噪声分析第五章

噪声分析与控制吴九汇机械工程学院振动与噪声控制工程研究所教材目录35.1 经典互易定理最简单的特例:2211v vF F′′=2112v vF F′=′或这就是说，如果由于在坐标方向存在外力而出现效应，那么同样的外力作用于坐标方向就会有效应，它的大小与符号都和相同。

1x1F2v2x1v′2v另外一个特例是，令所有类型的外力中除了两个以外均等于0，这时有11221122F v F v v F v F′′′′+=+在这种情形下，动力系统就是一个无源线性四端网络.线性四端网络两边的变量不一定要具有相同的量纲。

例如，若、分别表示力及线速度，而和却可以是力矩及角速度。

上述论断可以无条件地应用于线性无源的电系统中。

1F1v2F2v2112e ei i=这种线性网络系统的互易定理可叙述为：可逆、线性、无源的四端网络的转移阻抗相等。

经典互易定理只具有形式性•它仍然未明确在系统中起作用的各种耦合的物理特性•定理形式上的一般性会使人产生模糊的印象力声变换结构的互易关系2121221111v vF S FPZ ZU S S S====这就是力学系统与声学系统相耦合的力声变换结构参量之间的互易关系.2112e ei i=根据电声类比，电学中的恒压源和电流分别类比于声学中的恒声压源和体积速度，这样由上式可得电声换能器的互易关系为11TSP ei Q=电-声转换：电信号机械振动声波声-电转换：声信号机械振动电信号11TSP ei Q=rSPMP 换能器在辐射状态时在距离处产生的声压和声压源在换能器处产生的自由场声压是相等的00e e42ikr ikrS SMi Q i fQPr rωρρπ=−=−空间声源和接收器可互易00(,)(,)G G=r r r r11TSP ei Q=00e e42ikr ikrS SMi Q i fQPr rωρρπ=−=−2f SMM Q rS P fρ==2rfρ上式中的是球面波自由声场中的互易参量。

5.2声学互易定理声学互易定理声学互易定理1221()()()()SP Pf f dS∂∂⎡⎤−⎢⎥∂∂⎣⎦∫∫r rr rn n[]dVPqPqiV∫∫∫−−=)()()()(1221rrrrωρ声学互易定理一般形式：声学互易定理的不同形式1221()()()()SP Pf f dS∂∂⎡⎤−⎢⎥∂∂⎣⎦∫∫r rr rn n[]dVPqPqiV∫∫∫−−=)()()()(1221rrrrωρ1221()()()()V Vq P dV q P dV=∫∫∫∫∫∫r r r r上式两边可看作是能量的关系，其物理意义表示声源A消耗在为克服声源B的作用的功率等于声源B为克服声源A的作用所消耗的功率。

声学互易定理的不同形式12122112()()()()S SP PP dS P dS∂∂=∂∂∫∫∫∫r rr rn n上式的每边表示其中一个发射器的振动速度与另一个发射器产生在这个发射器表面上的声压的乘积，所以等式的左边和右边是声源为克服另一声源的作用所消耗的功率。

在简单声源和振动表面声源两种情况下互易定理的公式在形式上是一致的122112()()()()SP PP P dS⎡⎤∂∂−−⎢⎥∂∂⎣⎦∫∫r rr rn n[]dVPqPqiV∫∫∫−=)()()()(1221rrrrωρ,声学互易定理的不同形式(1)可逆换能器性能的互易比较121221()()()()S SP PP dS P dS∂∂=∂∂∫∫∫∫r rr rn n2112()()()()P A Q A P B Q B=互易定理广泛用于可逆换能器（既作发射器又作接收器）的接收、发射性能的比较.球面S1很小振动速度在平面S2是常数1212221122()()1()()S SP PP A dS S P dSS⎛⎞⎛⎞∂∂=⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∫∫∫∫r rrn n声学互易定理的不同形式(1)可逆换能器性能的互易比较1221()()()()S SP PP dS P dS∂∂=∂∂∫∫∫∫r rr rn n2112()()()()P A Q A P B Q B=小球源在换能器B处产生的自由场声压（即当换能器不在场时）可由下式表示0101()()e e42ikr ikri Q A i fQ APr rωρρπ=−=−12002()()2e()ikrP B P ArP i f Q Bρ−=−声学互易定理的不同形式(1)可逆换能器性能的互易比较12002()()2e()ikrP B P ArP i f Q Bρ−=−上式左边是换能器上的声压与自由场声压之比，它表示换能器作为接收器的性能。

