(完整版)含参单调性及极值的讨论

含参函数的单调性、极值

主备人：李秀环

【学习目标】对简单含参函数，能够合理分类，对函数的单调性、极值进行讨论。

【重点、难点】如何合理合理的进行分类讨论，明确分类讨论的标准。

【自主学习】回顾导数与函数的单调性的关系

(1)如果在区间(a ，b )内，________，则f (x )在此区间内是增函数；

(2)如果在区间(a ，b )内，________，则f (x )在此区间内是减函数．

自主探究下列问题：（时间15分钟）

1.已知a ∈R ，函数f (x )＝ax －ln x ，(其中e 是自然对数的底数)，求f (x )的单调区间和极值。

2. 已知函数f (x )＝e x －ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，讨论函数f (x )的单调性。

3. 已知函数2()ln f x ax x =-（a 为常数）．求()f x 的单调递减区间。

【合作交流】8分钟

4. 设函数讨论函数的单调性和极值。

5. 已知函数)(111)(R a x

a ax nx x f ∈--+

-=.当21≤a 时，讨论)(x f 的单调性。

()()211ln .2

f x x a x a x =

---()f x

6.设函数2()=(+1)+(-)f x In x x x α，其中R α∈。

若， 讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

7..已知函数.2

)1(2)(-+-=

x a e x x f x ）（，讨论)(x f 的单调性；

【小组展示】8分钟

【教师点拨】6分钟

含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能：

(1)方程f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根,求出根后是否在定义域内；

(3)若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法．

【达标测试】3分钟

规范书写7题

0a >

含参函数的单调性、极值达标测试

（30分钟60分）

1.已知函数f (x )＝ln x ＋a x

(a >0)，求f (x )的单调区间。

2. 讨论函数f(x)＝e x ＋ax －a(a ∈R 且a ≠0)的单调性．

3. 已知函数（为常数），若,讨论的单调性；

4. 设函数()2

ln 2

x f x k x =-，0k >．求()f x 的单调区间和极值；

()()2

2ln 41f x a x x a x =+-++0a >()f x

5. 已知函数，设，求的单调区间。

6. 已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ，讨论()f x 的单调性；

2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈0a ≥)(x f

②当a ＜0时，令f ′(x)＝e x ＋a ＝0，解得x ＝ln(－a)．

在区间(－∞，ln(－a))上，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；在区间(ln(－a)，＋∞)上，f ′(x)＞0，f(x)单调递增

【解析】（I ）,当时, 恒成立,所以在上单调递增,当时,解得解得

所以在上单调递减,在上单调递增,综上,当时, 在上单调递增.当

时, 在上单调递减,在上单调递增.

②当时, , , 在上单调递增； ③当时, ,当时, ；当或时, ,此时的单调递增区间为, ,单调递减区间为

()()()()()2111(0)x a x a x x a a f x x a x x x x

---+-=---==>'0a ≤()0f x '>()f x ()0,+∞0a >()0f x '>,x a >()0f x '<0.x a <<()f x ()0,a (),a +∞0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x ()0,a (),a

+∞4a =22a =()()222'0x f x x

-=≥()f x ()0,+∞04a <<22a <22a x <<()'0f x <02

a x <<2x >()'0f x >()f x 0,2a ?? ???()2,+∞,22a ?? ???

综上所述,当时, 的单调递增区间为, ,单调递减区间为；当时, 的单调递增区间为；当时, 的单调递增区间为, ,单调递减区间为.

4a >()f x ()0,2,2a ??+∞ ???2,2a ?? ???

4a =()f x ()0,+∞04a <<()f x 0,

2a ?? ???()2,+∞,22a ?? ???