高中数学向量专题

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【本章学习目标】

1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.掌握向量的加法和减法.掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.

2.掌握平面两点间的距离公式,掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练运用,掌握平移公式.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.

3.了解平面向量的基本原理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.

向量是高中数学的新增内容,作为数形结合的有力工具,它的应用极其广泛,在复数、平几、解几、立几、物理等知识中均有涉及.

本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上,突出了向量的工具作用,利用向量的思想方法解决问题是本章特点的一个方面,向量本身具有数与形结合的双重身份,这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造了条件.通过本章学习,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.

【基础知识精讲】

1.向量的定义

既有方向,又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. 表示从点A到B的向量(即A为起点,B为终点的

向量),也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c,书写用a、b、c注意:长度、面积、体积、质量等为数量,位移、速度、力等为向量).

2.向量的模

所谓向量的大小,就是向量的长度(或称模),记作||或者||.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.

3.零向量与单位向量:长度为0的向量称为零向量,用表示. 向量的方向是不定的,或者说任何方向都是向量的方向,因此向量有两个特征:一长度为0;二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.

4.平行向量、共线向量

方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此,零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知:共线的两向量也可以称为平行向量.例如与也是一对平行向量.

由于任何一组平行向量都可移到同一直线上,故平行向量也叫做共线向量.例如,若四边形ABCD是平行四边形,则向量与是一组共线向量;向量与也是一组共线向量.

5.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,若向量与向量相等,记作=.零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

【重点难点解析】

通过本节学习,应该掌握:(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念;(2)掌握向量的几何表示,会用字母表示向量;(3)了解平行向量的概念及表示法,了解共线向量的概念.

例1判断下列各命题是否正确

(1)若|a |=|b |,则a =b

(2)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点,则AB =DC 是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件. (3)若a =b ,b =c ,则a =c (4)两向量a 、b 相等的充要条件是

(5)|a |=|b |是向量a =b 的必要不充分条件. (6) AB =CD 的充要条件是A 与C 重合,B 与D 重合.

解:(1)不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. (2)正确.∵AB =DC ,∴|AB |=|DC |且AB ∥DC . 又A 、B 、C 、D 是不共线的四点.

∴四边形ABCD 是平行四边形,反之,若四边形ABCD 是平行四边形则AB ∥DC ,且AB 与DC 方向相同,因此

AB =DC .

(3)正确.∵a =b

∴a ,b 的长度相等且方向相同; 又∵b =c

∴b ,c 的长度相等且方向相同.

∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c

(4)不正确.当a ∥b ,但方向相反,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,故

不是a =b 的充要条件. (5)正确.这是因为|

b || a |=a =b ,但a =b ?|a |=|b |,所以|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件.

(6)不正确.这是因为=时,应有:||=||及由A 到B 与由C 到D 的方向相同,但不一定要有A

与C

重合、B 与D 重合.

说明:①针对上述结论(1)、(4)、(5),我们应该清醒的认识到,两非零向a 、b 相等的充要条件应是a 、b 的方向相同且模相等.

②针对结论(3),我们应该理解向量相等是可传递的.

③结论(6)不正确,告诉我们平面向量a 与b 相等,并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.

例2 如图所示,△ABC 中,三边长|AB |、|BC |、|AC |均不相等,E 、F 、D 是AC ,AB ,BC 的中点.

(1)写出与共线的向量. (2)写出与的模大小相等的向量. (3)写出与相等的向量.

解:(1)∵E 、F 分别是AC ,AB 的中点 ∴EF ∥BC

从而,与EF 共线的向量,包括:

,,,,,,.

(2)∵E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点 ∴EF=

21BC,BD=DC=2

1

BC. 又∵AB 、BC 、AC 均不相等

从而,与EF 的模大小相等的向量是:FE 、BD 、DB 、DC 、CD (3)与EF 相等的向量,包括:DB 、.

例3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等.

(3)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量,则一定不平行. (5)非零向量的单位向量是±

a

解:(1)假命题,还可以方向相反;

(2)假命题,共线向量仅方向相同或相反;大小不一定相等; (3)真命题,因为向量与起点位置无关;

(4)假命题,因为若a ,b 方向相同,但只要|a |≠|b |,则a ≠

b . (5)真命题,任一非零向量:a 的单位向量为±

a

a .