右边的因子是发射换能器辐射声波的声压和这个换能器体积速度的比值，因而它表示换能器作为发射器的性能。

而量是对球面波传播规律的互易参量。

22()()P A Q B2r fρ上式是现今广泛推行的应用互易法校准换能器的基础。

应用不同互易参量的概念，不仅可以在球面规律传播情况进行校准，也可以在其它复杂声场中进行校准。

声学互易定理的不同形式(2) 力学Betti互易定理1221()()()()SP Pf f dS∂∂⎡⎤−⎢⎥∂∂⎣⎦∫∫r rr rn n[]dVPqPqiV∫∫∫−−=)()()()(1221rrrrωρ声学互易定理一般形式：1221()()()()S SP Pf dS f dS∂∂=∂∂∫∫∫∫r rr rn n1221v()()v()()S Sf dS f dS=∫∫∫∫r r r r左边和右边是一个系统的力为克服另一系统的作用而消耗的功率声学互易定理的不同形式1221()()()()SP Pf f dS∂∂⎡⎤−⎢⎥∂∂⎣⎦∫∫r rr rn n[]dVPqPqiV∫∫∫−−=)()()()(1221rrrrωρ声学互易定理一般形式：12()()SPf dS∂∂∫∫r rn012()()Vi q P dVωρ=−∫∫∫r r.力和声源相互作用的互易定理20()P r10201(,)()SPif dSQωρ∂∂∫∫r r rn=.110()()q Qδ=−r r r5.3声学互易定理的工程应用A.自由空间中互易法校准传声器在自由空间中要按互易法校准传声器声场灵敏度，需要有三个传声器，即一个互易传声器、一个待校准的非互易传声器和一个作为辅助声源的传声器。

采用三次测量法利用互易定理分别对接收换能器和辐射换能器进行校准(1) 接收换能器的互易法校准接收换能器以符号x 表示作为辅助声源的辐射换能器以字标1表示互易换能器既可作为接收器，也可作为辐射器，以字标2表示A.自由空间中互易法校准传声器(1) 接收换能器的互易法校准222f xx xfMU U PU P U M=⋅=222x xf xU U PM SPi i′′′=⋅=′′′22fMCS=22x xf xU UM CU i′=⋅′上式就是待校准的接收换能器的接收灵敏度校准公式A.自由空间中互易法校准传声器(2) 辐射换能器的互易法校准上式就是待校准的辐射换能器的发送灵敏度校准公式待校准的是辐射换能器，以符号x表示;以声接收器作为辅助声源，以字标1表示; 换能器2是可逆器件.222xx xSi i Pi P i S=⋅=2222x f xx xU UPS M CS SPi i′′′=⋅==′′′221xxxU iSC ii′=′A.自由空间中互易法校准传声器•利用互易法校正传声器灵敏度的理论和公式比较简单，只需测量开路电压和短路电流，所用仪器也比较简单;•互易法给出的灵敏度公式只适用于无限自由空间，即要有一个消声室。

下面提出非消声室中传声器灵敏度的互易校正方法，作为对自由场传声器灵敏度互易法校正的补充B.非消声室中互易法校准换能器•在非消声室中，不得不考虑地面、周围壁面和天花板的反射声影响；•如果在室外或较大房间中，传声器位置距周围壁面和天花板的距离比传声器之间校正距离要大得多（大于10倍以上），那么根据球面发散波的计算就可以忽略它们对互易法校正的影响，而只需考虑地面声发射的近距离影响；•只要设法校正地面反射声的影响，那么非消声室中的测量就象在自由声场中进行，从而可以继续利用自由场中的互易法校正传声器灵敏度。

