高三数学空间位置关系与距离
1
C _ A _ B _ M
_ D
_ E
O
_ C
专题15 空间位置关系与距离
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( B) A.平面ABC 必平行于α B. 存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 C. 平面ABC 必与α相交 D. 平面ABC 2．如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( D ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条
3．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别
是侧棱AA 1、 CC 1 上的点，且PA=QC 1，则
四棱锥B —APQC 的体积为（ C ）
A ．16
B ．14
C ．13V
D ．12
4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列 四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥
③若βαβα//,//,,则n m n m ??；
④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ??， 其中真命题是（ D ） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④
5．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'
BD 的一个平面交'AA 于E ，交'
CC 于F ，则( ) ① 四边形E BFD '
一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形
③
四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形
④ 四边形E BFD '
有可能垂直于平面D BB '
以上结论正确的为 ①③④ 。（写出所有正确结论的编号）
6．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD ====
AB AD == （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离. 【专家解答
】
（I ）证明：连结OC
,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ?中，由已知得1,AO CO == 而2,AC = 2
2
2
,AO CO AC ∴+=
90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD
（II ）取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角
在OME ?中，
111,22
EM AB OE DC =
=== OM 是直角AOC ?斜边AC 上的中线，1
1,2
OM AC ∴==
cos 4OEM ∴∠=∴异面直线AB 与CD
所成角的大小为arccos 4
（III ）设点E 到平面ACD 的距离为.h
,E ACD A CDE V V --= 11
(33)
ACD CDE h S AO S ??∴=
在ACD ?中
,2,CA CD AD ===
12ACD S ?∴=
=
而211,22CDE AO S ?===
1.7CDE ACD AO S h S ??∴=
== ∴点E 到平面ACD
★★★高考要考什么
【考点透视】
判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。 【热点透析】 1． 转化思想：
① ??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，
平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影
★★★高考将考什么
【范例1】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面
CDE 是等边三角形，棱//
1
2
EF BC =． （1）证明FO //平面CDE ； （2
）设BC =，
证明EO ⊥平面CDF ．
解析：（Ⅰ）取CD 中点M ，连结OM. 在矩形ABCD 中，1//
2OM BC ，又1
//2
EF BC ，则//OM EF ， M
连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形. //FO EM ∴ 又FO ? 平面CDE ， EM ?平面CDE ， ∴ FO ∥平面CDE （Ⅱ）证明：连结FM ，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE 中，
,CM DM EM CD =⊥
且1
2
EM BC EF =
==. 因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO ⊥FM 而FM∩CD=M ，
∴CD ⊥平面EOM ，从而CD ⊥EO. 而FM CD M ?=，所以EO ⊥平面CDF. 【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。
【文】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形, AD ∥BC ，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB =2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点。
(Ⅰ)求证：PB ⊥DM;
(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角 解析：方法一：
（I ）因为N 是PB 的中点，PA PB =，所以AN PB ⊥.
因为AD ⊥平面PAB ，所以AD PB ⊥，从而PB ⊥平面ADMN . 因为DM ?平面ADMN ，所以PB DM ⊥.
（II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则//BG CD ，
所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所成的角相等. 因为PB ⊥平面ADMN ，所以BGN ∠是BG 与平面ADMN 所成的角.
在Rt BGN ?
中，sin BN BNG BG ∠=
=
. 故CD 与平面ADMN
所成的角是arcsin 5
.
方法二：
以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，设1BC =，则
1
(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0),(1,,1),(0,2,0)2
A P
B
C M
D .
（I ） 因为3
(2,0,2)(1,,1)2
PB DM ?=-?- 0=，所以.PB DM ⊥
（II ） 因为(2,0,2)(0,2,0)PB AD ?=-?
0=，所以PB AD ⊥， 又因为PB DM ⊥，所以PB ⊥平面.ADMN
因此,PB DC <>
的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角.
因为cos ,||||
PB DC
PB DC PB DC ?<>=?
=，
所以CD 与平面ADMN
所成的角为. 【点晴】注意线线垂直常使用线面垂直得到解决，线面角关键是找到射影，遵循一作二证三计算的步骤。同时使用空间向量能降低对空间想象能力的要求。
【范例2】如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 解析：（Ⅰ）如图，取AD 的中点E ， 连结PE ，则PE ⊥AD.
作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，
所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角 的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，
四棱锥P —ABCD 的体积V P —ABCD =.96333483
1=???
（Ⅱ）法1 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P(0，0，33)， A(23，－3，0)，B(23，5，0)，D(－23，－3，0)
所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=? 所以PA ⊥BD.
法2：连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算 可得EO=3，AE=23，又知AD=43，AB=8， 得
.AB
AD
AE EO =所以Rt △AEO ∽Rt △BAD.得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.
因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.
【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求，但坐标系的位置不规则，注意点坐标的表示。
【文】在直三棱柱ABC ABC -中，90,1ABC AB BC ∠===
. （1）求异面直线11B C 与AC 所成的角的大小；
（2）若1AC 与平面
ABC 所成角为45
，求三棱锥1A ABC -的体积。 解析 (1) ∵ BC ∥B 1C 1, ∴∠ACB 为异面直线B 1C 1与AC 所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴ 异面直线B 1C 1与AC 所成角为45°.
(2) ∵ AA 1⊥平面ABC,∠ACA 1是A 1C 与平面ABC 所成的角, ∠ACA =45°.
∵ ∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=2,∴AA 1=2. ∴ 三棱锥A 1-ABC 的体积V=
31S △ABC ×AA 1=2
6
. 【点晴】画图是学好立体几何的基本要求，本题考查了线线角和体积等立几知识。
【范例3】如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.