例4 如图,已知:四边形ABCD 中,N 、M 分别是AD 、BC 的中点,又AB =DC .

求证:CN =MA , 证明:∵AB =DC

∴|AB |=|DC |,且AB ∥DC.从而,四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD ∥BC ,AD=BC

∵N 、M 分别是AD 、BC 的中点. ∴AN=

21AD,MC=2

1

BC. ∴AN=MC. 又AN ∥MC ,

∴四边形AMCN 是平行四边形.于是得:AM ∥NC ,|AM |=|NC |. 又由图可知:CN 与MA 的方向一致. ∴CN =MA

【难题巧解点拔】

例1 如图,已知四边形ABCD 是矩形,O 是两对角线AC 与BD 的交点,设点集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={PQ |任P ,Q ∈M ,且P 、Q 不重合},试求集合T 的子集个数.

分析:要确定向量为元素的集合T 有多少个子集,就需搞清楚集合T 中有多少个相异的向量.

解:以矩形ABCD 的四顶点及它的对角线交点O ,五点中的任一点为起点,其余四点中的一点为终点的向量共有20

个,但是这20个向量不是各不相等的,我们下面将这20个向量一一列举出来:AO =OC 、OA =CO ;DO =OB 、

BO =OD ;AC 、CA ;BD 、DB ;AD =BC 、DA =CB ;AB =DC 、BA =CD .它们中有12个向量是各不相等的.

故T 是一个12元集.所以T 有212

个子集.

说明:在上述解题过程中,我们一定要根据集合元素的互异性.算出T 中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.

例2 已知;如图,点D 在△ABC 的边BC 上,且与B 、C 不重合,E 、F 分别在AB 、AC 上,DF =EA .

(1)求证:△BDE ∽△DCF.

(2)求当D 在什么位置时,四边形AEDF 的面积可以取到最大值? 证明:(1)∵=

∴DF ∥AE ,|DF |=|EA |.

从而,得:四边形AEDF 是平行四边形 ∴DE ∥AF ,|DE |=|AF | 由DE ∥AF 可得:∠BDE=∠C 由DF ∥AE 可得:∠B=∠FDC ∴△BDE ∽△DCF

(2)设|BC |=a,|AC |=b,|AB |=c,|BD |=x,则|DC |=a-x. ∵△BDE ∽△DCF. ∴

CD

BD =

DF

BE =

FC

ED

从而,

x BE =

x

a DF -,设比为k 1.

x

ED =

x

a FC

-,设比为k 2.

由|BE |+|DF |=c,|ED |+|FC |=b. 可得:xk 1+(a-x)k 1=c,∴k 1=a

c . xk 2+(a-x)k 2=b,∴k 2=a

b . ∴|DF |=

a

c

(a-x)

|DE |=

a

b x 由点F 作FT ⊥AB ,垂足为T

由锐角三角函数,|FT |=|AF |sinA=a

b

x ·sinA ∴S □AEDF =|DF |·|FT |=

a c (a-x)·a

b

x ·sinA =

2a

bc (ax-x 2

)sinA =2a

bc [42a -(x-2a )2]sinA ≤4bc sinA

当且仅当x=

2

a

时,等号成立. 答:D 是BC 边的中点时,S □AEDF 取到最大值.

例3 如图A 1,A 2,…A 8是⊙O 上的八个等分点,则在以A 1,A 2…A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个?模等于半径2倍的向量有多少个?

分析:(1)由于A 1、A 2…A 8是⊙O 上的八个等分点,所以八边形A 1A 2…A 8是正八边形,正八边形的边及对角线长均与⊙O 的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是i OA 与O A i (i=1,2,…,8)两类.

(2)⊙O 内接正方形的边长是半径的2倍,所以我们应考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数. 解:(1)模等于半径的向量只有两类,一类是i OA (i=1,2,…,8)共8个;另一类是A i (i=1,2,…,8)也有8个,两类合计16个.

(2)以A 1,A 2,…,A 8为顶点的⊙O 的内接正方形有两个,一是正方形A 1A 3A 5A 7;另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍.所以模为半径2倍的向量共有4×2×2=16个.

说明:(1)在模等于半径的向量个数的计算中,要计算i OA 与A i (i=1,2,…,8)两类,一般我们易想到i OA (i=1,2,…,8)这8个,而易遗漏O A i (i=1,2,…,8)这8个.

