初三相似三角形的基本模型

情形二：

情形三：

例2：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是

根据等比性质可知，而

求证：

延长AE到M使得EM=

∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴△BEA≌△CEM

∴CM=AB，∠1=∠B

∴AB∥CM

∴∠M=∠MAD，∠MCF ∴△MCF∽△ADF

∴

（方法二）

∴，∴

求证：

证明：

∴

即

∴

时，；

时，．当时，参照上述研究结论，请你猜想用

∴

的中点，EF＝FC

且MF＝AE∴△BEN∽△BFM

求证：

∴

＝＝

∴（）＝

∴

EF//AB分别交AD、求证：．

∴

的四个顶点分别在△ABC上。求证：

∴

∵，

∴

．求证：．∴，

∵，

∴

∴=

≠

=﹣x x（）+（在；

最小为

的取值范围是≤

==（勾股定理）

∴

时，有最大值，最大值是；

，

∴

即

，

时，

相似三角形基本模型及证明

相似三角形基本模型与证明一、基本图形回顾经典模型

构造相似辅助线——双垂直模型 1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 2.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长． 3.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 4.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D.

5.已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。构造相似辅助线——A、X字型 6.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证： 7.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。求证： 8.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。求BN：NQ：QM．

9.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)

相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行）（二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 B

（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B E F 一线三等角的变形一线三直角的变形

第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OE OA OC? = 2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABC DEB∠ = ∠．求证：（1）DA DE DB? = 2；（2）DAC DCE∠ = ∠． C D E B

例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2 ．相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB

相似三角形常用模型及应用

相似三角形模型及应用相似证明中的基本模型 A 字形图①A 字型，结论： AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DE AC AB BC == 图③双A 字型，结论： DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a a AH BC -=（a 为正方形边长） I H G F E D C B A G F E D C B A E D C B A E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 8字型图①8字型，结论： AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD ==、四点共圆图③双8字型，结论：AE DF BE CF =，图④A 8字型，结论：111 AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ?=?△△△△ E F D C B A F E D C B A O D C B A O D C B A G F E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 一线三等角型结论：出现两个相似三角形

H E D C B A E D C B A E D C B A C 60°F E D C B A F E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论： AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BD AC CD = 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =?，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =?，2、2CD AD BD =?，3、2BC BD BA =? D C B D B A C A E D C B A D C B A 梅涅劳斯型常用辅助线 G F E D C B A G F E D C B A G F E D C B A D E F C B A 考点一相似三角形【例1】如图，D 、E 是ABC ?的边AC 、AB 上的点，且AD AC ?=AE AB ?，求证：ADE B ∠=∠. E D C B A 中考满分必做题

专题：相似三角形的几种基本模型及练习

专题：相似三角形的几种基本模型（1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型”的相似三角形. “A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形. A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 （3） “母子” （双垂直）型射影定理：由_____________ ，得____________ __，即______________ _；由_____________ ，得____________ __，即______________ _；由_____________ ，得____________ __，即______________ _。 “母子” （双垂直）型 “旋转型” （4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （5）一线“三等角”型 “K ” 字（三垂直）型（6）“半角”型图1 ：△ABC 是等腰直角三角形，∠MAN= 1 2∠BAC ，结论：△ABN ∽△MAN ∽△MCA ； 1 A E B C B E A C D 1 2B D 图2 图1 旋转 N M 60° 120° B A 45° D C B A

应用 1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是 ( ) A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABD D ．不存在图3 图4 图5 3．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点, DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有( )对。 A.4 对 B. 5对 C.6对 D. 7对 4．如图6，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，在下列条件下：①∠AED ＝∠B ；②AD ∶AC ＝AE ∶AB ；③DE ∶BC ＝AD ∶AC .能判定△ADE 与△ACB 相似的是 ( )A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．① 5．如图7，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ； ③ AD AE ＝AB AC .其中正确的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 6．如图8，添加一个条件：_____________________________，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可) 7．如图9，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若△ABE 与△ECD 相似，则CE =___________．图6 图7 图8 图9 8．如图10，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( ) A ．∠BAD ＝∠CAE B ．∠B ＝∠D C.B C DE ＝AC AE D.AB A D ＝AC AE 9．如图11，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝1 4CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°， ②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF .其中正确的个数为个。图10 图11 A B C D E