（Ⅰ）求BF 的长；
（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.
解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.
∴DF=C 1H=2. .622
2
=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，
由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ?面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.
在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离.
.11
33
417
12317
123,17
121743cos 3cos 3,.
17,1,2
2
1
1
221=+
?
=
?=
∴=?
===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CG
BG
CC EB 知由从而可得由
解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.
∵AEC 1F 为平行四边形，
.
62,62||).
2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,
11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴
（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然
???=+?+?-=+?+??????=?=?02020140,0,011y x y x n AE n 得由??
???-==∴???=+-=+.41,1,022,014y x x y 即
111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a
，则1111cos ||||
CC n CC n α?==?
∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11
33
4333343cos ||1=?
==αCC d 【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循
一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。
【文】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。
（1）求点1B 到直线AC 的距离. （2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离．
B A
C
D
1
A
1
B 1
C
1
A
1
A 解：（1）连结BD ，D
B 1，由三垂线定理可得：A
C
D B ⊥1， 所以D B 1就是1B 点到直线AC 的距离。 在BD B Rt 1?中,6810222211=-=-=
BC C B BB 34=BD ．
2122121=+=
∴B B BD D B ． （2）因为AC 与平面BD 1C 交于ＡＣ的中点Ｄ， 设E BC C B =?11，则1AB //DE ，所以1AB //平面BD C 1， 所以1AB 到平面BD 1C 的距离等于Ａ点到平面BD 1C 的距离，等于Ｃ点到平面BD 1C 的距离，也就等于三棱 锥1BDC C -的高， B D C C B D C C V V --=1
1
，
1313
1
1
CC S hS BDC BDC ??=∴，131312=∴h ，即直线1AB 到平面BD 1C 的距离是13
1312．
【点晴】求空间距离注意三点：
1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．
【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.
（1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π
.
解析：法1
（1）∵AE ⊥面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E
（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，
故.2
1
21,232152211=??==-??=
??BC AE S S ACE C AD 而 11111131,1,.33223
D AEC AEC AD C V S DD S h h h -??∴=
?=?∴?=?∴= （3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥
CE ，
∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x
11,, 1.
4
,,,
Rt D DH DHD DH Rt ADE DE Rt DHE EH x π
?∠=
∴=?=∴?= 在中在中在中
.
4
,32.
32543.
54,3122π
的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=?+-=
+∴+-=?=?
1
法2：以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E(1，x ，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).
（1）.,0)1,,1(),1,0,1
(,111DA x E D DA =-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1
(1-=AD ， 设平面ACD 1的法向量为),,(c b a =，
则??
???=?=?,0,
01AD 也即???=+-=+-002c a b a ，得???==c a b a 2，
从而)2,1,2(=，所以点E 到平面AD 1C 的距离为.3
1
3212|
|1=-+=
=n h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x
由???=-+=-??????=?=?.0)2(0
2,
0,01x b a c b D 令b =1, ∴c=2, a =2－x ，
∴).2,1,2(x -=依题意.22
5
)2(222|
|||4
cos
211=+-?=
?=
x DD n π
∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为
4
π
. 【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，是一种新型题目，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，应引起重视，解决这类问题，常用分析法寻找思路。
【文】如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，12,1AB AA ==，直线
BD 与平 面11AA B B 所成的角为0
30，
AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；
（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离
解（Ⅰ）连结11B D ，过F 作11B D 的垂线，垂足为K ，
∵1BB 与两底面ABCD ，1111A B C D 都垂直，
∴1
1111111FB BB FK B D FB B B D BB B ⊥?
?⊥?⊥???=?1平面BDD 又
1
11AE BB AE BD AE B BB BD B ⊥?
?
⊥?⊥???=?1平面BDD
1
因此//FK AE ∴BFK <
为异面直线BF 与AE 所成的角
连结BK ，由FK ⊥面11BDD B 得FK BK ⊥，从而BKF ?为Rt ?
