2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(二十五)数学

2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（二十五）

数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一?选择题：

1.已知集合{}

52A x x =-≤<，{

}

24B x y x ==-，则A B =（ ）

A. {}

52x x -≤≤- B. {}

52x x -≤< C. {}

52x x -≤≤ D. {

}

22x x -≤<

【答案】C 【解析】 【分析】

先化简集合B,再求A∪B 得解.

【详解】由题得{}

22B x x =-≤≤，所以{}

52A B x x ?=-≤≤. 故选：C

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（ ） A. ()1f x x x

=-

B. ()x

x

f x e e -=-

C. ()sin f x x x =

D. ()()()ln 1ln 1f x x x =--+

【答案】B 【解析】 【分析】

对每一个选项的函数逐一分析判断得解.

【详解】A 中函数单增区间为()0，

-∞和()0+∞，，定义域上不是单调递增，所以该选项不符合题意；

B 中函数既是奇函数又在其定义域上单调递增（增函数+增函数=增函数），满足条件；

C 中函数为偶函数，所以该选项不符合题意；

D 中函数为减函数（减函数+减函数=减函数），所以该选项不符合题意. 故选：B

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3.2

2

x y >的充分不必要条件是（ ） A. x y > B. 0y x << C. y x < D. y x <

【答案】D 【解析】 【分析】

对每一个选项逐一分析判断得解.

【详解】A. x y >时，不一定有22x y >，如：x=0,y=-1.所以x y >不是22

x y >的充分条件，

所以该选项不符合题意；

B. 0y x <<时，2

2

x y >不成立，所以0y x <<不是2

2

x y >的充分条件，所以该选项不符合题意；

C. y x <时，22x y >成立，所以y x <是22

x y >的

充分条件；22

x y >时，y x <一定

成立，所以y x <是22

x y >成立的充要条件.所以该选项不符合题意；

D. y x <时，22x y >成立，所以y x <是22x y >的充分条件；但是22

x y >时，y x <不

一定成立，如：x=-3,y=0.所以y x <是22x y >的非必要条件.所以y x <是22

x y >的充分

非必要条件. 故选：D

【点睛】本题主要考查充分非必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

4.已知n S 为公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，9182m S a ==，，则m =（ ） A. 4 B. 5

C. 6

D. 7

【答案】B 【解析】 【分析】

由918S =得1=24a d -，再化简2m a =即得解. 【详解】由题得193618a d +=，所以1=24a d -. 由题得24(1)2,d 0,5d m d m -+-=≠∴=. 故选：B

【点睛】本题主要考查等差数列的通项和前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5.已知向量a b ，，满足()1

1,11a b a b ==?=，，，则2a b -

=（ ）

D. 1

【答案】C 【解析】 【分析】

直接利用向量的模的公式求解即可. 【详解】由题得2

222444422a b

a a

b b -=-?+=-+=，

所以22a b -=.

故选：C

【点睛】本题主要考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

6.已知函数()y f x =的部分图像如下，判断函数解析式为（ ）

A. ()sin f x x x =

B. ()2

cos f x x x =+

C. ()sin cos f x x x x =+

D. ()(

)sin 1x

x

f x e e

x -=-+

【答案】C 【解析】 【分析】

利用排除法逐一排除得解.

【详解】因为()01f =，所以排除A ；因为()0f π<，所以排除B ，D .

故选：C

【点睛】本题主要考查根据函数的图象找解析式，考查函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比51

t -=

的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18?22

4t t

=-（ ）

A. 4 51

C. 2

D.

12

【答案】D 【解析】

【分析】 把2sin18t =?

2?

，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值．

【

详解】解：把2sin18t ?=代入

2sin361

4sin18cos182?

?

