2018年广西桂林中考数学试卷(含解析)

2018年广西省桂林市初中毕业、升学考试

数学

（满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2018广西省桂林市，1，3分）2018的相反数是( )

A．2018 B．－2018 C．

1

2018

D．－

1

2018

【答案】B

【解析】2018的倒数是－2018．故选B．

【知识点】相反数

2．（2018广西省桂林市，2，3分）下列图形是轴对称图形的是( )

【答案】A．

【解析】解：在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形．B、C、D三个选项中的图案都不是轴对称图形，故B、C、D选项错误，其中B选项是中心对称图形；而A选项中的图案是轴图形，故A选项正确．

【知识点】轴对称图形；中心对称图形

3．2018广西省桂林市，3，3分）如图，直线a，b被c所截，且//

a b，∠1＝60°，则∠2的度数是( )

【答案】B．

【解析】如图所示，∵//

a b，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝60°，∴∠2＝60°，故选B．

【知识点】平行线的性质

4．（2018广西省桂林市，4，3分）如右图所示的几何体的主视图是（）

【答案】C ．

【解析】从正面看是个长方形，故选B ． 【知识点】视图与投影；视图；画三视图

5．（2018广西省桂林市，5，3分）用代数式表示：a 的2倍与3的和，下列表示正确的是（ ） A ．2a －3 B ．2a ＋3 C. 2（a －3） D ．2（a ＋3） 【答案】B ．

【解析】a 的2倍与3的和用代数式可表示为2a ＋3，故选择B ． 【知识点】代数式表示

6．（2018广西省桂林市，6，3分）2018年5月3日，中国科学院在上海发布了中国首款人工智能芯片：寒武纪

（），该芯片在平衡模式下的等效理论峰值速度达每秒128 000 000 000 000次定点运算，将数128 000 000 000 000用科学计数法表示为( )

A ．1．28×1014

B ．1．28×10－

14 C ．128×1012 D ．0．126×1015 【答案】A ．

【解析】128 000 000 000 000是一个整数数位有15位的数，科学记数法表示一个数，就是把一个数写成a ×10n 的形式(其中1≤|a |＜10，n 为整数)，故在用科学记数法表示时，a ＝1．28，n ＝15－1＝14，即128 000 000 000 000

＝1．28×1014

，故选择A ． 【知识点】科学记数法 7．（2018广西省桂林市，7，3分）下列运算正确的是（ ）

A ． 2x －x ＝1

B ．()2x x x ?-=- C. ()

326

x x = D ．22x x ÷=

【答案】C ．

【解析】解：A 合并同类项，其法则是系数相加减，字母及其指数不变，即2x －x ＝(21)x x -=，故A 选项错误； B 选项是选项可将其化为同底数幂的乘法，其法则是底数不变，指数相加，即()2

x x x x x ?-=-?=-，故B 选项

错误；C 选项是幂的乘方，其法则是，幂的乘方等于各个因式乘方后的积，故()

3

2

23

6

x x

x ?==C 选项正确； D

选项同底数幂的除法，其法则是底数不变，指数相减，即2

21

x x x x -÷==，故D 选项错误．故选C ．

【知识点】合并同类项；同底数幂的乘除法；幂的乘方

8．（2018广西省桂林市，，8，3分）一组数据： 5，7，10，5，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是( ) A ． 10和7 B ．5和7 C. 6和7 D ．5和6 【答案】D ．

【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数，故这组数据的众数为5；中位数就是按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数，这组数据排序后为5，5，5，6，7，7，10，故这组数据的中位

数是6，故选D ．

【知识点】统计；众数；中位数

9．（2018广西省桂林市，9，3分）已知关于x 的一元二次方程2

230x kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值

为( )

A ．26±

B ．6±

C ．2或3

D ．23或

【答案】A ．

【思路分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式b 2－4ac ＝0．

【解题过程】解：由题意得，2

230x kx -+=有两个相等的实数根，则该一元二次方程的根的判别式b 2－4ac ＝

（－k ）2－4×2×3＝m 2 －24＝0，解得k ＝2426±=±，故选A ． 【知识点】一元二次方程的应用；根的判别式

10．（2018广西省桂林市，10，3分）3212x y x y --++-＝0，则x ，y 的值为( ) A ．1

4x y ==??

