2016届天津市红桥区高三(上)数学(理)期末考试试卷

天津市红桥区2015-2016学年度第一学期

高三数学（理）期末试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！ 参考公式：

● 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ． ● 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ?=．

● 如果在1次试验中某事件A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次

的概率是()(1)

k

k

n k

n n P k C p p -=-．

● 柱体体积公式：V sh =，其中表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 锥体体积公式：1

3

V sh =

，其中表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 球体表面积公式：2

4πR S =, 其中R 表示球体的半径． ● 球体体积公式：3

4π3

V R =，其中R 表示球体的半径． ● 方差公式：2

222121

[()()()]n s x x x x x x n

=

-+-++- 第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）是虚数单位，43i

2i

+-= （A ）12-i （B ）12+i

（C ）12-+i

（D ）12--i

（2）已知全集U =R ，集合{|13}M x x =-≤≤和集合

则

{|21}N x x k k ==-∈N ，的关系的韦恩

（Venn ）

图如图所示，第（2）题

(第6题图)

阴影部分所示的集合为 （A ）{}

|13x x -≤≤

（B ）{}31135--，，，，

（C ）{}113-，，

（D ）{}1,135-，，

（3）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，511a =，12186,S =

则8a =

（A ）18 （B ）20 （C ）21 （D ）22

（4）执行程序框图，该程序运行后输出的k 的值是

（A ）6

（B ）5

（C ）4 （D ）

（5）已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与3-a b 垂直，则实数k 值为

（A ）1

3

-

（B ）

119

（C ）11 （D ） 19

（6）一个俯视图为正方形的几何体的三视图如右图所示， 则

该几何体的体积为 （A ）2 （B ）

43

（C ）

23

（D ）13

（7）已知双曲线

2

2

19x y m

-=的一个焦点在圆22450x y x +--=上，则它的渐近线方程为

（A ） 4

3

y x =±

（B

）y = （C ）2

3y x =± （D ）3

4

y x =±

（8）下列四个条件中，p 是q 的充要条件．．．．

的是 （A ）:p a b >，22:q a b >

（B ）22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab < （C ）2:0p ax bx c ++>，2:

0c b

q a x x

-+> （D ）:2p m <-或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．．．．．．．．．

。

第（4）题

2．本卷共12题，共110分。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

（9）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人现

分层抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为 ．

（10）设变量x 、y 满足约束条件??

?

??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 ．

（11）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b

，c =

则B = . （12）若tan α＝2，则

2sin cos sin 3cos αα

αα

-+= .

（13）已知函数()x f x a = (a >0且a ≠1)，其关于y x =对称的函数为()g x ．若f (2)＝9，则

1

()(3)9

g f +的值是 ． （14）已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于点A ， DC 是ACB ∠的平分

线交AE 于点F ，交AB 于点D .则ADF ∠的度数为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）

某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止.已知一个投手的投篮命中概率为34

，

（Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；

（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望.

（16）（本小题满分13分）

函数)2

,0)(sin(π

?ω?ω<>+=x y 在同一个周期内，当4

π

=

x 时y 取最大值1，

当12

7π

=

x 时，y 取最小值1-。 （Ⅰ）求函数的解析式).(x f y =

（Ⅱ）函数x y sin =的图象经过怎样的变换可得到)(x f y =的图象？ （Ⅲ）求函数()f x 的单调递减区间.

（17）（本小题满分13分）

已知数列{}n a 满足19a =，其前n 项和为n S ，对,2n n *∈≥N ，都有13(3)n n S S -=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；

（Ⅱ）求证：数列n 92S ?

?+???

?是等比数列；

（Ⅲ）若n 32log 20n b a =-+，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值；

（18）（本小题满分13分）

已知长方体1AC 中，棱1,AB BC ==棱12BB =，连结1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于

E ，交1B C 于

F ．

（Ⅰ）求证：1

AC ⊥平面EBD ； （Ⅱ）求点A 到平面11A B C 的距离；

（Ⅲ）求平面11A B C 与直线DE 所成角的正弦值．

D B D

（19）（本小题满分14分）

已知圆2

2

:4C x y +=.

（Ⅰ）直线过点(1,2)P ，且与圆C 相切，求直线的方程；

（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量

OQ OM ON =+

（O 为坐标原点），求动点Q 的轨迹方程.