???=== 故选：D

【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公

式的应用，属于基础题．

8.已知32

2

2log 50.52a b c -==

=，，，则（ ） A. b c a << B. c a b <<

C. a b c <<

D. a

c b <<

【答案】D 【解析】 【分析】

求出

b=4, 1.5 2

c ==25

log 52

<

，即得解. 【详解】2 1.50.542 2.828b c -====≈，， 因2552<，所以5

252<，所以25log 52

<， 所以a c b <<. 故选：D

【点睛】本题主要考查指数对数函数的运算和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9.已知直线:20l mx ny +-=与圆2

2

4x y +=相交的弦长为，则m n +的取值范围为（ ）

A. []

22-，

B. ??

C. ?-?

D. []

44-，

【答案】A 【解析】 【分析】

先分析得到2

22m n +=，再利用不等式()(

)2

2

2

2m n m n

+≤+得解.

【详解】圆心()0,0O 到直线l 的距离2

2

d m n

=

+，

所以()

2

2

222

22m n ??+= ?+??

，所以222m n +=，

又因为()()2

2

2

24m n m n +≤+=，所以22m n -≤+≤.

故选：A

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10.若直线:2l y kx =-与函数()()2ln 1,1

43,1x x f x x x x ?-<=?-+≥?

的图像恰好有2个不同的公共点，

则k 的取值范围为（ ） A. (),0-∞

B. ()2{254}+∞?-，

C. ()()02-∞+∞，

， D. ()()02{254}-∞?+∞?-，

， 【答案】D 【解析】 【分析】

作出函数f(x)的图象，结合直线:2l y kx =-，对k 分类讨论数形结合分析得解. 【详解】画出函数 ()f x 的图象，

由图可知，当0k <时，直线l 与函数()f x 在区间()1，

-∞内有两个交点，与区间[

)1+∞，的部分没有交点，因而满足条件；

当0k =时，直线l 与函数()f x 只有一个交点，不满足条件；

当0k >时，直线l 与函数 ()f x 在区间()1，

-∞内只有一个交点，当直线 l 与 ()f x 在区间[

)1

+∞， 内的部分也有一个交点时满足条件，这时由2y kx =-与 243y x x =-+联立，得()2

450x k x -++=，由()2

4200k ?=+-=得254k =-，

当2k >时，直线l 也与()f x 在区间[

)1

+∞， 内的部分也有一个交点，满足条件. 所以满足条件的k 的取值范围为()()02{254}-∞?+∞?-，

， 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

11.如图四面体A BCD -中，2,AD BC AD BC ==⊥，截面四边形EFGH 满足

//EF BC ；//FG AD ，则下列结论正确的个数为（ ）

①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形

④四边形EFGH 的面积有最大值1

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】D 【解析】 【分析】

对每一个选项逐一分析判断得解.

【详解】因为//EF BC EF ?，平面BCD ，所以//EF 平面BCD ，又平面EFGH

平面

BDC GH =，

所以//EF GH .

同理//FG EH ，所以四边形EFGH 为平行四边形， 又AD BC ⊥，所以四边形EFGH 为矩形.所以③是正确的；

由相似三角形的性质得

EF AF FC FG

BC AC AC AD

==，， 所以EF FG AF FC

BC AD AC AC

+=+，2BC AD ==，所以2EF FG +=， 所以四边形EFGH 的周长为定值4，所以①是正确的；

2

12EFGH

EF FG S EF FG ???

=?≤= ???

，所以四边形EFGH 的面积有最大值1，所以④是正

确的.

因为①③④正确. 故选：D

【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

12.已知数列{}n a 中，()12111

2232n n n a a a a a n +-===+≥，，，数列{}n a 的前99项和99S =（ ）

A.

(

)50391

8

-

B. 50918-

C. 99312

-

D.

(

)49391

8

-

【答案】B 【解析】 【分析】

由题得得()113n n n n a a a a +-+=+，求出13n n n a a ++=，设13n

n n n c a a =++=，利用等比数列

求和公式求解.

【详解】由1123n n n a a a +-=+得()113n n n n a a a a +-+=+ 又123a a +=，

所以{}1n n a a ++是3为首项，公比为3的等比数列，

即13n

n n a a ++=

设13n

n n n c a a =++=，(

)49

50

99124989199

1119

8

S a c c c --=+++???+=+=-.

故选：B

【点睛】本题主要考查等比数列的判定，考查等比数列的前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二?填空题

13.设变量x y ，满足约束条件23030230x y x y x y -+≥??

