第六届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学试题及解答

第六届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题及解答（B卷）

一、选择题（每题6分，共36分）

1、对正整数n,记n!=1X2X……Xn，则1!+2!+3!+4!+…….+2013!的末位数是（ B ）

A 5

B 3

C 1

D 0

解：5!及它后面的所有数的末位数都是0.

又1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33.

2、钟面上有十二个数1，2，3，…….，12.将其中某些数的前面添上一个负号，使

钟而上所有数之代数和等于零，则至少添n 个负号，这个数n是（A）

A 4

B 5

C 6

D 7

解：1+2+3+….+12=12×13÷2=78；

78÷2=39，要使钟而上所有数之代数和等于零，只需添负号数之和为39

12+11+10+6=39

3、右图为一个7英尺乘7英尺的地板，地板由1平方英尺的黑

白瓷砖铺成，注意角上为白色瓷砖，如果1个15英尺乘15英尺

的地板用同样方法铺成，需要（ C ）白色瓷砖。

A 49 B57 C 64 D 96

解：因角上为白色瓷砖，所以15英尺乘15英尺的地板每边有8个白色瓷砖。8×8=64.

4、正实数a,b,c,d互不相等且满足（a2013-c2013）（a2013-d2013）=2013, （b2013-c2013）（b2013-d2013）=2013，则（ab）2013-(cd)2013 的值为（A）

A -2013

B -2012

C 2012

D 2013

解：因为（a2013-c2013）（a2013-d2013）=2013, （b2013-c2013）（b2013-d2013）=2013，且正实数a,b,c,d互不相等

所以a2013、b2013可看做一元二次方程（x－c2013）（x－d2013）－2013﹦0 的两个不相等的实数根。

由根与系数关系：a2013 b2013=x1·x2= c2013·d2013－2013

所以：（ab）2013－(cd)2013 =－2013

5、某电视娱乐节目有一个环节为“表情连连看”，小明，小红，小花，小丽四人参加了这个活动，现已知：如果小明是笑脸，那么小红也是笑脸；如果小红是笑脸，那么小丽是哭脸；如果小丽是哭脸，那么小明是笑脸，小花是哭脸；如果小丽是笑脸，那么小明也是笑脸，则这四个人中，是笑脸的人数是（B）

A 1

B 2

C 3

D 4

1

2

B

C P

A

D

解：（1）如果小明是笑脸，那么小红也是笑脸；

（2）如果小红是笑脸，那么小丽是哭脸；

（3）如果小丽是哭脸，那么小明是笑脸，小花是哭脸； （4）如果小丽是笑脸，那么小明也是笑脸 由（3）（4）知：小明一定是笑脸。再由（1）小红也是笑脸，由（2）小丽是哭脸，由（3）小花也是哭脸。

6、In rectangle ABCD,AB=6 ,AD=30 , and G is the midpoint of AD .Segment AB is extended 2 units beyond B to E, and F is the intersection of ED and BC . What is the area of BFDG?( D ) A 66 B 66.5 C 67 D 67.5

解：译文：在矩形ABCD 中，AB = 6,AD= 30，G 是AD 的中点。把线段AB 延长2个单位到E ， F 是DE 和BC 的交点。四边形BFDG 的面积是什么?

利用 三角形BEF 与三角形CDF 相似，求得BF=7.5. 四边形BFDG 的面积=（15+7.5）×6÷2=67.5 二、 填空题（每题8分，共48分）

7、已知x 是实数，则|x-2|+|x+2|+|x+8|的最小值是___10_______

解：|x-a|的几何意义是：在数轴上表示x 的点到表示a 点之间的距离。

|x-2|、|x+2|、|x+8|分别是：表示x 的点到表示2、-2、-8的点之间的距离。显然当x=-2是三段长度之和最小，为10.

8、如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相 交于点P ，若PB ：PA=1:2，PC ：PD=1:3，则的值为__1:

6_____

解：设PB=a,PA=2a,PC=b,PD=2b.

由 P B ·PA=P C ·PD 得 a ·2a =b ·3b a:b=3:2又△PB C ∽△PDA ，所以BC ：AD=PB ：PD

O

=a:3b=1:

6

9、如右图，抛物线y=ax2+bx-3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA.直线y=－1

3

x+1 与

y轴交于点D,E是抛物线的顶点，则∠DB C－∠CBE=____45°____

解：∵抛物线y=ax2+bx-3与y轴交C点（0，-3），且OB=OC=3OA，

∴A（-1，0），B（3，0），代人y= ax2+bx-3，得

解得a=1，b=-2，

∴y=x2-2x-3；

由y=-x+1，得D（0，1），

由y=x2-2x -3，得顶点E（1，-4），

∴

∵BC2+CE2=BE2

∴△BCE为直角三角形，

∴tan∠CBE=CE/CB=，

3

又∵Rt△DOB中，tan∠DBO=OD/OB=，

∴∠DBO=∠CBE，

∴∠DB C－∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°。

10、双“十一”网购大战期间，甲、乙两人到某网站购买商品。已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有

8元和9元两种。若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为8元的商品有____8_____件。

解：设，甲、乙两人购买商品数均为n件；甲购买x件8元的商品，乙购买y件8元的商品

则：[8x+9(n-x)]+[8y+9(n-y)]=172

18n-(x+y)=172, n=9+(10+x+y)/18

因为x、y、n都是正整数，且n＞x,n＞y, 所以x+y=8,n=10.

