第二学期高数(下)期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1

一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=?2

2

t x

F

x e dt ，则()F x '=-2

2x xe

.

2.曲面sin cos =?z x y 在点,,??

???

1442ππ处

的切平面方程是--+=210x y z .

3.交换累次积分的次序：

()(),,-+????12

330010

x

dy f x y dx dy f x y dx

=

(),-??

2

302

x

x dx f x y dy

.

4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：

使得格林公式： ??

??-=+ ?????

???D L Q P dxdy Pdx Qdy x y *

成立的充分条件是：

()(),,和在D上具有一阶连续偏导数

P x y Q x y .

其中L 是D 的取正向曲线;

5.级数

∞

=-∑

1n

n 的收敛域是

(]

,-33.

二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

1.当→0x ，→0y 时,函数

+242

3x y

x y 的极限是

()D

A.等于0;

B. 等于1

3

;

C. 等于1

4

; D. 不存在. 2.函数(),=z

f x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，

(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()C

^

A.充分必要条件;

B.充分但非必要条件;

C.必要但非充分条件;

D. 既非充分又非必要条件. 3.设()cos sin =+x z

e y x y ，则==10

x y dz

()=B

A.e ;

B. ()+e dx dy ;

C.

()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .

4.若级数

()

∞

=-∑1

1n

n n a x 在=-1x 处收敛,

则此级数在=2x

处()A

A.绝对收敛;

B.条件收敛;

C.发散;

D.收敛性不确定. 5.微分方程

()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()D

)

A. 3x ae ;

B. ()+3x ax b e ;

C.

()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .

三.（8分）设一平面通过点

(),,-312,而且通过

直线

-+==43521

x y z

,求该平面方程. 解：

()(),,,,,--312430A B

(),,∴=-142AB 平行该平面

∴该平面的法向量()()(),,,,,,=?-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z

即：---=8922590x

y z

四.（8分）设(),=y

z

f xy e ,其中

(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求??z x 和???2z

x y

.

【

解：令=u

xy ，=y

v e

?=?u z

yf x ()()

??

==++???2y u u uu uv

z yf f y xf e f x y y

五.（8

分）计算对弧长的曲线积分

?L

其中L 是圆周+=2

22x

y R 与直线,==00x y

在第一象限所围区域的边界.

解：=

++123L L L L

其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R

3L ： ()=≤≤00y x R

）

∴===????1

2

3

L

L L L

而

Re ==

??1

20

2

R

R L e Rdt π

π

==-??2

01R

y R L e dy e

==-??3

01R

x R L e dx e

故：

()

Re =

+-?21

2

R R L

e π

六、（8分）计算对面积的曲面积分∑?

?++ ??

???423z x y dS ,

其中∑为平面

++=1234

x y z

在第一卦限中的部分.

解：

xy D ：≤≤???≤≤-??02

3032

x y x

=

3

∑?

?

∴++

== ??

?????42433xy

D

z x y dS dxdy

-==??

32

3200

x dx <

七.（8分）将函数()=++2

1

43f x x x ,展开成x 的幂级数.

解：()??=-=?

-? ?+++??+1111111

21321613

f x x

x x x , 而

()∞=?=-+∑0

1111212n n n x x , (),-11

()∞

=-?=+∑0111

63

13

n

n n n x x , (),-33 ()()∞

+=??∴=-+ ???∑10

111123n

n

n n f x x , (),-11

八.（8分）求微分方程：

(

)()

+-+-+=42322253330x xy y dx x y xy y dy 的通解.

解：

??==-??263P Q

xy y y x

, ∴原方程为：

()

()??++-+-=??

4223225333x dx y dy xy y dx x y xy dy

@

??

=++-= ???

5

32231332dx d y d x y y x

??=++-= ???

5322313032d x y x y y x

通解为：++-=5

322

31332

x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!

=++++???++???246212462n

x x x x y x n

()(),∈-∞∞x

1.试写出

()()'+y x y x 的和函数;（4分）

2.利用第1问的结果求幂级数()!