+-≤??--≤?

，则目标函数32z x y =-++的最小值为

__________. 【答案】-7 【解析】 【分析】

先作出不等式对应的可行域，目标函数32z x y =-++化为32y x z =+-，平移直线3y x =，再利用数形结合分析得解.

【详解】可行域为ABC ?如图所示,

目标函数32z x y =-++化为32y x z =+-，平移直线3y x =，由图像可知当直线

32y x z =+-，经过B 点时，直线32y x z =+-在y 轴上的截距最小，此时z 最小，

联立30

230x y x y +-=??

--=?

得B(3,0),

所以min 327z x y =-++=-. 故答案为：-7

【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.

14.函数()2

ln f x a x bx =+在点()()

1

1f ，处的切线方程为43y x =-，则a =_____，b =____.

【答案】 (1). 2a = (2). 1b = 【解析】 【分析】

由题得()2a

f x bx x

+'=，由导数的几何意义可得()()11

14f f '==，，解方程组即得解. 【详解】由题得()2a

f x bx x

+'=，由导数的几何意义可得()()11

14f f '==，， 即1b =，2141

a

b +?=，

所以2,1a b ==.

故答案为：(1). 2a = (2). 1b =

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

15.已知三棱锥P ABC

-四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC ==，2AB =，

5BC =3AC =，E ，F 分别为AC ，PB 的中点，3

2

EF =

，则球O 的体积为______. 【答案】43π

【解析】 【分析】

可证90ABC ∠=?，则E 为ABC ?的外心，又PA PB PC ==则PE ⊥平面ABC 即可求出PB ，PE 的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得. 【详解】解：

2AB =，5BC =，3AC =

222AB BC AC ∴+=

90ABC ∴∠=?，因为E 为AC 的中点，所以E 为ABC ?的外心，

1322

BE AC ∴=

=

因为PA PB PC ==，所以点P 在ABC ?内的投影为ABC ?的外心E ， 所以PE ⊥平面ABC ，

BE ?平面ABC

PE BE ∴⊥，

所以23PB EF ==， 所以223

32

PE PB BE =

-=

， 又球心O 在PE 上，设PO r =，则2

2

2

33322r r ????-+= ? ? ?????

，所以3r =，所以球O 体积，34

433

V r ππ==.

故答案为：43π

【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．

16.函数()()sin 02f x x πω?ω??

?

=+>< ??

?

，

，则如下结论正确的序号是__________. ①当2ω=时，若()f x 图像的对称轴为3

x π

=，则6

π

?=-

；

②当2ω=时，若()f x 的图像向右平移

6π

单位长度后关于原点对称，则112f π??= ???

； ③当4π

?=

时，若()f x 的图像在区间04π??

????

，内有且仅有一条对称轴，则ω的取值范围为

[)1,5；

④当4π

?=-时，若集合()()0,2x f x π??∈=?????

含有2020个元素，则ω的取值范围为

()2019,2020.5.

【答案】①②③ 【解析】 【分析】

对每一个命题，利用三角函数的图象和性质逐一分析判断得解. 【详解】对于①，由23

2

k π

π

?π?+=+

得6

k ?π=π-

，因2π?<，取0k =得6π

=?,所以

该命题正确；

对于②，由sin 2sin 263x x ππ????????-+=-+ ? ? ???????

得3π

?=， 所以sin 2112123f πππ????=?+=

? ????

?，所以该命题正确； 对于③，由()sin 4f x x πω?

?

=+

??

?

的对称轴为,4k x k Z π

π

ω

ω

=

+

∈， 由0

4444

πππππωωω≤+，得[)1,5ω∈，所以该命题正确；

对于④，由()sin 42

f x x πω??

=-

= ??

?得244x k ππωπ-=+或324

4

x k k Z π

π

ωπ-

=+

∈，

所以22k x π

πωω=

+

或2k x k Z ππ

ωω=

+∈，.因集合含有2020个元素，所以2018x πππωω=+<且20202πππωω

+≥，所以20192020.5ω<≤，所以该命题不正确.