? B ．20x y ==??? C ．02x y ==??? D ．11x y ==???

【答案】D

【解析】∵321x y --≥0，2x y +-≥0，∴要使3212x y x y --++-＝0，则需321020x y x y --=+-=???，解得11

x y ==??

?故选D ．

【知识点】绝对值；二次根式

11．（2018广西省桂林市，11，3分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝3，点M 在CD 边上，且DM ＝1，△AEM 与△ADM 关于所在的直线AM 对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为( )

A ．3

B ．23

C ．13

D ．15

【答案】C ．

【思路分析】连接BM ，由题意可得△ADM ≌△AEM ≌△ABF ，由此可以证得△EAF ≌△BAM ，则FE ＝BM ，计算出BM 的长即可．

【解题过程】如下图（1），连接BM ，则由题意可得，△ADM ≌△AEM ≌△ABF ，∴∠BAF ＝∠EAM ，BA ＝AM ，AF ＝EA ，∴∠ BAF ＋∠ BAE ＝∠EAM ＋∠ BAE ，即∠ EAF ＝∠BAM ，则在△EAF 和△BAM 中，∵

BA AM EAF BAM AF AE ∠∠??

???

＝＝＝，∴△EAF ≌△BAM （SAS ）

，∴FE ＝BM ，又∵DM ＝1，在正方形ABCD 中，AB ＝3，∴CM ＝3－1＝2，CB ＝3，∠C ＝90°，∴BM

＝22223213BC CM +=+=∴FE ＝BM ＝13，故选C ．

【知识点】正方形的性质；轴对称烦的性质；旋转的性质；勾股定理；全等三角形的性质及判定 12．（2018广西省桂林市，12，3分）如图，在平面直角坐标系中， M 、N 、C 三点的坐标分别为（

1

2

，1），（3，

1），（3，0），点A 为线段MN 上的一个一动点，连接AC ，过点A 作AB ⊥AC 交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b ），则b 的取值范围是( ) A ．14-≤b ≤1 B ．54-≤b ≤1 C ．94-≤b ≤12 D ．9

4-≤b ≤1

【答案】B ．

【思路分析】．如下图（1），连接CN ，延长NM ，交y 轴于点D ，设AN ＝x ，则AD ＝3－x ，DB ＝1b +，证明

△BDA ∽△ANC ，可得b ＝2

352

3124x x x -+-=--+?? ???≤54

，从而得到b 的取值范围．

【解题过程】解：如下图（1），连接CN ，延长NM ，交y 轴于点D ，设AN ＝x ，则AD ＝3－x ，∵点B 的坐标为（0，b ），∴DB ＝1b +，∵N 、C 两点的坐标分别为（3，1），（3，0），∴NC ＝1， AN ⊥NC ，∴∠ACN ＋∠CAN ＝90°，∵AB ⊥AC ，∴∠BAD ＋∠CAN ＝90°，∴∠ACN ＝∠CAN ，又∵∠BDA ＝∠CNA ＝90°，∴△BDA ∽△ANC ，∴

AD BD CN

AN

=，即

131

b

x x +-=

，213b x x +=-+，解得b ＝2

352

3124x x x -+-=--+?? ???≤54

，又∵当点A 与点N 重合时，点B 与点D 重合，（如下图（2）），此时b ＝1，∴5

4

-≤b ≤1．，故选B ．

【知识点】二次函数；相似三角形的性质和判定；动点问题

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．

13．（2018广西省桂林市，13，3分）比较大小：－3 0．（填“＜”，“＝”或“＞”） 【答案】＜．

【解析】负数是小于零的数，故－3＜0． 【知识点】比较大小

14．（2018广东省深圳市，14，3分）分解因式：2

4x -＝ ．

【答案】()()22x x +-．

【解析】()()2224222x x x x -=-=+-．

【知识点】因式分解；平方差公式 15．（2018广西省桂林市，15，3分）某学习小组共有学生5人，在一次数学测验中，有2人得85分，2人得90

分，1人得70分，在这次测验中，该学习小组的平均分为 分． 【答案】84．

【解题过程】()1

285290170845

x =?+?+?=，故该学习小组的平均分为84分．

【知识点】加权平均数 16．（2018广西省桂林市，16，3分）如图，在△ABC 中，∠ A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰

三角形的个数是 ．

【答案】3．

【解题过程】∵∠ A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝1

2

∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝∠C ＝72°，∴△BCD 是等腰三角形，又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴∴△ABD 是等腰三角形，故有3个等腰三角形．

【知识点】等腰三角形的性质和判定；三角形的内角和定理

17．（2018广西省桂林市，17，3分）如图，矩形OABC 的边AB 与x 轴交于点D ，与反比例函数()0k

y x

k =>在

第一象限的图象交于点E ，∠AOD ＝30°，点E 的纵坐标为1，△ODE 的面积是

433

，则k 的值是 ．

【答案】3．

【思路分析】过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，由“点E 的纵坐标为1，△ODE 的面积是433

”可求出OD 的长，再

利用特殊角的三角函数值，可求出DF 的长，从而得到点E 的坐标，即可求出k 的值． 【解析】解：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，∵点E 的纵坐标为1，∴EF ＝1，又∵S △ODE ＝

433

，∴

12

OD ·FE ＝

433

，

解得OD ＝

833

，∵四边形OABC 是矩形，∴∠A ＝90°，又∵∠AOD ＝30°，∴∠EDF ＝∠AOD ＝90°－30°

＝60°，则在Rt △DEF 中，tan 60EF

DF =?，

∴DF ＝113tan 6033

==?，又∵OD ＝338，∴OF ＝OD ＋DF ＝833＋33

＝33，∴点E 的坐标为（33，1），∴k 的值是33．

【知识点】矩形的性质；特殊角的三角函数值；三角形的面积公式；反比例函数关系式

18．（2018广西省桂林市，18，3分）将从1考试的连续自然数按右图规律排列： 规定位于第m 行，第n 列的自然数记为（m ，n ），如：自然数8记为（2，1），自然数10记为（3，2），自然数

15记为（4，2），…，按此规律，自然数2018记为 ．

行 列

第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 … … … … … 第m 行

…

…

…

…

【答案】（505，2）．

【思路分析】这组数据每8个数一个周期，用2018除以8所得的余数就是列，行数则为商×2＋1．

【解析】解：这组数据每8个数一个周期，2018÷8＝252…2，∵每行有4个数，故行为252×2＋1＝504＋1＝505，因余数为2，故列为2，∴自然数2018记为（505，2）． 【知识点】找规律

三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2018广西省桂林市，19，6分）计算：

1

1

18+(3)6cos45+

2

-

--?

??

?

??

．

【思路分析】先算出每一个式子的值，再依据混合运算顺序，依次计算即可．

【解题过程】

1

1

18+(3)6cos45+

2

-

--?

??

?

??

＝+6+++

2

32123213223

2

-?=-=．

【知识点】实数的四则运算；特殊角三角函数值的运用；负指数次幂；0次幂；二次根式的化简

20．（2018广西省桂林市，20，6分）先解不等式

51

1

3

x

x

-

<+，并把它的解集在数轴上表示出来．

【思路分析】先算括号内，进行通分运算，再将其除法化为乘法进行约分、化到最简，再代入求值．

【解题过程】解：

51

1

3

x

x

-

<+，513(1)

x x

-<+，5133

x x

-<+，解得2

x<．它的解集在数轴上表示如下图：

【知识点】解一元一次不等式；数轴表示

21．（2018广西省桂林市，21，8分）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．

【思路分析】（1）利用SSS定理即可证明△ABC≌△DEF；（2由三角形内角和定理求出∠C的度数，再利用全等三角形对应角相等可求得∠F的度数．

【解题过程】解：(1)∵AD＝CF，∴AD＋CD＝CF＋CD，即AC＝DF，则在△ABC和△DEF中，∵

AC DF

AB DE

BC EF

=

=

?

?

?

?

?