∞

=∑202n

n x n 的和函数.（8分）

解：1、()()!!!-'=+++???++???-3521

3521n x x x y x x n (),-∞∞

于是()()!!

'+=++

++???=23

123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!

∞

==∑202n

n x S x n

}

由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S

通解：()()--=+=+?12

x

x x

x

x S

x e

C e e dx Ce

e 由()=01S ，得：=12C ；故：()()

-=+12

x

x S x e e

十.设函数

()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件

(

)Ω

=

+

???11

t

f t f

dv π

其中Ωt 是由曲线?=?=?2

z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面

与平面=z

t (参数>0t )所围成的空间区域。

1

、将三重积分

)

Ω???

t

f

写成累次积分的形式;

（3分）

<

2、试求函数

()f t 的表达式.（7分）

解：1、旋转曲面方程为：()

=+22

z

t x y

由()

?=+?

?

=??

22z t x y z t ，得：+=2

21x

y

故Ωt 在xoy 面的投影区域为：xy D ：+≤2

21x

y

()Ω∴=??????2

21

00t

t

t f

dv d d f dz πρθρρρ

2、由1得：

(

)()

()=

+

-=?1

2011

21f t t f d πρρρρπ

()

()=

+-?1

2021t f d ρρρρ

记：(

)()=-?1

2

01A f d ρρρρ 则：

(

)=

+2f t tA

—

两边乘以：(

)

-2

1t

t ，再在

[],01 上积分得：

()

=+-=+

??122

00

4

21

415

A A t t dt A

π

解得：=

15

44

Aπ

故：(

)=+15

22

f t tπ

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案2

三、填空题(每空 3 分，共15 分)

1.曲线

?=-

?

=

?

2

z y

x

，绕z轴旋转一周所得到的

旋转曲面的方程是()

=-++

221

z x y.

2.曲线

()

?

=

?

?

?

?=

?-

?

2

1

1

1

x

y

z

y

在点,,

??

?

??

1

21

2处

…

的法平面方程是-+-=

281610

x y z.

3. 设()

=+

22

z f x y,其中()

f u具有二阶连续导数,

且()

'=

13

f，()

''=

12

f,则

=

=

?

?

2

2

1

x

y

z

x

=14.

4.

级数

∞

=

-

∑

1

n

nα，当

α满足不等式>

1

2

α时收敛.

5.级数

()

∞

=

-

?

∑

1

1

2

n

n

n

x

n的收敛域是

(],-13.

四、单项选择题(每小题3分,共15分)

1.设a 与b 为非零向量,则?=0a b 是()A

A. //a b 的充要条件;

B. ⊥a b 的充要条件;

C.

=a b 的充要条件; D. //a b 的必要但非充分条件.

2.平面--=3360x

y 的位置是()B

*

A.垂直于z 轴;

B.平行于z 轴;

C.平行于xoy 面;

D. 通过z 轴.

3.设函数

(),=?=?≠?0010当时

当时

xy f x y xy ，

则下列说法正确的是()C

A.()lim

,→→00

x y f x y 存在且(),f x y 在点(),00处的

两个偏导数也存在; B.

()lim ,→→00

x y f x y 存在但(),f x y 在点(),00处的

两个偏导数不存在; C.

()lim ,→→00

x y f x y 不存在但(),f x y 在点(),00处的

两个偏导数存在;

、

D.

()lim ,→→00

x y f x y 不存在且(),f x y 在点(),00处的

两个偏导数也不存在;

4.曲线L 为圆周cos sin =??=?33x t

y t

≤≤02t π,

则

()

+?2

2n

L

x

y

ds 等于()A

A.

+?2123n π; B. +?19n π;

C.

?63

n

π; D.

+?+211

321

n n .

5. 设正项级数

∞

=∑1

n n u 收敛，则必有()D

A. lim +→∞=<11n n n

u u ρ;

B. lim =>1n ρ;

C.

lim →∞

=≠0n n u c ; D. lim →∞

=0n n u .