(2)圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量.例如边A 1A 3对应向量31A A 与42A A .因此与(1)一样,在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.

【命题趋势分析】

本节着重考查对向量的概念的理解,高考中将会以选择题、填空题形式命题.

【典型热点考题】

例1给出下列3个命题:(1)单位向量都相等;(2)单位向量都共线;(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

分析:本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识,增加了考点,加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向,所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反,它们不一定相等,所以(3)也是假命题.

∴选A.

例2如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.

(1)与向量相等的向量有;(2)若||=3,则向量的模等于 .

分析:本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力,是容易题,由条件,可得=且=,所以=.于是E、D、C三点共线,故||=||+||=2||=6.

答:(1) ED,DC;(2)6

例3下列命题中,正确的是( )

A.||=||?=

B.||>||?>

C. a=b?|a|∥|b|

D.|a|=0?a=0

解:由向量的定义知:向量既有大小,也有方向,由向量具有方向性可排除A、B,零向量、数字0是两个不同的概念,零向量是不等于数字0的.

∴应排除D,∴应选C.

例4下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a与b是平行向量,则||=||;④若=,则-=正确命题个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

分析:①是忽略了0与0不同,由于|a|=0?a=0,但0不能写成0;

②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相同,并不意味它们的方向相同或相反;

③是对两个向量平行的意义理解不透,两个向量平行,只是这两个向量的方向相同或相反,而它们的模不一定相

等;

④正确,故选A.

强化练习:

【同步达纲练习】

一、选择题

1.下列命题中的假命题是( )

A.向量AB与BA的长度相等

B.两个相等向量若起点相同,则终点必相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

2.如图,在圆O中,向量OB,OC,AO是( )

A.有相同起点的向量

B.单位向量

C.相等的向量

D.模相等的向量

3.如图,△ABC中,DE∥BC,则其中共线向量有( )

A.一组

B.二组

C.三组

D.四组

4.若是任一非零向量,是单位向量,下列各式①||>||;②∥;③||>0;④||=±1;

a

,其中正确的有( )

A.①④⑤

B.③

C.①②③⑤

D.②③⑤

5.四边形ABCD中,若向量与是共线向量,则四边形ABCD( )

A.是平行四边形

B.是梯形

C.是平行四边形或梯形

D.不是平行四边形,也不是梯形

6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )

A.一条线段

B.一个圆面

C.圆上的一群弧立点

D.一个圆

7.若a,b是两个不平行的非零向量,并且a∥c, b∥c,则向量c等于( )

A. B. C. D. 不存在

8.命题p :a 与b 是方向相同的非零向量,命题q: a 与b 是两平行向量,则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

二、判断题

1.向量AB 与BA 是两平行向量.( )

2.若a 是单位向量,b 也是单位向量,则a =b .( )

3.长度为1且方向向东的向量是单位向量,长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.( )

4.与任一向量都平行的向量为0向量.( )

5.若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.( )

6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点也相同.( )

7.设O 是正三角形ABC 的中心,则向量AB 的长度是OA 长度的3倍.( )

8.已知四边形ABCD 是菱形,则|AC |=|BD |是菱形ABCD 为正方形的充要条件.( ) 9.在坐标平面上,以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆.( ) 10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )

三、填空题

1.已知a ,b ,c 为非零向量,且a 与b 不共线,若c ∥a ,则c 与b 必定 .

2.已知|OA |=4,|AB |=8,∠AOB=60°,则|AB |= .

3.如图,已知O 是正六边形的中心,则在图中所标出的各向量中,模等于该正六边形边长的向量共有 个.

4.如图所示,四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形,则 ①与向量AB 共线的向量有 ; ②若||=1.5,则||= .

5.已知四边形ABCD 中,=2

1

,且||=||,则四边形ABCD 的形状是 .

四、解答题

1.如图,在△ABC中,已知:向量AD=DB,DF=BE,求证:DE=AF.

2.在直角坐标系中,将所有与y轴共线的单位向量的起点移到x轴上,其终点的集合构成什么图形?

【素质优化训练】

1.已知a、b是任意两个向量,下列条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a 与b都是单位向量.其中,哪些是向量a与b共线的充分不必要条件 .