＝，∴△ABC≌△DEF（SSS）；

(2)在△ABC中，∵∠A＝55°，∠B＝88°，又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°―∠A―∠B＝37°，又∵△ABC≌△DEF（SSS），∴∠F＝∠C＝37°．

【知识点】全等三角形的性质和判定；三角形内角和定理

22．（2018广西省桂林市，22，8分）某校为了解高一年级住校学生在校期间的月生活支出情况，从高一年级600

名住校学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的生活支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表：组别月生活支出x（单位：元）频数（人数）频率

第一组x＜300 4 0.10

第二组300≤x＜350 2 0.05

第三组350≤x＜40016 n

第四组400≤x＜450m 0.30

第五组450≤x＜500 4 0.10

第六组x≥500 2 0.05

请根据图表中所给的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中共随机抽取了名学生，图表中的m＝，n＝；

(2)请估计该校高一年级600名住校生今年4月份生活支出低于350元的学生人数；

（3）现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生，学校在本次调查的基础上，进过进一步核实，确认高一（2）班有A，B为女生，C为男生，李阿姨申请资助他们中的两名，于是学校让李阿姨从A，B，C三名学生中依次随机抽取两名学生进行资助，请用列表法（或树状图法）求恰好抽到A，B两名女生的概率.

【思路分析】（1）由频数÷频率＝总数，先求出在这次调查中共随机抽取的学生总人数，即可求出m、n的值；（2）由频率×总数＝频数，可估计该校高一年级600名住校生今年4月份生活支出低于350元的学生人数；（3）用列表法求出所选两人正好都是甲班学生的概率即可．

【解题过程】解：（1）在这次调查中共随机抽取的学生总人数为4÷0．10＝40，故n＝16÷40＝0．4，m＝0．30×40＝12；

（2）该校高一年级600名住校生今年4月份生活支出低于350元的学生人数有：600×（0．10＋0．05）＝90人；

（3）用列表法表示如下：

故恰好抽到A，B两名女生的概率为P（恰好抽到A，B两名女生）＝21 63 ．

【知识点】统计与概率；频数；频率；统计图

23．（2018广西省桂林市，23，8分）如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B 处的正西方向.于是命令海监船A前往救援，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，结果精确到0.1小时）

【思路分析】过点B 作BD ⊥DC 于点D ，由题意可知，∠BCD ＝45°，∠ACD ＝60°，先根据BC ＝60，利用特殊角的三角函数值求出BD 的长，再求出AD 的长即可．

【解题过程】解：如图（1），过点B 作BD ⊥DC 于点D ，由题意可知，∠BCD ＝45°，∠ACD ＝60°，DC ＝BD ，则在Rt △DEF 中，∵BC ＝60，∴sin ∠BCD ＝

BD BC ，即

2sin 4540

2

BD =?=

，解得BD ＝230，∴DC ＝BD ＝230，

则在Rt △ACD 中， tan ∠ACD ＝

AD CD

，即

tan 603302

AD =?=，解得AD ＝630，∴AB ＝AD －BD ＝630－

230≈30（2.45－1.41）＝31.2（海里），∴渔船在B 处等待得到海监船A 的救援需要的时间为

31.230

＝1.04

≈1.0（小时），

答：渔船在B 处等待得到海监船A 的救援需要约1.0小时． 【知识点】锐角三角函数的实际应用；二次根式的化简

24．（2018广西省桂林市，24，8分）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进行施工，计划用40天时间完成整个工程；当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该校田径场进行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.

(1)若由二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？

(2)若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？

【思路分析】（1）根据公式“工作总量＝工作效率×工作时间” ，“第二批饮料的数量是第一批的3倍”列出分式方程，也可以根据3行4列的表格列出分式方程；（2）设销售单价为m 元，由公式“利润＝销售量×单件利润”，用含有m 的代数式表示出销售利润，再由销售利润≥1200，列不等式计算即可． 【解题过程】解：（1）由二号施工队单独施工，完成整个工程需要x 天，可列如下的表格：

工作效率

工作时间

工作总量

二号施工队单独施工 1

x

x 1 先由一号施工队工作5天，再由一号、二号施工队共

同工作

1140

x

+

40－14－5

1－

1540?

则

()111540145140

40x ?++--=??

???

，去分母得521(40)40x x x ++=，解得x ＝60，经检验，x ＝60是分式方程的解，且符合题意.

答：若由二号施工队单独施工，完成整个工程需要60天；

(2)设此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要y 天，则：1114060y +=?? ???

，化简得：51120

y =，解得：y ＝24.