故正确序号为①②③. 故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 三?解答题

17.已知ABC ?的内角A ?B ?C 的对边分别为a ?b ?c ，若1

cos 22cos 2

C C +=. （1）求C 的值；

（2）若2b =

，c =ABC ?的面积. 【答案】（1）3

C π

=（2

【解析】 【分析】

（1）利用二倍角公式将式子变形为2

3

2cos 2cos 02

C C +-

=即可求出cos C 即可得解； （2）由正弦定理求出B ，即可求出sin A ，再由面积公式计算可得. 【详解】解：（1）由1cos 2+2cos 2C C =得，2

32cos 2cos 02

C C +-= 所以1cos 2

C =

或cos 23

C =-（舍去）

0C π<<，所以3

C π

=

.

（2）由正弦定理得，sin sin c b C B

=

，即2sin sin 2b C B c ===， 又c b >，所以C B >，所以4

B π

=

所以53

4

12

A π

π

π

π=-

-

=

62sin sin sin cos cos sin 464646A ππππππ+??

=+=+=

???

， 所以116233

sin 2622ABC S bc A ?++=

=???=

【点睛】本题考查正弦定理解三角形，两角和的正弦公式的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.

18.如图三棱柱111ABC A B C -中，111,2,1,AB AC BC AC C A ====⊥平面ABC .

（1）证明：AB ⊥平面11ACC A ；

（2）求1AB 与平面1BCC 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析，（2）1

3

【解析】 【分析】

（1）先证明AB AC ⊥，1C A AB ⊥，AB ⊥平面11ACC A 即得证；（2）建立如图所示的空间坐标系，利用向量法求1AB 与平面1BCC 所成的角的正弦值. 【详解】（1）因为1,2AB AC BC ===，

所以ABC ?是直角三角形，

AB AC ⊥，又1C A AB ⊥，

因为AC,1AC ?平面11ACC A , AC ∩1C A =A ， 所以AB ⊥平面11ACC A .

（2）建立如图所示的空间坐标系，

则()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1A B C B C - 所以()()()1111,1,1,1,0,1,0,1,1AB AC CC =-=-=- 设平面1BCC 的法向量为(),,m x y z =，

则1100m BC m CC ??=???=??

即0

0x z y z -+=??

-+=?

，取()1,1,1m =

设1AB 与平面1BCC 所成的角为α，则11m 1

sin 3

m

AB AB α?==

? 所以1AB 与平面1BCC 所成角的正弦值

13

. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19.已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）n S 为数列11n n a a +??????

的前n 项和，求证：2

23n S ≤<.

【答案】（1）1

2

n n a +=（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）利用累加法求出数列{}n a 的通项公式； （2）裂项相消法求出n S 即可得证.

【详解】解：（1）()111n n n a na n ++-=+ 取1,2,3,

,1n n =-得，2122a a -=

32323a a -= 43434a a -=

……

()11n n na n a n ---=

相加得()

1122

n n n na n +=+++=

所以1

2

n n a +=

（2）由（1）得，

()()1141

141212n n a a n n n n +??==- ?++++??

所以1111111

1423344512n S n n ????????

??=-+-+-++-

? ? ? ???++?

???????

??

422

n =-

+ 因n S 随着n 的增大而增大，所以123

n S S ≥= 又2n S < 所以

2

23

n S ≤< 【点睛】本题累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.

20.如图正方形ABCD 纸片的边长为O ，正方形EFGH 的中心也是O ，

AEH ?，BEF ?，CFG ?，DGH ?分别是以EH EF FG GH ，，，为底边的等腰三角形，

沿虚线剪开后，分别以EH ，EF ，FG ，GH 为折痕折起AEH ?，BEF ?，CFG ?，DGH ?，使得A B C D 、、、重合于点S ，得到四棱锥S EFGH -，设正方形EFGH 的边长为x .

（1）用x 表示四棱锥S EFGH -的体积()V x ； （2）当()V x 最大时，求四棱锥S EFGH -的表面积. 【答案】（1）()2

12553

V x x x =-()05x <<，（2）40 【解析】 【分析】

（1）连接OA 交EH 为M ，先求出四棱锥S EFGH -的高h ，再求四棱锥S EFGH -的体积()V x ；（2）设()()4

5

25505f x x x

x =-<<，利用导数求函数的最值，即得解.