三.（8分）在平面++=1x

y z 上求一直线，

/

使得它与直线=??=-?1

1

y z 垂直相交。

解：方法1：

直线=??=-?11

y z 的方向向量为(),,100

它与平面++=1x

y z 的交点为(),,-111

所求直线通过这一点， 所求直线的方向向量为：

()()(),,,,,,=?=-111100011S

故所求的直线方程为：--+==-111

011

x y z 方法2：直线=??=-?1

1

y z 的方向向量为(),,100

它与平面++=1x

y z 的交点为(),,-111

"

所求直线通过这一点，

过交点(),,-111且与直线=??=-?1

1

y z 垂直的平面方程为：

()()()-+-++=101010x y z

即：=1x

故所求的直线方程为：++=??=?1

1x y z x

或：+=??=?0

1

y z x

四.（8分）设(,)z

z x y =是由方程 330z xz y -+=

所确定的隐函数, 求:

01

x y z x ==??，01

x y z y

==??和20

1

x y z

x y

==???， 解：设()

,,=-+3

2F

x y z z xz y ，则： -

=-2x F z ，=1y F ，

=-232z F z x ，

当=0x

，=1y 时=-1z ，

(

)====?==-?-2

00

1

1

22

332x x y y z z x

z x ， ()====?=-=-?-2001

1

11

332x x y y z

y

z x

，

()()====?+==??-2223

001

1

6429

32x x y y z

z x x y

z x ，

五.（8分）计算曲线积分

()()

++-?2221y

y

L

xe dx x e

y dy

其中L 为从(),00O 经()

-+=2

224x y 的上半圆到(),22A 的一弧段。

解：由

??==??22y P Q xe y x

知与路经无关。 取(),20B

，作新路经OBA 折线，

`

于是：

()()

++-?2221y

y

L

xe dx x e

y dy

()()

=

+

=++-?

?

??2

2

20014y OB

BA

x dx e y dy

()()

=+-=444242e e

六、（8分）利用高斯公式计算曲面积分

∑

++??222

xz dydz x ydzdx y zdxdy , 其中∑为球面：++=2

222x y z a 的上半部分的上侧.

解： 作

∑0：=0z 取下侧.

则

∑

++??

222

xz dydz x ydzdx y zdxdy ∑+∑∑=-????

而

()

∑+∑Ω

=++??

???0

222z x y dv

sin ==??

?222

5

2

00

025

a

d d r r dr a π

π

θ??π

∑=??

·

故：

∑

++??2

22

xz

dydz x ydzdx y zdxdy ∑+∑∑=

-=????

525

a π

七.（8分）将函数

()=++21

43

f x x x ,

展开成

()-1x 的幂级数.

解：

()??

=-= ?++??

111213f x x x

=---????++ ? ?

???

?11

11418124x x

而：

()

()

∞=-=--??+ ?

??

∑0111

1142412n

n

n

n x x

()-≤≤13x

()

()

∞

=-=--??+ ?

??

∑0111

1184814n

n

n

n x x

()-≤≤35x

()()

()∞

++=?

?=

--- ???

∑2

230

1

1112

2n n

n n n f x x ()-≤≤13x 八.（8分）求微分方程：''-=4x y y xe 的通解.

解：2

1210.1, 1.r

r r -=∴==-

；

12.x x Y C e C e -∴=+

1λ=是特征方程的单根, 所以设 ()*.x y x Ax B e =+

代入原方程得:

()1, 1.*1.x A B y x x e ==-∴=-

故原方程的通解为:

()

212.x x x y C e C e x x e -=++-

九. （12

分）求由曲面=z

和=--226z

x y

所围成立体的体积.

解：

Ω

：?--≤≤?

?≤≤???

≤≤??

22602

02xy x y z D ρθπ

-Ω

∴===??????2

22

600323

V

dv d d dz πρρ

θρρπ

十. （10分）设

()=y f x 是第一象限内连接点(),01A ，

~

(),10B 的一段连续曲线，(),M x y 为该曲线上任意

一点，点C 为M 在x 轴上的投影，

O 为坐标原点。若梯形OCMA 的面积与

曲边三角形CBM 的面积之和为

+61

63

x 。试建立()f x 所满足的微分方程，并求()f x 的表达式。

解：梯形OCMA 的面积为：()+???