答：若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天. 【知识点】分式方程的应用；工程问题

25．（2018广西省桂林市，25，10分）如图1，已知⊙O 是△ADB 的外接圆，∠ADB 的平分线DC 交AB 于点M ，交⊙O 于点C ，连接AC ，BC . (1)求证：AC ＝BC ；

(2)如图2，在图1的基础上作⊙O 的直径CF 交AB 于点E ，连接AF ，过点A 作⊙O 的切线AH ，若AH ∥BC ，求∠ACF 的度数；

(3)在（2）的条件下，若△ABD 的面积为63，△ABD 与△ABC 的面积之比为2：9，求CD 的长.

【思路分析】（1）根据DC 是∠ADB 的平分线，同弧所对的圆周角相等的性质，可证得∠ABC ＝∠BAC ；（2）由AH 是⊙O 的切线以及CF 是⊙O 的直径，再由AH ∥BC ，可证得△ABC 是等边三角形，从而求得∠ACF 的度数；（3）先根据S △ABD ＝63，2

9

S ABD S ABC =V V 求出AE 的长度，从而得到AB 和的CE 长，进而勾股定理求得直径CF

的长，然后过点D 作DG ⊥CF 于点G ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OD ，根据S △ABD ＝63，求出DH 的长，再求出OG 的长，利用勾股定理即可求出CD 的长． 【解题过程】证明：（1）∵DC 是∠ADB 的平分线，∴∠ADC ＝∠BDC ，又∵∠ADC ＝∠ABC ，∠BAC ＝∠BDC ，

∴∠ABC ＝∠BAC ，∴AC ＝BC ； （2）如图3，连接OE ，∵AH ∥BC ，∴∵AH 是⊙O 的切线，∴∠OAH ＝90°，∴∠OAC ＋∠CAH ＝90°，∵OA ＝CC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵∠OCA ＋∠CAH ＝90°，即∠FCA ＋∠CAH ＝90°,∵CF 是⊙O 的直径，∴∠

F AC ＝90°，∴∠CF A ＋∠FCA ＝90°，∴∠CF A ＝∠CAH ,又∵∠CF A ＝∠ABC , ∠ABC ＝∠BAC ，∠HAC ＝∠ACB ， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝∠ACB ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CF A ＝∠ABC ＝60°，∴∠CF A ＝90°－∠CF A ＝90°－60°＝30°；

（3）∵△ABC 是等边三角形，∠BAC ＝60°，即∠EAC ＝60°，又∵∠CF A ＝30°，即∠ECA ＝30°，∴∠EAC ＋∠ECA ＝90°，即∠CEA ＝90°，即AB ⊥CF ，∴AE ＝BE ＝

21

AB ，∵S △ABD ＝63，2

9

S ABD S ABC =V V ，

∴

S △ABC ＝273，∴

2

1

AB ·CE ＝273，∴AE ·CE ＝273，则在Rt △AEC 中，∵∠EAC ＝60°，∴tan ∠EAC ＝

CE AE

＝3，即

CE ＝3AE ，∴AE ·3AE ＝273，解得AE ＝33，∴ AB ＝2BE ＝36，∴CE ＝3AE ＝9，∵∠EAC ＝60°，∴∠ACE ＝30°，∴CA ＝2AE ＝36，∴CF ＝

cos 30AC ?

＝

63

3

2

＝12，过点D 作DG ⊥CF 于点G ，过点D 作

DH ⊥AB 于点H ，连接OD ，∵S △ABD ＝

21

AB ·DH ＝

2

1

×63·DH ＝63，∴DH ＝2，∵AB ⊥CF ，DH ⊥AB ，

DG ⊥CF ，∴∠DGE ＝∠GEH ＝∠DHE ＝90°，∴四边形DGEH 是矩形，∴EG ＝DH ＝2，∴CG ＝EG ＋CE ＝2

＋9＝11，则在RtΔODG 中，OG ＝CG －OC ＝11－6＝5，OD ＝6，∴DG ＝22226511OD OG -=-=， ∴CD ＝()

2

22

2

11

1111121233GD CG +=

+=+=.