在 1Rt B KF ?和111Rt B D A ?中，
由11111A D FK B F B D =得1111111
2AD AB A D B F FK B D BD
===
又BF ， ∴cos 4
FK BFK BK <=
=
∴异面直线BF
与AE
所成的角为
4
（Ⅱ）由于AD ⊥面t AA B 由A 作BF 的垂线 AG
，垂足为G ，连结DG ，则BG DG ⊥
∴AGD <即为平面BDF 与平面
1AA B 所成二
面角的平面角。且90DAG <=
，在平面1AA B 中，延长BF 与1AA ；交于点S 。
∵F 为11A B 的中点1111
//
,,22
A F A
B A F AB = ∴1A 、
F 分别为SA
、SB 的中点，即12
2SA A A AB ===。 ∴ Rt BAS ?为等腰直角三角形，垂足G
点实为斜边SB 的中点F ，即
F 、
G 重合。
易得12AG AF SB ===Rt BAS ?中，AD =
。
∴tan AD AGD AG <===AGD <=， 即平面BDF 于平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面AFD 是平面BDF 与平面1AAB 所成二面角的平面角所在的平面 ∴面AFD BDF ⊥面在Rt ADF ?中，由Ａ作 AH ⊥DF 于H ，则AH 即为点A 到平面BDF 的距离. 由AH·DF=AD·AF ，得
AD AF AH DF
==
= 所以点A 到平面BDF 【点晴】本题综合考查了立体几何的知识，异面直线之间的夹角，面面夹角及点与面的距离，考查学生的空间想象能力。
B 1
A B C A 1
B 1
C 1 M
N A B D
C
★★★自我提升
1．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ?α，m ?β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么（ D ） (A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
2．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．
的 （C ） （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面 （B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 (C) 若AB=AC ，DB=DC ，则AD=BC (D) 若AB=AC ，DB=DC ，则AD ⊥BC
3．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平 面的距离是4cm ，则该球的体积是（ C ）
(A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33
π3416cm
4．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结 论中不成立．．．的是（C ） （A ）BC//平面PDF （B ）DF ⊥平面PA E
（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面 ABC
5．,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题： ①,//,//m n m n αβαβ⊥?⊥ ②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥? ③,//,//m n m n αβαβ⊥?⊥ ④,//,//m m n n ααββ⊥?⊥ 其中真命题的编号是 ①、④ ;（写出所有真命题的编号）
6．已知平面α与平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β， 垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合， 则点
P 到l 7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为a ，M 是BC 的中点，N 是CC 1
上一点，满足MN ⊥AB 1。
（1） 试确定点N 的位置；
（2） 求点C 1到平面AMN 的距离。
解 （1）∵M 是BC 中点，ABC —A 1B 1C 1为正三棱柱，
∴AM ⊥平面B 1BCC 1， ∴AM ⊥MN ， ∵MN ⊥AB 1， ∴MN ⊥平面B 1AM ， ∴MN ⊥B 1N ，
设NC =x ，在RtΔB 1BM 中，222
214541a a a M B =+=,
在RtΔNCM 中，22
24
1a x MN +=,
在RtΔB 1C 1N 中，2221)(x a a N B -+=, 在RtΔB 1MN 中，2
2121MN M B N B +=，
∴2
22224145)(x a a x a a ++=-+, ∴4a x =, ∴N 在CC 1的4
1处。
（2）点C 1到平面AMN 的距离，即为三棱锥C 1—AMN 的高，
D B
A 设为h ，则AMN AMN C MNC A S h V V ?--?==3
1
11
,
∵11
31
MNC MNC A S AM V ?-?=,∴AMN
MNC S S AM h ???=1, ∵AM=
a 23,MN=a 4
5
, ∴21615452321a a a S AMN =??=?, 22163412121212111
a a a a S S S MCN MCC MNC =??-?=-=???, ∴a h 10
5
3=.
8.如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F
为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离. 解：（I ）,,BF ACE BF AE ⊥∴⊥ 平面
D-AB-E 二面角为直二面角， ABCD ABE ∴⊥平面平面，
BC AB BC ABE BC ,AE ⊥∴⊥∴⊥又，平面， BF BCE BF BC=B BCE AE ?∴⊥ 又平面，，平面。
（II ）连结AC 、BD 交于G ，连结FG ，
∵ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ， ∵BF ⊥平面ACE ，
∴FG ⊥AC ，∠FGB 为二面角B-AC-E 的平面角，由(I)可知，AE ⊥平面
BCE ， ∴AE ⊥EB ，又AE=EB ，AB=2
，
在直角三角形
BCE 中，
BC BE
BF CE ?=
=
==
在正方形中，
BFG
中，sin
3
BF
FGB BG ∠===
∴二面角B-AC-E 为3
（III ）由（II ）可知，在正方形ABCD 中，BG=DG ， D 到平面ACB 的距离等于B 到平面ACE 的距离，BF ⊥平 面ACE ，线段BF 的长度就是点B 到平面
ACE 的距离，即 为D 到平面
ACE 的距离.故D =
另法：过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O. OE=1.
∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD.
设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --= .3
1
3
1EO S h S ACD ACB ?=
?∴?? ⊥AE 平面BCE ， .EC AE ⊥∴
D
A
D
A
.
332622
11
22212121=????=???=∴EC AE EO DC AD h ∴点D 到平面ACE 的距离为
.3
3
2 解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz ，如图.
⊥AE 面BCE ，BE ?面BCE ， BE AE ⊥∴， 在AB O AB AEB Rt 为中,2,=?的中点，
).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(.1C E A OE -∴=∴
).2,2,0(),0,1,1(== 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x =， 则?