11、游乐园中有一圆形摩天轮，已知圆心离地22公尺，直径40公尺，逆时针方向旋转一圈需要24分钟（假设摩天

轮等速旋转），乘坐时恰在离地面最近的位置上。已知小华坐上车厢，经过10分钟后，他离地面高度为__22+103______公尺。

解：

经过10分钟后，转过的角度为360÷24×10=150°，离地高度=22+20sin60°=22+103

4

5

B A C

12、设x 为整数，给出一个流程图，如右图所示，按此流程 图计算，刚好处理3次，用3与x+2的平均值代替y ，则输 入的x 值为____3_____

解：由[3+（x+2）]/2≤x 得x ≥5,

即第3次运算结束时输出的x ≥5,前推2次得 x=3

三、解答题（ 每题12分，共36分）

13、余弦定理是三角形的重要定理之一，其表述如下：三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去另两边及其夹角的余弦的积的两倍。以a 、b 、c 分别表示三角形的三边，Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个内角，则余弦定理可以表示为：a 2=b 2+c 2-2b c ·cosA.请根据以上信息解答下题：

如右图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径，一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 乘缆车到B,然后从B 沿直线步行到C 。现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min,在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C 。假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ,经测量，cosA=12/13,cosC=3/5 .

(1) 求索道AB 的长；

(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

6

解：（1）如图作BD ⊥CA 于点D ， 设BD ＝20k ，则DC ＝25k ，AD ＝48k ， AB ＝52k ，由AC ＝63k ＝1260m ， 知：AB ＝52k ＝1040m ． （2）设乙出发x 分钟后到达点M ，

此时甲到达N 点，如图所示． 则：AM ＝130x ，AN ＝50(x ＋2)，

由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN cos A ＝7400 x 2－14000 x ＋10000，

其中0≤x ≤8，当x ＝35

37 (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． （3）由（1）知：BC ＝500m ，甲到C 用时：126050 ＝126

5 (min)．

若甲等乙3分钟，则乙到C 用时：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC 上用时：86

5 (min) ． 此时乙的速度最小，且为：500÷865 ＝1250

43 m/min ．

若乙等甲3分钟，则乙到C 用时：1265 －3＝1115 (min)，在BC 上用时：56

5 (min) ． 此时乙的速度最大，且为：500÷565 ＝625

14 m/min ． 故乙步行的速度应控制在[125043 ，625

14 ]范围内．

C B

A

D

M

N

14、如右图，二次函数y=ax2+bx(a>0)的图像与反比例函数y=k/x的图像相交于点A、B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）。

（1）求实数k 的值；

（2）求二次函数y=ax2+bx(a>0)的解析式；

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为D，点E为线段OD上的动点（与O、D不能重合），过点E作EF//OB交BD于F，连接BE，设OE 的长为m，BEF的面积为S，求S与m的函数关系式；

（4）在（3）的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S最大值，并求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，

答：实数k的值是4．

7

②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q ，

设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，

则：S=S△ABQ﹣S△AOH﹣S△BNO﹣S矩形ONQH，

即：3=（1+c）（4+d ）﹣×1×4﹣cd﹣d×1，

cd=k=4，

解得：c=2，d=2，

∴B（﹣2，﹣2），

把A（1，4）和B（﹣2，﹣2）代入抛物线得：，

解得：，

∴y=x2+3x，

答：二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式是y=x2+3x．

⑨把y=0代入y=x2+3x得：x2+3x=0，

解得：x1=0，x2=﹣3，

∴D（﹣3，0），

即OD=3，

∵B（﹣2，﹣2），

∴由勾股定理得：OB=2，

∵EF∥OB，

8

∴△DFE∽△DBO，

∴=，

∴=，

∴EF=2﹣m，

过F作FC⊥x轴于C，

根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：=，

∴=，

FC=

S=S△EDB﹣S△EDF

=DE×BM ﹣FC×DE，

即S=﹣m2+m，

9

10

∴S 与m 的函数关系S=﹣m 2+m ．

④S=﹣m 2+m ．

当m=时，S 最大，是， ∴

，

答：在③的基础上，S 存在最大值，S 的最大值是，此时E 点的坐标是（﹣，0）．

15.数学上一般用f(x)来表示关于x 的函数，对于函数f(x),若存在x 0∈R ，使f(x 0)=x 0成立，则称x 0为f(x)的不动点，

已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+(b-1) (a ≠0) .

(1)当a=1,b=-2时，求函数f(x) 的不动点；

(2)若对任意实数b,f(x)恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； (3)在（2）的条件下，若 y=f(x)的图像上A 、B 两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A 、B 两点关于直线2

121

y kx a =++ 对称，求b 的

最小值。

解：函数f(x)=ax 2+(b+1)x+(b-1) (a ≠0) .

（1）当a=1,b=-2时，f(x)=x 2 －x －3. 设x 为其不动点，即x 2 －x －3=x,所以x=-1或3，即即()f x 的不动点是-1,3. （2）由()f x x =得ax 2+bx+(b-1)=0.由已知，此方程有相异二实根，所以△1=b 2

-4a(b-1)＞0，

即b 2

-4ab+4a ＞0对任意b R ∈恒成立． △2=16a 2

-16a ＜0，所以0＜a ＜1．

(3)因为 y=f(x)的图像上A 、B 两点的横坐标是函数f(x)的不动点，则可设为A （m,m ）、B(n,n)，所以ＡＢ所在直线为y=x. A 、B 两点关于直线2

121

y kx a =+

+ 对称,则该直线是线段AB 的垂直平分线，所以k=-1

11

由()f x x =得ax 2+bx+(b-1)=0,x 1+x 2= -b/a 记AB 的中点00(,)M x x ，知（x 1+x 2）/2=02b x a

=-

． M 在2

121y kx a =++上，21

2221

b b a a a ∴-=++

化简得：211

21

4

2a b

a a a

a

a

=-

=-

≥=

+

+

，当2a =时，等号成立．

即44b b ??≥-∴∈-+∞?????

济宁市任城区济东中学数学组

试题来源Tshaoy123.解答ykjdzxl