B.非消声室中互易法校准换能器(1)地面反射声的校正cos(1)eH(sin)e sin2ikRik z zikkr dRξξξξ−Γ=∫B.非消声室中互易法校准换能器(1)地面反射声的校正cos(1)eH(sin)e sin2ikRik z zikkr dRξξξξ−Γ=∫()cos(1)H(sin)e()sin2ik z zRikkr V dξϕξξξξ+Γ=⋅∫()(1)42H()i uuuππ−≈10cos()4e e()sin2i ikRRkV drπξθϕξξξπ−Γ=1uB.非消声室中互易法校准换能器(1)地面反射声的校正10cos()4e e()sin2i ikRRkV drπξθϕξξξπ−Γ=11e()ikRRVRϕθ=(平稳相位法)是方程式的根，称为平稳相位点θ0cos()ddξθξ−=10sinr Rθ=B.非消声室中互易法校准换能器(1)地面反射声的校正为了简单起见，将直达声的声压写成0cos()DAP t kRRω=−而反射声的声压表示为11()cos()RA VP t kRRθω=−接收器所在点的总声压应是直达声和反射声的声压之和，但由于接收器输出的电压只反映其均方根值1222012211()2()11[]cos()2TD RV VP P P dt k R R T R R RRθθ⎡⎤=+=++−⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫B.非消声室中互易法校准换能器(1) 地面反射声的校正1222012211()2()11[]cos()2TD RV VP P P dt k R RT R R RRθθ⎡⎤=+=++−⎢⎥⎢⎥⎣⎦∫如果维持发射器到接收器之间的距离不变，而同时改变发射器和接收器的高度R1()2k R R nπ′−=0max1()12VAPR Rθ⎛⎞′=+⎜⎟⎜⎟′⎝⎠1()(21)k R R nπ′′−=+0min1()12VAPR Rθ⎛⎞′′=−⎟⎟′′⎠图5.14 保持距离R不变而改变高度以获得声压极大值和极小值的示意图B.非消声室中互易法校准换能器(1) 地面反射声的校正max1()12VAPR Rθ⎛⎞′=+⎟⎟′⎠min1()12VAPR Rθ⎛⎞′′=−⎟⎟′′⎠图5.14 保持距离R不变而改变高度以获得声压极大值和极小值的示意图通常情况地面是水泥地, 反射系数()()1V Vθθ′′′≈=即使不是刚性地面，但在较高频率时，由于波长很短，这时求极大值和极小值的相应高度差也很小，因而角度变化很小，可近似认为()()V V Vθθ′′′==在一般测量条件下，只要地面相对于空气是比较硬的，总可以取()()V V Vθθ′′′==B.非消声室中互易法校准换能器(1) 地面反射声的校正max1()12VAPR Rθ⎛⎞′=+⎟⎟′⎠min1()12VAPR Rθ⎛⎞′′=−⎟⎟′′⎠图5.14 保持距离R不变而改变高度以获得声压极大值和极小值的示意图()()V V Vθθ′′′==max min111111()12221()P PR R RR R R V⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+−⎢⎥′′′⎢⎥+⎢⎥′′′−⎣⎦在测试频率大于500 Hz时有11R R′′′≈max min11()22AP PR=+左边正是自由场中球面声压的表达式应用互易定理校准传声器B.非消声室中互易法校准换能器(1)地面反射声的校正图5.14 保持距离R不变而改变高度以获得声压极大值和极小值的示意图0max min11()22AP PR=+因此在测量时，只要保持发射器到接收器之间的距离不变，上下平移点源发射器和接收器的高度，从得到的相邻的极大值和极小值之和除以2即可消去地面反射声影响。