??=+=+?????=?=?.022,
0,0,0x y y x n AC 即 解得???=-=,,x z x y
令,1=x 得)1,1,1(-=是平面AEC 的一个法向量. 又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=，
.33
31
|
|||),cos(==?=∴n m
∴二面角B —AC —E 的大小为.3
3
arccos
（III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=，
∴点D 到平面ACE 的距离
.33
23
2|
|,cos |||=
=
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知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)
空间点线面的位置关系 【考纲要求】 （1）理解空间直线、平面位置关系的定义； （2）了解可以作为推理依据的公理和定理； （3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、平面的基本性质 1、平面的基本性质的应用 （1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内； （2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论： （1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 空间点线面位置关系 三个公理、三个推论 平面 平行直 异面直相交直公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直 概念 垂斜 空间直线 与平面 空间两个平面 两个平面平行 两个平面相交 三垂线定理 直线与平面所成的角
（1）点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。 （2）线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。 要点诠释：证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。 考点二、直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类 ???? ??? ?相交直线共面直线平行直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’ ∥a,b ’ ∥b,把a ’ 与b ’ 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）. ②范围：02 π?? ??? ， 要点诠释：证明两直线为异面直线的方法： 1、定义法（不易操作） 2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 3、客观题中，也可用下述结论： 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？
人际交往的四种距离
一位心理学家做过这样一个实验。在一个刚刚开门的大阅览室里，当里面只有一位读者时，心理学家就进去拿椅子坐在他或她的旁边。试验进行了整整80个人次。结果证明，在一个只有两位读者的空旷的阅览室里，没有一个被试者能够忍受一个陌生人紧挨自己坐下。在心理学家坐在他们身边后，被试验者不知道这是在做实验，更多的人很快就默默地远离到别处坐下，有人则干脆明确表示：“你想干什么？” 这个实验说明了人与人之间需要保持一定的空间距离。任何一个人，都需要在自己的周围有一个自己把握的自我空间，它就像一个无形的“气泡”一样为自己“割据”了一定的“领域”。而当这个自我空间被人触犯就会感到不舒服，不安全，甚至恼怒起来。 就一般而言，交往双方的人际关系以及所处情境决定着相互间自我空间的范围。美国人类学家爱德华．霍尔博士划分了四种区域或距离，各种距离都与对方的关系相称。 １、亲密距离。这是人际交往中的最小间隔或几无间隔，即我们常说的“亲密无间”，其近范围在6英寸（约15厘米）之内，彼此间可能肌肤相触，耳鬓厮磨，以至相互能感受到对方的体温、气味和气息。其远范围是6英寸到18英寸（15厘米～44厘米）之间，身体上的接触可能表现为挽臂执手，或促膝谈心，仍体现出亲密友好的人际关系。 就交往情境而言，亲密距离属于私下情境，只限于在情感上联系高度密切的人之间使用，在社交场合，大庭广众之前，两个人（尤其是异性）如此贴近，就不太雅观。在同性别的人之间，往往只限于贴心朋友，彼此十分熟识而随和，可以不拘小节，无话不谈。在异性之间，只限于夫妻和恋人之间。因此，在人际交往中，一个不属于这个亲密距离圈子内的人随意闯入这一空间，不管他的用心如何，都是不礼貌的，会引起对方的反感，也会自讨没趣。 2、个人距离。这是人际间隔上稍有分寸感的距离，已较少直接的身体接触。个人距离的近范围为1.5～2.5英尺（46～76厘米）之间，正好能相互亲切握手，友好交谈。这是与熟人交往的空间。陌生人进入这个距离会构成对别人的侵犯。个人距离的远范围是2.5～4英尺(76～122厘米)。任何朋友和熟人都可以自由地进入这个空间，不过，在通常情况下，较为融洽的熟人之间交往时保持的距离更靠近远范围的近距离(2.5英尺)一端，而陌生人之间谈话则更靠近远范围的远距离(4 英尺)端。 人际交往中，亲密距离与个人距离通常都是在非正式社交情境中使用，在正式社交场合则使用社交距离。 ３、社交距离。这已超出了亲密或熟人的人际关系，而是体现出一种社交性或礼节上的较正式关系。其近范围为4～7英尺(1.2～2.1米)，一般在工作环境和社交聚会上，人们都保
空间中点线面位置关系(经典)
第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示
记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行
人际交往的距离1
人际交往的距离 人类学教授霍尔博士将交往中的距离领域划分为四种类型：亲密距离、私人距离、社交距离和公共距离，每种距离都与对方的关系相称。（1）亲密距离：6英寸～18英寸之间（15厘米～44厘米）15厘米以内，是最亲密区间，彼此能感受到对方的体温、气息。15厘米～44厘米之间，身体上的接触可能表现为挽臂执手，或促膝谈心。44厘米以内，在异性，只限于恋人、夫妻等之间，在同性别的人之间，往往只限于贴心朋友。“亲密距离”是指两人的身体能很容易接触到的一种距离，甚至是“亲密无间”。这一距离多用于情人或夫妻间的谈情说爱，也用于父母与子女之间或者是非常要好的朋友之间。这种距离能使一方感受到另一方身体的气息，并能很容易产生皮肤接触而给人以某种快适感。两位成年男性交往时，由于特定的心理因素作用，一般不采用这种距离。而女性知己往往喜欢这样近距离地相处。这个距离是每个人都很敏感的领域，因而交往时要特别小心这种距离。倘若你忽视了这一距离的灵敏性，无意间与一个交往不深或不熟识的异性形成了“亲密距离”，往往会被误解，弄出一些意想不到的不愉快来。人们熟悉的“办公室性骚扰”就发生在这一人际空间。（2）私人距离：1．5英尺～4英尺之间（46厘米～122厘米）这是人际间隔上稍有分寸感的距离，已较少直接的身体接触。“私人距离”是指比“亲密距离”稍远一点的距离，一般表现为伸手可以握到对方的手，但不容易接触到对方的身体。通常朋友间的交谈多采用这个距离。在社交场合，某些人为了向对方表示特殊的亲近感也会有意采用这样的距离。（3）社交距离：4英尺～12英尺（1．2米～3．7米）这已超出了亲密或熟人的人际关系，而是体现出一种公事上或礼节上的较正式关系。“社交距离”的范围规定比较灵活，近可相距两三步，相当于两张办公桌的距离；远可相距五六步或更远些。通常用于与个人关系不大的人员交往。例如在小型招待会上，隔几步远与没有过多交往的认识者打招呼或简单寒暄几句便离开。这一距离对双方没有过多的约束力，表示不想多作交谈。（4）公众距离：12英尺～25英尺（3．7米～7．6米）“公共距离”一般指公共场合中演讲者与台下听众，教室里老师对学生，舞台上演员与观众的距离。这是约束感最弱的距离。值得注意的是，这四类距离在交往中往往会发生动态变化，即交往双方间距离会发生缩短或拉开，这种变化本身也是一种“语言”，而且是社交中最应注意的“语言”。我们应该学会从这种距离变化中窥见对方的心理变化，判断对方的真实意向，以便及时做出相应的反应：是进一步深谈，还是适时告辞。总之，我们在人际交往时应注意对方对于距离变化的敏感度，以便取得良好的交往效果。
高中数学空间点线面之间的位置关系讲义
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 二、三个公理： 三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α
四、等角定理： 五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直： 六、典型例题
1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ） （1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ） （A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条 7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。 8．在空间中， ① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。 以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上） 9．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1A C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.