2.已知ABCD是等腰梯形,AB∥DC,下列各式:①AB=DC;②AD=BC;③|AC|=|BD|;④|AB|≠|DC|;⑤AB∥CD.

正确的式子的序号是 .

3.不相等的向量a和b,有可能是平行向量吗?若不可能,请说明理由;若有可能,请把各种可能的情形一一列出.

4.下列各组量是不是向量?如果是向量,说明这些向量之间有什么关系?

(1)两个三角形的面积S1,S2;

(2)桌面上两个物体各自受到的重力F1,F2;

(3)某人向河对岸游泳的速度v1与水流的速度v2;

(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.

【生活实际运用】

某人从A点出发向西走了10米,到达B点,然后改变方向按西偏北60°走了15米到达C点,最后又向东走了10米到达D点.

(1)作出向量AB、BC、CD (用1cm长的线段表示10m长);

(2)求|DA|.

解:(1)

(2)显然DA =CB ,故|DA |=|CB |=15cm

【知识验证实验】

已知某轮船从S 岛沿北偏西30°的方向航行了45海里,请你用有向线段表示此轮船的位移.

【知识探究学习】

一小球在30m 高处,以2m/s 的速度水平抛出,请你用有向线段画出小球经过2S 后的水平位移,竖直位移,并计

算出实际位移的大小.(g=10m/s 2

)

解:依题意:v 0=2m/s,t=2s 水平位移x=2×2=4m 竖直位移h=

2

1gt 2

=20m 实际位移大小是:|OC |2

2OB OA +22204+=426m

参考答案

【同步达纲练习】

一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A

二、1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.× 7.√ 8.√ 9.√ 10.×

三、1.不共线 2.43 3.12 4.①,,,,,, ②3 5.等腰梯形 四、1.提示:证F 平分AC ,E 平分BC.

2.平行于x 轴,且与x 轴的距离为1的两条直线 【素质优化训练】

1.①③④

2.②④⑤

3.有三种情况:(1)两个向量和中有一个是零向量,另一个是非零向量; (2)向量,为模不相等,方向相同的两个非零向量; (3)向量,为非零向量且方向相反

4.(1)不是向量 (2)是向量,它们是方向相同的向量 (3)是向量,不共线 (4)模相等方向相反的向量

2021年高中数学-平面向量专题

第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线

段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练(四) 一、选择题(本大题共12小题,每小题分6,共72分) 1.设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b , 则锐角α为( ) A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(x y x P =?满足,则点P 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.已知向量值是相互垂直,则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(( ) A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4.已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5.将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a (2,3 π )平移,再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍,则所得图像的解析式可以写成( ) A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x -3 π )-2 C.y=(321π+x )-2 D.y=sin(321π-x )+2 6.若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7.从点A(2,-1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(-1, 3),若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则?的值为 ( ) A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10.O 为空间中一定点,动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,

高中数学平面向量公式(精选课件)

高中数学平面向量公式1、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤

2、向量的数量积不满足消去律,即:由a?b=a? c (a≠0),推不出 b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b ∣=|a|?|b|?sin〈a,b>;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c。 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

高中数学平面向量doc

专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 (一)平面向量知识结构图 (二)重点难点分析

本专题内容包括:平面向量的概念、运算及应用. 课标要求: 平面向量(约12课时) (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。(2)向量的线性运算 ①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 (4)平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 (5)向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求,并结合前面的分析可知:新概念、新运算的定义,向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点,平面向量基本定理是坐标表示(几何代数化)的关键,也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 (一)在概念教学中,依据概念教学的方法,建构概念知识体系 本专题的教学中,向量、向量的运算等都是新定义的概念,如何让这些概念的出现自然轻松,还能让学生迅速把握住本质,达成理解?不妨遵循概念教学的方法。 比如说:“向量的概念”教学中,可从力、位移等实例引入,进行抽象概括,形成向量的概念。之后,提出“温度、功是不是向量?”这样的问题,通过比较,对向量的概念进行辨析,在此基础上,抓住向量的两个要点:大小、方向进行拓展,按如下表格整理,将向量概念精致化。 概念辨析:

人教版高中数学向量练习题

一、选择题; 1、若a r ,b r ,c r 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是( ) A 、a b b a +=+r r r r B 、() a b a b λλλ+=+r r r r C 、()() a b c a b c ++=++r r r r r r D 、b a λ=r r 2、已知向量a r =(1,1,0),则与a r 共线的单位向量( ) A 、(1,1,0) B 、(0,1,0) C 、( 22,2 2,0) D 、(1,1,1) 3、若,,a b c 为任意向量,∈R m ,下列等式不一定成立的是( ) A.()()a b c a b c ++=++ B.()a b c a c b c +=+··· C.()a b a b +=+m m m D.()()a b c a b c =···· 4、设(43)(32)a b ==,,,,,x z ,且∥a b ,则xz 等于( ) A.4- B.9 C.9- D. 649 5、若向量(12)λ=,,a 与(212)=-,,b 的夹角的余弦值为8 9 ,则λ=( ) A.2 B.2- C.2-或 2 55 D.2或255 - 6、已知ABCD 为平行四边形,且(413)(251)(375)A B C --,,,,,,,,, 则D 的坐标为( ) A.7412 ?? - ??? , , B.(241),, C.(2141)-,, D.(5133)-,, 7、在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为AC BD ,的交点,则1C O 与1A D 所成角的( ) A.60° B.90° C. D. 8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 是11A B 的中点,则E 到平面11ABC D 的距离是( ) C.12 9、ABCD 为正方形,P 为平面ABCD 外一点,2PD AD PD AD ⊥==,,二面角 P AD C --为60°,则P 到AB 的距离为( ) A. C.2

高中数学-空间向量及向量的应用

高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则: 规定:一切空间向量的起点都是坐标系原点,于是,空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 , , 空间向量的直角坐标运算: 空间两点间距离: ; 1:利用空间向量证明空间位置关系(同平面向量) 2:利用空间向量求线线角、线面角 1 )异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量,则 则: 空间线段 的中点 M (x ,y ,z )的坐标:

2 )线面角 设 是直线 l 的方向向量, n 是平面的法向量,则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为:设 分别为平面 的法向量,则 与 互补或相等, 操作方法: 1.空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法:②面上一点三垂线法:③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式: S S cos ( S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 )这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2.空间的距离 点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3.空间向量的应用 (1)用法向量求异面直线间的距离 2)直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3)二面角的范围一般是指 (0, ],解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1)异面直线所成的角的范围 是 b F

(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc

第一部分:平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量- b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律: a+ b= b+ a. (2)结合律: (a+ b)+ c= a+ (b+c). a- b= a+ (- b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|= |λ||a|. ;λ(μa)=λμa; 数乘 (2)当λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向;当λ (λ+μ)a=λa+μa; =0 时,λa= 0. λ(a+ b)=λa+λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得 b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说, 即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.

高中数学平面向量习题及答案

第二章 平面向量 一、选择题 1.在△ABC 中,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,则( ). A .AB 与AC 共线 B .DE 与CB 共线 C .与相等 D .与相等 2.下列命题正确的是( ). A .向量与是两平行向量 B .若a ,b 都是单位向量,则a =b C .若=,则A ,B ,C , D 四点构成平行四边形 D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α OA +β OB ,其中 α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ). A .3x +2y -11=0 B .(x -1)2+(y -1)2=5 C .2x -y =0 D .x +2y -5=0 4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ). A . 6 π B . 3 π C . 23 π D . 56 π 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则=( ). A .λ(+),λ∈(0,1) B .λ(+),λ∈(0,22 ) C .λ(-),λ∈(0,1) D .λ(-),λ∈(0, 2 2) 6.△ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则=( ). A .+ B .- C .+ D .+ 7.若平面向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( ). (第1题)

高中数学向量专项练习(含答案)

