高考理科数学第一轮复习测试题8
(时间：40分钟 满分：60分)
1．已知点A 在变换T ：??????x y →??????x ′y ′＝????
?
?x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°
，得到点B .若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标．
解 ??????0 －11 0 ??
????1 20 1＝????
??0 －11 2. 设A (a ，b )，则由??????0 －11 2 ??????a b ＝??????
－3 4，得???
??
－b ＝－3，a ＋2b ＝4. 所以?
????
a ＝－2，
b ＝3，即A (－2,3)．
2．(2011·扬州调研测试)已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解 设M ＝????
??
a
b c
d ，
则??
????a b c d ??????12＝??????710，??????a b c
d ??????20＝????
??24， 即????? a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4，
解得?????
a ＝1，
b ＝3，
c ＝2，
d ＝4.
所以M ＝??
??
??1 32
4.
3．(2011·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝??
??
?? 1
1－1
1对应的变换作用下得到的曲线C 1
的方程．
解 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，
它在矩阵M ＝??
??
??
1
1－1
1对应的变换作用下得到点Q (x ，y )． 由??
???? 1 1－1
1 ??????x 0y 0＝?????
?x y ，得?????
x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0
＝y . 解得???
x 0
＝x －y
2
，y 0
＝x ＋y
2.
因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y 2＝1，即x 2－y 2＝4.
所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.
4．已知矩阵M ＝??
??
??1 22
x 的一个特征值为3，求其另一个特征值．
解 矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝????
??λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.
因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1， 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1， 所以矩阵M 的另一个特征值为－1. 5．求矩阵??
??
??2 11
2的特征值及对应的特征向量．
解 特征多项式f (λ)＝????
??
λ－2 －1 －1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.
由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.
将λ1＝1代入特征方程组，得?
????
－x －y ＝0，
－x －y ＝0?x ＋y ＝0，
可取??
??
??
1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量． 同理，当λ2＝3时，由?
????
x －y ＝0，－x ＋y ＝0?x －y ＝0，所以可取??????11为属于特征值λ2＝3的一个特征
向量．
综上所述，矩阵??
????
2
11 2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为????
??
1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为????
??11.
6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝????
??1
a b
4对应的变换作用下得到直
线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．
解 法一 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)． A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为??
????1 a b
4 ??????－2 0＝????
?? －2 －2b ， 所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；
??????1 a b
4 ?????? 0－2＝????
??－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，
所以?
????
－2 －－2b －4＝0，－2a －－8 －4＝0.
解得a ＝2，b ＝3.
法二 设P (x ，y )为直线x ＋y ＋2＝0上的任意一点，它在矩阵M ＝????
??1
a b
4对应的变换作用下
得到点Q (x ′，y ′)， 则??
????1 a b 4??
??x
y ＝???
?x ′y ′， 得?????
x ＋ay ＝x ′，
bx ＋4y ＝y ′，解得?
????
x ＝－4x ′＋ay ′，
y ＝
bx ′－y ′ab －4
.
因此－4x ′＋ay ′ab －4＋bx ′－y ′ab －4＋2＝0，
即(b －4)x ′＋(a －1)y ′＋(2ab －8)＝0.
因为直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0.所以b －41＝a －1－1＝2ab －8－4.
解得a ＝2，b ＝3.