人际交往的空间距离
人际交往的空间距离 笑天 人与人之间需要保持一定的空间距离。任何一个人，都需要在自己的周围有一个自己把握的自我空间，它就像一个无形的“气泡”一样为自己“割据”了一定的“领域”。而当这个自我空间被人触犯就会感到不舒服，不安全，甚至恼怒起来。 一位心理学家做过这样一个实验。在一个刚刚开门的大阅览室里，当里面只有一位读者时，心理学家就进去拿椅子坐在他或她的旁边。试验进行了整整80个人次。结果证明，在一个只有两位读者的空旷的阅览室里，没有一个被试者能够忍受一个陌生人紧挨自己坐下。 就一般而言，交往双方的人际关系以及所处情境决定着相互间自我空间的范围。美国人类学家爱德华·霍尔博士划分了四种区域或距离，各种距离都与对方的关系相称。 亲密距离 这是人际交往中的最小间隔或几无间隔，即我们常说的”亲密无间”，其近范围在6英寸（约15厘米）之内，彼此间可能肌肤相触，耳鬓厮磨，以至相互能感受到对方的体温、气味和气息。其远范围是6英寸到18英寸（15厘米～
44厘米）之间，身体上的接触可能表现为挽臂执手，或促膝谈心，仍体现出亲密友好的人际关系。 就交往情境而言，亲密距离属于私下情境，只限于在情感上联系高度密切的人之间使用，在社交场合，大庭广众之前，两个人（尤其是异性）如此贴近，就不太雅观。在同性别的人之间，往往只限于贴心朋友，彼此十分熟识而随和，可以不拘小节，无话不谈。在异性之间，只限于夫妻和恋人之间。因此，在人际交往中，一个不属于这个亲密距离圈子内的人随意闯入这一空间，不管他的用心如何，都是不礼貌的，会引起对方的反感，也会自讨没趣。 个人距离 这是人际间隔上稍有分寸感的距离，已较少直接的身体接触。个人距离的近范围为1.5～2.5英尺（46～76厘米）之间，正好能相互亲切握手，友好交谈。这是与熟人交往的空间。陌生人进入这个距离会构成对别人的侵犯。个人距离的远范围是2.5～4英尺（76～122厘米）。任何朋友和熟人都可以自由地进入这个空间，不过，在通常情况下，较为融洽的熟人之间交往时保持的距离更靠近远范围的近距离（2.5英尺）一端，而陌生人之间谈话则更靠近远范围的远距离（4英尺）端。 人际交往中，亲密距离与个人距离通常都是在非正式社交情境中使用，在正式社交场合则使用社交距离。
【练习】高中数学空间中点线面的位置关系练习题
空间中点线面的位置关系练习题 1、下列有关平面的说法正确的是（ ） A 一个平面长是10cm ，宽是5cm B 一个平面厚为1厘米 C 平面是无限延展的 D 一个平面一定是平行四边形 2、已知点A 和直线a 及平面α，则： ①αα???∈A a a A , ② αα∈??∈A a a A , ③αα????A a a A , ④αα???∈A a a A , 其中说法正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 3、下列图形不一定是平面图形的是（ ） A 三角形 B 四边形 C 圆 D 梯形 4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（ ） A.4、6、7 B.3、4、6、7 C.4、6、7、8 D.4、6、8 5、共点的三条直线可确定几个平面 （ ） A.1 B.2 C.3 D.1或3 6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、 AD 、1B 1C 1的中点，则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 （ ） A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 7、三个平面两两相交，交线的条数可能有———————————————— 8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。 9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ? ? ?
的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有——————————— 10、空间两条互相平行的直线指的是（ ） A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） A 异面直线 B 相交直线 C 不平行直线 D 不相交直线 12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与直线BD 异面且成600角的面对角线有（ ）条。 A 4 B 3 C 2 D 1 13、设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，下列说法中不正确的是（ ） A.若AC 和BD 共面，则AD 与BC 共面 B.若AC 和BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C.若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D.若AB ＝BC ＝CD ＝DA ，则四边形ABCD 不一定是菱形 14、空间四边形SABC 中，各边及对角线长都相等，若E 、 F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角 为（ ） A 300 B 450 C 600 D 900 15、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线,与另一条直线的位置关系是———————————————————— 16、设c b a 、、表示直线，给出四个论断：①b a ⊥②c c ⊥③c a ⊥④c a //，以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题—————————————————— S C A B E F