高中数学向量专项练习 一、选择题 1.已知向量(1,),(1,),a x b x ==-r r 若(2).a b b -⊥r r r 则a =r ( ) A .2 B .3 C .2 D .4 2.化简+ + + 的结果是( ) A . B . C . D . 3.已知向量(1,2),(4,)a b m ==-v v ,若2a b +v v 与a v 垂直,则m =( ) A .-3 B .3 C .-8 D .8 4.已知向量(1,1)a =-r ,(1,)b m =r ,若(2)4a b a -?=r r r ,则m =() A .1- B .0 C .1 D .2 5.设向量(12)a =-r , ,(1)b m =r ,,若向量a r 与b r 平行,则a b ?=r r A .27- B .21- C .23 D .2 5 6.在菱形ABCD 中,对角线4AC =,E 为CD 的中点,则AE AC ?=u u u r u u u r ( ) A .8 B .10 C .12 D .14 7.在△ABC 中,若点D 满足2BD DC =u u u v u u u v ,则AD =u u u v ( ) A .1233AC A B +u u u v u u u v B .5233AB A C -u u u v u u u v C .2133AC AB -u u u v u u u v D .2133 AC AB +u u u v u u u v 8.在ABC ?中,已知90BAC ∠=o ,6AB =,若D 点在斜边BC 上,2CD DB =,则AB AD ?u u u r u u u r 的值为 ( ). A .6 B .12 C .24 D .48 9.已知向量(1,1),(2,2),m n λλ→ → =+=+若()()m n m n → → → → +⊥-,则=λ( ) A .4- B .3- C .2- D .1- 10.已知向量(12)=,a ,(4)x =,b ,若向量//a b ,则实数的x 值为 A .2 B .2- C .8 D .8- 11.已知向量()()2,1,3,4==-a b ,则2+=a b A .()1,5- B .()1,5 C .()1,6- D .()1,6 12.已知向量()()2,1,3,4==-a b ,则+=a b A .()1,5- B .()1,5 C .()1,3-- D .()1,3

高中数学的空间向量知识

高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容,在处理空间问题中具有相当的优越性,比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决,如何取向量或建立空间坐标系,找到所论证的平行垂直等关系,所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识: 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y,使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量,由于图不方便做就如此代替,下同) 2、对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若:OP=xOA+yOB+zOC (其中x+y+z=1),则四点P、A、B、C共面. 3、利用向量证a‖b,就是分别在a,b上取向量(k∈R). 4、利用向量证在线a⊥b,就是分别在a,b上取向量. 5、利用向量求两直线a与b的夹角,就是分别在a,b上取,求:的问题. 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题:. 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离,关键是建立正确的空间直角坐标系,正确表达已知点的坐标. 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到,那么就设n=(x,y,z) 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线

高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

一、 知识清单 1. 极化恒等式:如图,+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则: ①2 +②2 得:AC AD BC AB +=+242 2 22 ;①2-②2 得:AC AD BC AB ?=-4422 推广:AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法:?==-+-a b a b a b 4()()22,=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法:如图,由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ,所以PD PB PA PC +=+2222, 速记方法:矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1:若ABCD 为平行四边形,则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0,且对于边AB 上任一点P ,恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析:D 为BC 中点,由极化恒等式有:?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时,PB ????? ?PC ????? 最小, 所以过D 作AB 垂线,垂足即为P 0,作AB 中点E ,则CE ⊥AB ,即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量,e 是单位向量. ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围? 解析:由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图,===OA a OB b OE e ,, ,构造矩形ACBE ,由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2,则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲:极化恒等式与矩形大法 解析:由极化恒等式有:AB 16推广2:若P 为平面外一点,上述性质仍成立。二、典型例题1.(2019浙江模拟卷)在?ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则A B A ? C =_________. 2.(2019山东模拟)在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点,满足P B AB

2020年高考数学平面向量专题复习(含答案)

2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点,过P作两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B 求的值() A. B. C. D. 2、向量,,若,且,则x+y的值为() A.-3 B.1 C.-3或1 D.3或1 3、已知向量满足,若,则向量在方向上的投影为A. B. C.2 D.4 4、.如图,为等腰直角三角形,,为斜边的高,为线段的中点,则 () A.B. C.D. 5、在平行四边形中,,若是的中点,则() A. B. C. D. 6、已知向量,且,则()

A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形,D为的中点,且,则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中,,则该四边形的面积为 A. B. C.5 D.10 9、下列命题中正确的个数是() ⑴若为单位向量,且,=1,则=;⑵若=0,则=0 ⑶若,则;⑷若,则必有;⑸若,则 A.0 B.1 C.2 D.3 10、如图,在扇形中,,为弧上且与不重合的一个动点,且,若存在最大值,则的取值范围为() 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足,且对任意都有,则的最小值为________. 13、已知,,则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知,是夹角为的两个单位向量,,,若,则实数的值为 __________.