【详解】

（1）连接OA 交EH 为M ，则5,2

x OA OM ==

， 所以四棱锥S EFGH -的高为)2

2

52550522x x h x x ????=--=-<< ? ??

??? 所以())1255053V x x x x =-<< （2）()4511

25525533

V x x x x x =-=

-设()()4

5

25505f x x x

x =-<<，则()f x '=3410025x x -

由()0f x '=得，4x =.

所以当4x =时，()f x 由最大值，也即()V x 有最大值.

此时四棱锥S EFGH -的表面积为2

2510402x x x x ??

+-

== ???

. 【点睛】本题主要考查四棱锥表面积体积的计算和函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

21.已知两定点()1,0M ，()4,0N ，点P 满足2PN PM =. （1）求点P 的轨迹C 的方程；

（2）若()0,2D -，直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，DA ，DB 的斜率之和为2，问直线l 是否恒过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）2

2

4x y +=（2）直线l 过定点，定点为()2,2

【解析】 【分析】

（1）设P 的坐标为(),x y ，由题意得，得到方程化简即可；

（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立直线与曲线方程，消元列出韦达定理根据2DA DB k k +=得到

m 、k 的关系，即可求出直线过的定点.

【详解】解：（1）设P 的坐标为(),x y ，由题意得，

=化简得：2

2

4x y +=

（2）当直线l 的斜率不存在时， 设()00,A x y ，()00,B x y -

则有0000

22

2y y x x +-++=，得02x =，此时直线l 与圆相切，不合题意. 当直线l 的斜率存在时，

设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，与轨迹C 联立得

()2

2

21240k x

kmx m +++-=

0?>，()2

2

41m k ∴<+，12221km x x k +=-

+，2122

4

1m x x k -=+ 所以()()12121212222

22222

DA DB m x x y y km k k k k x x x x m +++++=

+=+=-=- 所以22m k =-+

所以直线l 的方程为()22y k x =-+ 所以直线l 过定点()2,2.

【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与圆的综合应用，直线过定点问题，属于中档题. 22.已知函数()()ln f x ax x x a R =-∈，的最大值为1. （1）求a 的值； （2）证明：()222x

f x e

x -≤+

【答案】（1）1a =，（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）利用导数求出()f x 在1a x e -=处取到最大值，即()1

1a f e -=，所以1a =，即得解；

（2）即证明222ln x e x x x x -+≥-，令()222ln x

h x e

x x x x -=+-+，所以存在

()001,1,04x h x ??

?'∈= ??

，所以()()0h x h x ≥，再证明()0h x ≥即得证.

【详解】（1）由题意()0,1ln x f x a x >=--'

()11ln 00a f x a x x e -=--=?=>'，

故当(

)1

0a x e

-∈，时，()0f x '>，当()

1

a x e

-∈+∞，时，()0f x '<，

所以函数()f x 在(

)1

0a x e

-∈，上单调递增，函数()f x 在()

1

a x e

-∈+∞，上单调递减；

所以()f x 在1a x e -=处取到最大值，即()1

1a f e -=，所以1a =

（2）欲证()222x

f x e x -≤+，即证明222ln x e x x x x -+≥-

令()222ln x

h x e

x x x x -=+-+，

则()224ln x

h x e x x -=-++'，()21

"440x h x e x

-=++

> 所以()

h x '增函数，又()2

1240h e -'=-+>，1

2121ln404h e -??

=-+-'< ???

所以存在()001,1,04x h x ??

?'∈=

??

，所以()()0h x h x ≥ 由()00h x '=得，0

02ln 00222ln x x e

x e x --=+

设()2x

g x e x =+，则()210x

g x e +'=>

所以()g x 为增函数，所以20002ln ,x

x x e x --==，

所以()()2

000000220h x x x x x x =+-+-=

即()0h x ≥，即()222x

f x e

x -≤+.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.