空间点线面之间位置关系知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系''' x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积③圆锥的表面积2 S rl r ππ =+ ④圆台的表面积22 S rl r Rl R ππππ =+++⑤球的表面积2 4 S R π = ⑥扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形 （其中l表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =? 底 ②锥体的体积1 3 V S h =? 底 ③台体的体积1) 3 V S S S S h =+? 下下 上上 （④球体的体积3 4 3 V R π = 2 π 2 π 2r rl S+ =
点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
空间点线面的位置关系及公理
1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ????? 共面直线??? 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：(] 0，π2. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理 空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【知识拓展】 1．唯一性定理
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.() (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．() (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.() (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．() (5)没有公共点的两条直线是异面直线．() 1．下列命题正确的个数为() ①梯形可以确定一个平面； ②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 B．1 C．2 D．3 2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 3．(2016·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α 4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．
交际礼仪人际交往的空间距离效应
三一文库（https://www.360docs.net/doc/d56054934.html,）/礼仪范文/交际礼仪 人际交往的空间距离效应 一位心理学家做过这样一个实验。在一个刚刚开门的大阅览室里，当里面只有一位读者时，心理学家就进去拿椅子坐在他或她的旁边。试验进行了整整80个人次。结果证明，在一个只有两位读者的空旷的阅览室里，没有一个被试者能够忍受一个陌生人紧挨自己坐下。在心理学家坐在他们身边后，被试验者不知道这是在做实验，更多的人很快就默默地远离到别处坐下，有人则干脆明确表示：“你想干什么？”这个实验说明了人与人之间需要保持一定的空间距离。任何一个人，都需要在自己的周围有一个自己把握的自我空间，它就像一个无形的“气泡”一样为自己“割据”了一定的“领域”。而当这个自我空间被人触犯就会感到不舒服，不安全，甚至恼怒起来。就一般而言，交往双方的人际关系以及所处情境决定着相互间自我空间的范围。美国人类学家爱德华·霍尔博士划分了四种区域或距离，各种距离都与对方的关系相称。１、亲密距离。这是人际交往中的最小间隔或几无间隔，即我们常说的“亲密无间”，其近范围在6英寸（约15厘米）之内，彼此间可能肌肤相触，耳鬓厮磨，以至相互能感受到对方的体温、气味和气息。其远范围是6英寸到18英寸（15厘米～44
厘米）之间，身体上的接触可能表现为挽臂执手，或促膝谈心，仍体现出亲密友好的人际关系。就交往情境而言，亲密距离属于私下情境，只限于在情感上联系高度密切的人之间使用，在社交场合，大庭广众之前，两个人（尤其是异性）如此贴近，就不太雅观。在同性别的人之间，往往只限于贴心朋友，彼此十分熟识而随和，可以不拘小节，无话不谈。在异性之间，只限于夫妻和恋人之间。因此，在人际交往中，一个不属于这个亲密距离圈子内的人随意闯入这一空间，不管他的用心如何，都是不礼貌的，会引起对方的反感，也会自讨没趣。２、个人距离。这是人际间隔上稍有分寸感的距离，已较少直接的身体接触。个人距离的近范围为1.5～2.5英尺（46～76厘米）之间，正好能相互亲切握手，友好交谈。这是与熟人交往的空间。陌生人进入这个距离会构成对别人的侵犯。个人距离的远范围是2.5～4英尺(76～122厘米)。任何朋友和熟人都可以自由地进入这个空间，不过，在通常情况下，较为融洽的熟人之间交往时保持的距离更靠近远范围的近距离(2.5英尺)一端，而陌生人之间谈话则更靠近远范围的远距离(4英尺)端。人际交往中，亲密距离与个人距离通常都是在非正式社交情境中使用，在正式社交场合则使用社交距离。３、社交距离。这已超出了亲密或熟人的人际关系，而是体现出一种社交性或礼节上的较正式关系。其近范围为4～7英尺(1.2～2.1米)，一般在工作环境和社交聚会上，人们都保持这种程度的距离。一次，一个外交会谈座位的安排出现了疏忽，在两个并列的
人际交往中的四种空间距离