（Ⅲ）若点R 的坐标为(1,0)，在（Ⅱ）的条件下，求RQ

的最小值.

（20）（本小题满分14分）

已知函数2

()(1)ln 1f x a x ax =+++.

（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处切线的斜率1

2k =-，求实数a 的值；

（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅲ）若2()1xf x x x '++≥，求a 的取值范围.

天津市红桥区2015-2016学年度第一学期 高三数学（理）期末试卷参考答案

一、选择题 每题5分，共40分

1.B;

2.C;

3.B;

4.C;

5.D;

6.C;

7.A;

8.D 二、填空题 每题5分，共30分

三、解答题 共80分

（15）（本小题满分13分）

某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止.已知一个投手的投篮命中概率为34

，

（Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；

（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望. ［解］（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A ，概率为：

2333()(1)4464

P A =-?=

; ------------------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）ξ的可能取值为1、2、3、4，-------------------------------------------5分

3(1)4

P ξ==

； 333

(2)(1)4416P ξ==-?=；

2333(3)(1)4464

P ξ==-?=

；

343331(4)(1)(1)44464

P ξ==-?+-=

----------------------------------11分

所以，ξ

333197()1234416646464

E ξ=?

+?+?+?=. -----------------------------------13分

（16）（本小题满分13分）

函数)2

,0)(sin(π

?ω?ω<>+=x y 在同一个周期内，当4

π

=

x 时y 取最大值

1，当12

7π

=

x 时，y 取最小值1-。 （Ⅰ）求函数的解析式).(x f y =

（Ⅱ）函数x y sin =的图象经过怎样的变换可得到)(x f y =的图象？ （Ⅲ）求函数()f x 的单调递减区间.

解：（Ⅰ）

3

)4127(

22=∴-?=ωππω

π

---------------------------------4分

又因,2

243,1)43sin(ππ?π?π+=+∴

=+k 又,

4,2

π

?π

?-

=∴<

-----------------------------------6分 ∴函数)

43sin()(π

-

=x x f

-----------------------------------7分 （Ⅱ）x y sin =的图象向右平移

4π个单位得)4

sin(π

-=x y 的图象 再由)4cos(π-=x y 图象上所有点的横坐标变为原来的31

.纵坐标不变，得到

)4

3sin(π

-=x y 的图象，----------------------------------------------9分

（Ⅲ）令3232()242

k x k k πππ+-+∈Z ≤≤ππ

，

求得函数()f x 的单调递减区间为22[

,]34312

k k ππ++π7π

.--------------------13分

（17）（本小题满分13分）

已知数列{}n a 满足19a =，其前n 项和为n S ，对,2n n *∈≥N ，都有13(2)n n S S -=- （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；

（Ⅱ）求证：数列n 92S ?

?+???

?是等比数列；

（Ⅲ）若n 32log 20n b a =-+，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值；

解：（Ⅰ）∵13(3)n n S S -=-，13(3)n n S S +=-，

∴13n n a a +=．故{}n a 是公比为3，首项为9的等比数列，1n 3n a +=------4分

（Ⅱ）因为1

n 93

n a -=?，所以n 9(13)99

31322

n n S -=

=-+?-，-------------------7分

所以，1n 992733222n n S -+=?=?，1119273

9927223,3927222322

n

n n n S S S +-+

+=?=

==+. 故，数列n 92S ?

?+???

?是272为首项，公比为3的等比数列. -----------------------9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知n 32log 20218n b a n =-+=-+，

∴{}n b 是公差为2-．首项为16的等差数列. ----------------------11分 217n T n n =-+，因为89100,0,0b b b >=<