?1

12x f x

曲边三角形CBM 的面积为：

()?1

x f t dt

根据题意得：()()++=+?????31

111263

x x x f x f t dt 两边关于x 求导得： ()()()'++-=????2

1111222

f x xf x f x x 即： ()()-'-=211

x f x f x x x

故：

()?

?

-??-=+=++ ? ???

?112211dx dx x

x x f x e

e dx C x Cx x

由：

()=10f ，得：=-2C ，

故：()()

=-2

1f x x

第二学期高数（下）期末考试试卷及答案3 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 已知向量()1,1,4a

=-,()3,4,0b =,则以a ,b

为边的平行四边形的面积等于.

2. 曲面sin cos z

x y =在点1,,442ππ??

???

处

|

的切平面方程是

210

x y z --+=.

3. 交换积分次序

()2

2

0,x dx f x y dy =

??()20

,y

dy f x y dx

??.

4. 对于级数11

n

n a

∞

=∑（a ＞0），当a 满足条件

1

a >时收敛.

5. 函数1

2y x

=-展开成x 的幂级数

为

()

10

222n n n x x ∞

+=-<<∑

.

二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ A ）

（A ）通过

y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面

2. 函数(),z

f x y =在点()00,x y 处具有偏导数

>

()00,x f x y '，

()

00,y f x y ',是函数在该点可微分的

（

C ）

（A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件

（C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z

e y x y =+，则10

x y dz ===（ B ）

（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1

()e

dx dy -+ （D ）()x e dx dy +

4. 若级数

()

1

1n

n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛，

则此级数在2x =处（ D ）

（A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 %

5. 微分方程

y xy x '-=的通解是（ D ）

（A ）

212

1x y e =- （B ）212

1x y e

-=- （C ）

212

x y Ce

-= （D ）

212

1x y Ce

=-

三、(本题满分8分) 设平面通过点

()3,1,2-，而且通过直线

43521

x y z

-+==，求该平面方程． 解: 由于平面通过点()3,1,2A

-及直线上的点()4,3,0B -，

因而向量()1,4,2AB

→

=-平行于该平面。

该平面的法向量为: (5,2,1)(1,4,2)(8,9,22).n =?-=--

则平面方程为:

8(4)9(3)22(0)0.x y z --+--= /

或：

8(3)9(1)22(2)0.

x y z ----+=

即： 8922590.x y z ---=

四、(本题满分8分) 设(),z

f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，

试求z x ??和2z x y

???．

解:

12z

f y f x

?=+?, ()212z f y f x y y

??

=+=???

()111212122f x f y f f x f =++++=

()1112122xyf x y f f f =++++

五、(本题满分8分) :

计算三重积分

y zdxdydz Ω

=???，

其中

(){}

,,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．

解:

2

21

12

1

1

1

12

32

z

zdxdydz dx dy

zdz -Ω

===?????

?

六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

其中L 是圆周2

2

2x y R +=在第一象限的部分．

解法一:

L =?

0Re arcsin Re 2R

R

R

R

R R

x e

R

π

=

==?

解法二:

L =?

R

R

L

e ds e L =

=?

（L 的弧长）Re 2

R π

=

!

解法三: 令cos x R θ=，sin y R θ=

，02

π

θ≤≤

，

L =?

2

Re 2

R

R e Rd π

π

θ=

=

?

七、(本题满分9分) 计算曲面积分

3xdydz zdzdx dxdy ∑

++??，其中∑是柱面

221x y +=与平面0z =和1z =所围成的边界曲面外侧．

解:

P x =,Q z =,3R =,

由高斯公式：

3xdydz zdzdx dxdy ∑

++=??

P Q R dv dv x y z πΩ

Ω

??

???=

++== ??????

???

???

)

八、(本题满分9分)

求幂级数

11

n n nx ∞

-=∑的收敛域及和函数．

解: 收敛半径：1

lim

1n

n n a R a →∞+== 易判断当1x

=±时，原级数发散。

于是收敛域为

()1,1-

()()1

2

1

1111n n n n x s x nx x x x ∞

∞-==''

????=

=== ? ?-?