人际交往中的四种空间距离 篇一：人际交往中的各种空间距离 人际交往中的各种空间距离 人与人之间有着看不见但实际存在的界限，这就是个人领域的意识。因此根据空间距离不同，也可以推断出人们之间的交往关系。一般说来，交际中的空间距离可以分为以下四种：１．亲密距离 亲密距离在４５厘米以内，属于私下情境。多用于情侣，也可以用于父母与子女之间或知心朋友间。两位成年男子一般不采用此距离，但两位女性知己间往往喜欢以这种距离交往。亲密距离属于很敏感的领域，交往时要特别注意不能轻易采用这种距离。 ２．私人距离 私人距离一般在４５～１２０厘米之间，表现为伸手可以握到对方的手，但不易接触到对方身体，这一距离对讨论个人问题是很合适的，一般的朋友交谈多采用这一距离。 ３．社交距离 社交距离大约在１２０～３６０厘米之间，属于礼节上较为正式的交往关系。一般工作场合人们多采用这种距离交谈，在小型招待会上，与没有过多交往的人打招呼可采用此距离。 ４．公共距离
公共距离指大于３６０厘米的空间距离，一般适用于演讲者与听众、彼此极为生硬的交谈及非正式的场合。在商务活动中，根据其活动的对象和目的，选择和保持合适的距离是极为重要的。 篇二：人际交往的四种距离 一位心理学家做过这样一个实验。在一个刚刚开门的大阅览室里，当里面只有一位读者时，心理学家就进去拿椅子坐在他或她的旁边。试验进行了整整 80个人次。结果证明，在一个只有两位读者的空旷的阅览室里，没有一个被试者能够忍受一个陌生人紧挨自己坐下。在心理学家坐在他们身边后，被试验者不知道这是在做实验，更多的人很快就默默地远离到别处坐下，有人则干脆明确表示：“你想干什么？” 这个实验说明了人与人之间需要保持一定的空间距离。任何一个人，都需要在自己的周围有一个自己把握的自我空间，它就像一个无形的“气泡”一样为自己“割据”了一定的“领域”。而当这个自我空间被人触犯就会感到不舒服，不安全，甚至恼怒起来。 就一般而言，交往双方的人际关系以及所处情境决定着相互间自我空间的范围。美国人类学家爱德华．霍尔博士划分了四种区域或距离，各种距离都与对方的关系相称。 １、亲密距离。这是人际交往中的最小间隔或几无间隔，即我们常说的“亲密无间”，其近范围在6英寸（约15厘米）之
个人空间与人际距离
个人空间与人际距离 一、个人空间的概念 定义：个人空间指在个人环境内有个人自由，即环境隐私性，它表示个体需要控制自身与他人交换信息的质与量。 举例：我们有些话是可以对一般同学说的，有些话是可以对父母说的，还有一些话是指对挚友说的。除此之外，人们都希望在自己心灵深处有一块留给自己的地方，在此，人们可以自我发泄，自我思考，自我评价。这样一种私间、KTV包房等，目的就是为了使互不相识的顾客相互隔离；写字楼里各自为政的隔离小间，一家人在一套房子里有各自的房间，目的就是为了避免互相干扰，个人可以轻松自在地做一些自己想做的事情。 二、个人空间的功能 心理学家认为个人空间可以提供自我两大重要功能： （一）增进自我肯定 自我肯定有赖于个人有能力掌握与他人接触的层次，需要在人我之间设定界限。个人空间能赋予我们自我才能感、个人自由感与环境互动的自我权。、 （二）提供独处机会 个人空间使我们有独处机会，借此我们可以整理信息、调适情绪，因此在现实生活中，个人所扮演的社会角色是在社会压迫下的从众行为，具有面具效应。换言之，社会鼓励个人依照社会赞许方式行事，却可能与个人自己的想法与感情相违。例如，男人在家人面
前必须显得坚强能干，以示一家之主；一位领导干部会认为必须维护其家庭生活和谐的形象，才能稳住官位。但过分从众于社会角色的扮演，又可能面临自我失落的危机，个人会感到丧失了自己的感情与经验，只是不断迁就他人。所以个人空间可使个人易于保持自我肯定感，可协助个人界定或重新界定自己，适度控制社会互动。 现代生活中信息的超载可能是使人们感到紧张不安的源泉，人们经常显得忙忙碌碌，而没有时间停下来思考自己。因此，独处的机会往往很难得而且为人们所珍惜，独自散步，静坐或者 三、人际距离 人们常常用控制个人空间的大小来控制和他人的互动。在日常生活中我们时时可以感受到这一点，当陌生人距离自己过近时，我们常常感到一种紧张、恐慌、或不适感。人类学家霍尔（E.Hall）指出：人们似乎需要在自己和他人之间维持某种距离和物理空间。一些学者将此称为“身体缓冲区”（bodoy buffer zone）。个体把这个空间看作是自我空间的一部分，在这个界限之外的物体则被认为是环境的一部分。 人们根据所接触的对象来选择人际距离或身体缓冲区。霍尔认为，至少存在四种人际距离类型。 人们的互动发生的四个距离 亲密距离－15-46厘米个人距离－46-76厘米社交距离－122-365厘米公共距离－ 365厘米以上
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为 简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
人际交往的空间距离效应_1
人际交往的空间距离效应 一位心理学家做过这样一个实验。在一个刚刚开门的大阅览室里，当里面只有一位读者时，心理学家就进去拿椅子坐在他或她的旁边。试验进行了整整80个人次。结果证明，在一个只有两位读者的空旷的阅览室里，没有一个被试者能够忍受一个陌生人紧挨自己坐下。在心理学家坐在他们身边后，被试验者不知道这是在做实验，更多的人很快就默默地远离到别处坐下，有人则干脆明确表示：“你想干什么？”这个实验说明了人与人之间需要保持一定的空间距离。任何一个人，都需要在自己的周围有一个自己把握的自我空间，它就像一个无形的“气泡”一样为自己“割据”了一定的“领域”。而当这个自我空间被人触犯就会感到不舒服，不安全，甚至恼怒起来。就一般而言，交往双方的人际关系以及所处情境决定着相互间自我空间的范围。美国人类学家爱德华·霍尔博士划分了四种区域或距离，各种距离都与对方的关系相称。１、亲密距离。这是人际交往中的最小间隔或几无间隔，即我们常说的“亲密无间”，其近范围在6英寸（约15厘米）之内，彼此间可能肌肤相触，耳鬓厮磨，以至相互能感受到对方的体温、气味和气息。其远范围是6英寸到18英寸（15厘米～44厘米）之间，身体上的接触可能表现为挽臂执手，或促膝谈心，仍体现出亲密友好的人际关系。就交往情境而言，亲密距离属于私下情境，只限于在情