15、已知向量与的夹角为120°,,,则________. 16、已知中,为边上靠近点的三等分点,连接为线段的中点,若 , 则__________. 17、已知向量为单位向量,向量,且,则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中,已知E,F分别是BC,CD上的点,且满足,。若 (λ,μ∈R),则λ+μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中,向量,,且. (1)求的值;(2)设,求的值. 20、已知向量=(sin,cos﹣2sin),=(1,2). (1)若∥,求的值; (2)若,0<<,求的值. 21、已知向量,.(1)若在集合中取值,求满足的概率;(2)若 在区间[1,6]内取值,求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中,已知向量, (1)求证:且; (2)设向量,,且,求实数t的值.

(完整版)高中数学空间向量训练题

高中数学空间向量训练题(含解析) 一.选择题 1.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线MN上,且MP=2PN,设向量=,=,=,则=() A.++B.++C.++D.++ 2.已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),若向量,,共面,则λ=() A.2 B.3 C.4 D.6 3.空间中,与向量同向共线的单位向量为() A.B.或 C. D.或 4.已知向量,且,则x的值为() A.12 B.10 C.﹣14 D.14 5.若A,B,C不共线,对于空间任意一点O都有=++,则P,A,B,C四点() A.不共面B.共面C.共线D.不共线 6.已知平面α的法向量是(2,3,﹣1),平面β的法向量是(4,λ,﹣2),若α∥β,则λ的值是()

A.B.﹣6 C.6 D. 7.已知,则的最小值是()A.B.C.D. 8.有四个命题:①若=x+y,则与、共面;②若与、共面,则=x+y;③若=x+y,则P,M,A,B共面;④若P,M,A,B共面,则=x+y.其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知向量=(2,﹣1,1),=(1,2,1),则以,为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C.4 D.8 10.如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为() A.B. C.D. 11.正方体ABCDA1B1C1D1中,直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为() A. B. C.D. 二.填空题(共5小题) 12.已知向量=(k,12,1),=(4,5,1),=(﹣k,10,1),且A、B、C三点共线,则k= . 13.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,MN是正方体内切球的直径,P为正方体表面上的动点,则?的最大值为. 14.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,﹣1,﹣4),=(4,

(完整版)高中数学平面向量专题训练

高中数学平面向量专题训练 一、选择题: 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ,则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ,那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量,平行的是 A 、(2,3)a =-r ,(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ,(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ,(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ,(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ,则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ,(5,5)b =-r ,则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ,j r 都是单位向量,则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图,在四边形ABCD 中,设AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r , BC c =u u u r r ,则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ,按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ,则向量a r 是 C B A D

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任 取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。②向量减法: 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解 析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

高中数学-空间向量及向量的应用

高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召),氓叫?乃w ), AB = OB-OA=(^y 2l 切—(吊丹 丑)=(乃—咛乃—丹 勺一匂) 空间向量的直角坐标运算: 设Q = 2],砌,色3 $ =1鹉毎妇则; ① 口+ b= P],曲,电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =(业一% 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2,? ' = I 現珂"久卷 '(/i e 7?); ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並: ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ; 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系(同平面向量) 2:利用空间向量求线线角、线面角 (1)异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量,则 则: 空间线段 的中点M (x ,y ,z )的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定:一切空间向量的起点都是坐标系原点,于是,空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应

(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量,n 是平面的法向量,则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为:设 加“分别为平面G 8的法向量,则 与,剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法: 1 ?空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法:②面上一点三垂线法:③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式: S S cos (S 为原斜面面积,S 为射影面积,为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式,求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-:欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 [0,—]。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,],解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F

高中数学平面向量知识点总结及常见题型(供参考)

平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB 几何表示法 AB ,a ;坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ? |a |=0 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?|0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a =大 小相等,方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==,则a +b =AB BC +=AC (1)a a a =+=+00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A . 例2.(2006年安徽卷)在ABCD Y 中,,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ,M 为BC 的中点,则MN =u u u u r ______.(用a b r r 、表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得,12 AM a b =+u u u u r r r , 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量 =CD ( ) (A )BA BC 2 1+- (B ) BA BC 2 1-- (C ) BA BC 2 1- (D )BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:BA BC BD CB CD 2 1+-=+=,故选A. 例4. ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 (C )?? ?- ??31,3 22 (D )?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解:设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

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