???-∑∑

九、(本题满分9分) 求微分方程

4x y y e ''-=的通解．

解:特征方程为：2

40r -=

特征根为：2r

=,2r =-

，

40y y ''-=的通解为：2212x x

Y C e C e -=+

设原方程的一个特解为：

x y Ae *=,

()4x

x

A A e

e

-=

31A -=

13

A =-

∴原方程的一个特解为：13

x

y e *

=-

故原方程的一个通解为：221213

x

x

x

y Y y C e

C e

e *-=+=+- 十、(本题满分11分)

设L 是上半平面

()0y >内的有向分段光滑曲线，

其起点为()1,2，终点为()2,3，

记2221L

x I xy dx x y dy y y ??

??=++- ? ????

?? 1．证明曲线积分I 与路径L 无关；

/

2．求I 的值．

证明1:因为上半平面G 是单连通域，在G 内：

()2

1,P x y xy y =+，()2

2,x Q x y x y y

=-

有连续偏导数，且：

212P xy y y ?=-?，212Q xy x y

?=-?，P Q y x ??=

??。 所以曲线积分I 与路径L 无关。 解2: 设()1,2A

，()2,3B ，()2,2C ，由于曲线积分I 与

路径L 无关，故可取折线路径：A C

B →→。

2221L x I xy dx x y dy y y ??

??=++-= ? ??????

2221AC x xy dx x y dy y y ??

??=++-+ ? ??????

2221CB x xy dx x y dy y y ??

??+++-= ? ????

??

(

2

3212

12974426x dx y dy y ???

?=++-= ? ????

???

东北大学高等数学(下)期末考试试卷

.

一．选择题(4分?6=24分)

1、设c b a ,,为非零向量，则c b a ??)( =[ ]．

(A) )(c b a ?? (B) c a b ??)( (C) )(b a c ?? (D) )(a b c ?? .

#

2

．

][

),(),(),(),(0000处在可微分的充分条件是在点函数y x y x f y x y x f z =．

两个偏导数连续)(A 两个偏导数存在)(B

数存在任何方向的方向导)(C 函数连续且存在偏导数)D (

3．设x y x D 2:22≤+， ),(y x f 在D 上连续． σd y x f D

??),(=[ ]．

(A)

rdr r r f d ?

?

θπθθθsin 20

)sin ,cos ( (B)

rdr r r f d ?

?

θπθθθcos 20

20

)sin ,cos (

(C)

rdr r r f d ?

?

-

θπ

πθθθcos 20

22

)sin ,cos ( (D)

rdr r r f d ?

?

-

θπ

πθθθsin 20

22

)sin ,cos (

4若级数∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

n n v 都发散，则必有[ ]．

(A)

)(1n n n

v u

+∑∞

= 发散 (B)

)(1n n n

v u

+∑∞

= 发散

(C)

)(21

2n

n n

v u

+∑∞

= 收敛 (D)

)(1

n n n

v u

+∑∞

=收敛

二、填空题(4分?6=24分)

￥

1．直线

3

1221z

y x =-+=-与平面062=++-z y x 的交点是____________．

2．用钢板做体积为38m 的有盖长方体水箱．最少用料S=_____2m ． 3．二次积分??-1

1

2

x

y dy e

dx 的值是_____________．

4．设∑为球面

)

0(2222>=++a a z y x ，则

??∑

+dS y x 2

)

(=__________________．

5．小山高度为2225y x z --=．在)4

3

,1,23(--处登山，最陡方向是

_____________．

6．设)(x f 为周期为π2的周期函数，它在),[ππ-的表达式为

??

?<≤<≤--=π

πx x x x f 0,0,1)(，

若)(x f 的傅立叶级数的和函数为)(x s ，则

)2

()(π

πs s +=________________．

三、（10分）求过点)3,2,1(-垂直于直线

6

54z

y x ==而与平面010987=+++z y x 的平行的直线方程．