感上联系高度密切的人之间使用，在社交场合，大庭广众之前，两个人（尤其是异性）如此贴近，就不太雅观。在同性别的人之间，往往只限于贴心朋友，彼此十分熟识而随和，可以不拘小节，无话不谈。在异性之间，只限于夫妻和恋人之间。因此，在人际交往中，一个不属于这个亲密距离圈子内的人随意闯入这一空间，不管他的用心如何，都是不礼貌的，会引起对方的反感，也会自讨没趣。２、个人距离。这是人际间隔上稍有分寸感的距离，已较少直接的身体接触。个人距离的近范围为～英尺（46～76厘米）之间，正好能相互亲切握手，友好交谈。这是与熟人交往的空间。陌生人进入这个距离会构成对别人的侵犯。个人距离的远范围是～4英尺(76～122厘米)。任何朋友和熟人都可以自由地进入这个空间，不过，在通常情况下，较为融洽的熟人之间交往时保持的距离更靠近远范围的近距离(英尺)一端，而陌生人之间谈话则更靠近远范围的远距离(4英尺)端。人际交往中，亲密距离与个人距离通常都是在非正式社交情境中使用，在正式社交场合则使用社交距离。３、社交距离。这已超出了亲密或熟人的人际关系，而是体现出一种社交性或礼节上的较正式关系。其近范围为4～7英尺(～米)，一般在工作环境和社交聚会上，人们都保持这种程度的距离。一次，一个外交会谈座位的安排出现了疏忽，在两个并列的单人沙发中间没有放增加距离的茶几。结果，客人自始至终都尽量靠到
空间中直线间的位置关系
翔宇教育集团课时设计纸 总课题：7.1直线的倾斜角和斜率 总课时2 第2课时 主备人：杨玉叶 课题： 直线的倾斜角和斜率（二） 课型：新授课 教学目的：（1）掌握经过两点的直线的斜率公式。 （2）能结合三角函数和反三角函数知识进行斜率和倾斜角间的转化运算。 （3）准确运用倾斜角和斜率的对应关系解题。 教学重点： 过两点的直线的斜率公式。 教学难点：过两点的直线的斜率公式的建立。 教学过程： 一 复习引入 1.判断正误（1）直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α；（2）直线的斜率值为tan β，则该直线倾斜角为β；（3）因为所有直线都有倾斜角，故所有直线都有斜率；（4）因平行y 轴的直线斜率不存在，故平行y 轴的直线倾斜角不存在。 2.直线有倾斜角是直线斜率存在的 条件。 3．直线过A （1，1）B （－1，－1）求直线AB 的倾斜角和斜率。若B 点坐标改为（3，2）或（－3，－2），结果又如何？ 先求倾斜角再求斜率较繁，能否直接用点的坐标表示斜率？ 二 讲授新课 1．斜率公式 P 1（x 1，y 1） P 2(x 2,y 2) 当向量P 1 P 2方向向上时，斜率k= 当向量方向向下,斜率k= 当向量P 1 P 2垂直y 轴时，斜率k= 当向量P 1 P 2垂直x 轴时，斜率k= 综上有：当直线P 1 P 2斜率存在时，斜率k=2 121x x y y -- 指出：（1）斜率公式与两点的顺序无关； （2）若x 1≠x 2 ，y 1 ＝y 2直线平行x 轴或x 轴，k ＝0 （3）若x 1＝x 2 ，y 1≠ y 2直线垂直x 轴 k 不存在。 （4）在同一直线上的任两点所确定的斜率都相等 2.直线的方向向量 直线上的向量P 1 P 2及与它平行的向量都称为方向向量. 思考：（1）方向向量P 1 P 2的坐标为多少？ （2）当x 1≠x 2时向量2 11x x - P 1 P 2是直线P 1 P 2的方向向量吗？坐标为多少？由公式可知：如果知道直线上两点的坐标，即可求出直线的斜率。
人际交往的四种距离 常见的四种社交礼仪距离
人际交往的四种距离常见的四种社交礼仪距离 下文为大家整理了人际交往的四种距离,希望可以帮到您哦! 人际交往的四种距离常见的四种社交礼仪距离 1、亲密距离 0~0.5米为亲密距离。这是恋人之间、夫妻之间、父母子女之间以及至爱亲朋之间的交往距离。亲密距离又可分为近位和远位两种。 近位亲密距离在0~15米之间。这是一个“亲密无间”的距离空间,在这个空间内,人们可以尽情地表现爱抚、安慰、保护等多种亲密情感。在这个空间内,人们可以彼此肌肤相触,能直接感受到对方的体温和气息。恋人之间极希望处于这样的空间,在这样的空间里,双方都会感到幸福和快慰。远位亲密距离大约在15~50厘米之间。这是一个可以肩并肩、手挽手的空间,在这个空间里,人们可以谈论私事,说悄悄话。 在公众场合,只有至爱亲朋才能进入亲密距离这一空间。在大庭广众面前,除了客观上十分拥挤的场合以外,一般异性之间是绝不应进入这一空间的,否则就是对对方的不尊重。即使因拥挤而被迫进入这一空间,也应尽量避免身体的任何部位触及对方,更不能将目光死盯在对方的身上。 2、社交距离 0.5~1.5米为社交距离。在这一距离,双方都把手伸直,还可能相互触及。由于这一距离有较大开放性,亲密朋友、熟人可随意进入这一区域。 3、礼仪距离 1.5~3米为礼仪距离,人们在这一距离时可以打招呼,如“刘总,好久不见”。这是商业活动、国事活动等正式社交场合所采用的距离。采用这一距离主要在于体现交往的正式性和庄重性。在一些领导人、企业老板的办公室里,其办公桌的宽度在2米以上,设计这一宽度目的之一就在于领导者与下属谈话时可显示出距离与威严。 4、公共距离 3米之外为公共距离,处于这一距离的双方只需要点头致意即可,如果大声喊话,是有失礼仪的。 握手礼仪 握手礼是在一切交际场合最常使用、适应范围最广泛的见面致意礼节。它表示致意、亲近、友好、寒暄、道别、祝贺、感谢、慰问等多种含义,从握手中,往往可以了解一个人的情绪和意向,还可以推断一个人的性格和感情。有时握手比语言更充满情感。 (一)握手礼行使的场合 迎接客人到来时; 当你被介绍与人认识时; 久别重逢时; 社交场合突遇熟人时; 拜访告辞时; 送别客人时; 别人向自己祝贺、赠礼时; 拜托别人时; 别人帮助自己时,等等。 (二)握手礼行使的规则 行握手礼时有先后次序之分。握手的先后次序主要是为了尊重对方的需要。其次序主要根据握手人双方所处的社会地位、身份、性别和各种条件来确定。