所以， 8T 或9T 最大，最大值为72. ------------------------13分

（18）（本小题满分13分） 已知长方体1AC 中，棱

1,AB BC ==棱12BB =，连结1B C ，过B

点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F ．

（Ⅰ）求证：1

AC ⊥平面EBD ； （Ⅱ）求点A 到平面11A B C 的距离；

（Ⅲ）求平面11A B C 与直线DE 所成角的正弦值．

（Ⅰ）证:以A 为原点, 1,,AB AD AA

分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,那么

(0,0,0)A 、(1,0,0)B 、(1,1,0)C 、(0,1,0)D 、1(0,0,2)A 、1(1,0,2)B 、1(1,1,2)C 、 1(0,1,2)D ，1

(1,1,2)AC =- ，(1,1,0)BD =-

， ………2分

B

D

B D 1

设(1,1,)E z ，则：(0,1,)BE z =

，1(0,1,2)CB =- ， 1BE B C ⊥∴1120BE CB z ?=-+= ，12z =，∴1(1,1,)2E ，1

(0,1,)2

BE = ， 11100AC BD ?=-++= ，10110AC BE ?=+-= ，

∴11,A C BD A C BE ⊥⊥， ………４分

又BD BE B = ∴1A C ⊥平面EBD ． ………５分 （Ⅱ）连结1AE ,A 到平面11A B C 的距离,即三棱锥11A A B C -的高,设为h, ……６分

11A B C S =

,111

3

C A B A V -=,由1111A A B C C A B A V V --=

得:

1133h ?=,h =

∴点A 到平面11A B C 的距离是

． ………9分 （Ⅲ）连结DF ， 1111,,AC BE B C BE AC B C C ⊥⊥= ，∴BE ⊥平面11A B C ，

∴DF 是DE 在平面11A B C 上的射影，EDF ∠是DE 与平面11A B C 所成的角，（9分）

设(1,,)F y z ，那么1(0,,),(1,1,),(0,1,2)BF y z CF y z B C ==--=- ， 10BF B C ?=

∴20y z -= ① 1//CF B C ，∴22z y =- ② 由①、②得42

,55y z ==，

1(1,0,)2DE = ，11

(0,,)510

EF =-- ………11分

在Rt FDE 中，DE EF =

=．∴

1sin 5EF EDF ED ∠==，因此，DE 与平面11A B C 所成的角的正弦值是

1

5

． ………13分

（19）（本小题满分14分） 已知圆2

2

:4C x y +=.

（Ⅰ）直线过点(1,2)P ，且与圆C 相切，求直线的方程；

（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量

OQ OM ON =+

，求动点Q 的轨迹方程.

（Ⅲ） 若点(1,0)R ，在（Ⅱ）的条件下，求RQ

的最小值.

解：（Ⅰ）显然直线不垂直于x 轴，

设其方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+= ………2分

设圆心到此直线的距离为d

，则2d ，

得0k =或4

3

k =-

………4分 故所求直线方程为2y =或43100x y +-=. ………5分

（Ⅱ）设点M 的坐标为00(,)x y ，Q 点坐标为(,)x y ,则N 点坐标是0(,0)x

∵OQ OM ON =+ ，∴

),2(),(00y x y x = 即20x x =

，y y =0 ………7分 又∵42

020=+y x ，∴4422

=+y x …………9分

由已知，直线m //oy 轴，所以，0≠x ,

∴Q 点的轨迹方程是4

422

=+y x (0≠x ) ………………10分

（Ⅲ）设Q 坐标为(x,y)，),1(y x -=

22)1(y x +-， …………11分

又4422

=+y x (0≠x )

可得：

3114344

)34(344)1(22

2≥+-=-+-x x x . ………………13分

[)

(]333

34x 4,00,4当=∴?-∈x …………14分

（20）（本小题满分14分）

已知函数2

()(1)ln 1f x a x ax =+++.

（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处切线的斜率1

2k =-，求实数a 的值；

（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅲ）若2()1xf x x x '++≥，求a 的取值范围. （Ⅰ）因为221()ax a f x x

++'=，311

(1)12a f +'==- 解得：1

2a =-.---------------------------------------------------------------------------------3分

（Ⅱ）()f x 的定义域为(0,+∞), 221

()ax a f x x

++'=，

当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加；----------------------------5分 当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；----------------------------6分

当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x .

当x ∈(0,

)时, ()f x '＞0；单调增，

x ∈，+∞)时，()f x '＜0, 单调减--------------------------------------------10分 （Ⅲ）22()211xf x ax a x x '=++++≥，

得：2221x x

a x ++≥ ------------------------------------------------11分 令22(),(0)21

x x

g x x x +=>+

则2222222(21)(21)4()221

()(21)(21)x x x x x x x g x x x ++-+-++'=

=

++，

当0x <<()g x 单调递增，

当x >

时，()g x 单调递减，

所以，max ()g x g == -----------------------------------------------13分

故a ---------------------------------------------14分