【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质和判定；圆周角定理；垂径定理；切线的性质；平行线的性质；三角形面积公式；

26．（2018广西省桂林市，26，12分）如图，已知抛物线26(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （－3，0）和点B （1，0），与y 轴交于点C .

(1)求抛物线y 的函数表达式及点C 的坐标；

(2)点M 为坐标平面内一点，若MA ＝MB ＝MC ，求点M 的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点E ，使4t an ∠ABE ＝11tan ∠ACB ?若存在，求出满足条件的所有E 点的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路分析】（1）将点A （－3，0）和点B （1，0）分别代入26y ax bx =++即可求出抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）如图（1），分别作线段AB 、AC 的垂直平分线，相交于点M ，则点M 可使MA ＝MB ＝MC ，根据点A 和点C 的坐标可求出点D 的坐标，根据互相垂直的两条直线的k 值乘积为－1，则可求出线段AC 的垂直平分线DE 的关系式，从而得出点M 的坐标；（3）过点B 作BG ⊥AC 于点G ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，先求出直线BG 的关系式，即可得到点G 的坐标，求得t an ∠ABE 的值，再根据4t an ∠ABE ＝11tan ∠ACB 解得EF ＝2 BF ,即可求出点E 的坐标．

【解题过程】解：（1）将点A （－3，0）和点B （1，0）分别代入26y ax bx =++得， ()()2033620116

a b a b =?-+?-+=?+?+????? ，解得2

4a b =-=-???

a ＝1，∴抛物线的解析式为2246y x x =--+，当x ＝0时，y ＝6，∴点C 的坐标为（0，6）；

（2）如图（1），分别作线段AB 、AC 的垂直平分线，相交于点M ，则点M 可使MA ＝MB ＝MC ，∵抛物线的解析式为()2

2246218y x x x =--+=-++，顶点的坐标为（－2，8），对称轴为：直线x ＝－1，∴点M 的横坐标

为：x ＝－1，设直线AC 的中点为D ，∵点A （－3，0），C （0，6），∴点D 的坐标为（－

2

3

，3），设直线AC

的关系式为y kx b =+，将点A （－3，0），C （0，6）代入y kx b =+得：6

3

32

b k b ==-+?????，解得：62

k b ==???，∴直线AC 的解析式为：62y x =+，则可设线段AC 的垂直平分线DE 的关系式为11

2

y x b =-

+，将点D 的坐标为（－23

，3）代入得，312312b =-?-+?? ???，解得1b ＝94，∴直线DE 的关系式为1924y x =-+，当x ＝－1时，y ＝－

1

2

×（－1）＋94

＝

4

11

，∴点M 的坐标为（－1，

4

11

）；

（3）如图（2），过点B 作BG ⊥AC 于点G ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，∵抛直线AC 的解析式为：62y x =+，

∴可设直线BG 的关系式为212y x b =-

+，将点B 的坐标为（1，0）代入得，20112b =?-+??

???

，解得2b ＝12，∴直线BG 的关系式为1221y x =-+，联立6122

21y y x x =+=-+?????得，11585x y =-=?????

，∴点G 的坐标为（－115，85），∴BG ＝221182566485105525255--+-=+=?????? ? ????

?????，CG ＝22

118121484115065525255--+-=+=

??????

? ?????????， ∴在R t △BCG 中， tan ∠ACB ＝855111155

8BG CG

=

=，又∵4t an ∠ABE ＝11tan ∠ACB ，∴4t an ∠ABE ＝8，即48EF BF =，解得2EF

BF

=，

∴EF ＝2 BF ，设点E 的坐标为（e ，2246e e --+），则点F 的坐标为（e ，0），∴EF ＝2246e e --+，

BF ＝1e -，又∵EF ＝2 BF , 即2246e e --+＝21e -,∴2246e e --+＝2（1e -）或2

246e e --+＝2（1e -），即22e e +-＝0或2

34e e +-＝0，解得e ＝－2或e ＝1，e ＝－4或e ＝1（与点B 重合，舍去），当x ＝－4时，y ＝2246x x --+＝－10，当x ＝－2时，y ＝2

246x x --+＝6，∴点E 的坐标为（－4，－10）或（－2，6）.

【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；两点间距离公式；勾股定理；解一元二次方程；解一元一次方程；二次根式的化简