解答】解：（1）①如图2中，结论：∠EPF＝∠AEP+∠CFP．
理由：∵AB∥CD．
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴∠AEP+∠CFP+∠PEF+∠PFE＝180°，
∵∠EPF+∠PEF+∠PFE＝180°，
∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP．
②如图3中，结论：∠AEP+∠EPF+∠CFP＝360°．
理由：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵∠PEF+∠EPF+∠PFE＝180°，
∴∠AEF+∠PEF+∠EPF+∠CFE+∠PFE＝360°，
∴∠AEP+∠EPF+∠CFP＝360°．
（2）如图2﹣1中，结论：∠CFP＝∠EPF+∠AEP．如图2﹣2中，结论：∠AEP＝∠EPF+∠CFP．
如图2﹣3中，结论：∠CFP＝∠EPF+∠AEP．
如图2﹣4中，结论：∠AEP＝∠EPF+∠CFP．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．