初三数学的相似三角形的常见模型

相似三角形常见模型一【知识清单】【典例剖析】知识点一：A字型的相似三角形 A字型、反A字型（斜A字型） B（平行） B （不平行）

（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则 ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3 2=，求AC AB 的值。变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， F E D C B A B M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F

::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个知识点二：8字型相似三角形 J O A D B C A B C D （蝴蝶型）（平行）（不平行）（1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△ 1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点 P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH PF PG = P H G F E D C B A

相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似

课题：相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似教学目标： 1、通过习题引入，了解“A字型、旋转型”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质； 2、利用“A字型、旋转型”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题； 3、在“A字型、旋转型”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“A字型、旋转型”相似解题的特点与经验。教学重点难点： 1、在已知图形中观察关键特征——“A字型、旋转型”； 2、在“A字型、旋转型”图的两个三角形中，探索其相似条件。教学过程：一、复习与回顾：相似三角形的性质和判定定理；二、引入相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。而识别（或构造）A字型、8字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。三、新课讲解：（一）、模型分析有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC与∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B. （二）、基础巩固 1、若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论（图1） 2、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。（图2）（三）、例题探究：

（四）课堂练习：三、课堂小结：我们今天这堂课收获了什么呢（1）学习了A型相似；（2）学会从复杂图形中分解出基本图形。（3）数学思想：方程思想，转化思想，分类讨论思想四、作业布置：中考新航线251页

相似三角形的几种模型

相似三角形的几种模型 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

相似三角形的几种模型一、A 字型练习： 1.如图,在△ABC 中，∠C=90°,在AB 边上取一点D,使BD=BC ，过D 作DE ⊥AB 交AC 于E ，AC=8，BC=6，求DE 的长。 2.如图，∠C=∠1，则下列各式不成立的是（） A 、BC BD A B AD = B 、BC BD AC AB = C 、AC AD AD ?=2 D 、BC AD AB ?=2 3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB=∠ACB.求证：△ABE ∽△ACB ．二、8字型 1.将一副三角板如图叠放在一起，若OB=2，则OD= 2.已知，如图∠ADE=∠ACB ，BD=8，CE=4,CF=2,求DF 的长 3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,点F 在边AC 的延长线上，且 FD ⊥AB,垂足为点D ，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=___． 4.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上,记为点B ′,折痕为EF ，已知AB=AC=6，BC=8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是三、双垂图： 1.如图，AD 和BE 是锐角△ABC 的两条高，P 是两条高的交点，请你写出图中所有的相似三角形 2.在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD=∠A,已知BC=22,AB=3，则BD=

3.如图，△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高，AD=9,BD=4，那么CD= AC= 四、一线三等角如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF=3FD, ∠BEF=90°求证：△ABE∽△DEF．

相似三角形模型分析大全

. 第一部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行）（二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 B （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

. （五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1、已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2 ；（2）DAC DCE ∠=∠．

例2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于 E 、 F ．求证：EG EF BE ?=2 ．点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE 相关练习： 1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．

求证：OE OA OC ?=2 ． 2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．

相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A B C D E C B A D E （平行）（不平行）（二）8字型、反8字型 J O A D B C A B C D （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 A B C D C A D （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型： C A D 二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性一线三等角的变形 G A B C E F

一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2 ；（2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2 ． 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延 A C D E B

相似三角形常见模型与型例题讲解

第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） B C D E （平行） C B D E （不平行）（二）8字型、反8字型 J O A D B C A B C D （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G B E F

一线三等角的变形一线三直角的变形

第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2 ；（2） DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2 ．相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。求证：EB ·DF=AE ·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各 5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为 y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型 1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED 2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3， A C D E B D E A B C A B P D E （第25题图） G M F E H D C B A

初三数学：相似三角形常见模型

相似三角形常见模型一【知识清单】【典例剖析】知识点一：A 字型的相似三角形 A 字型、反A 字型（斜A 字型） B （平行） B （不平行）（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△

（2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接 DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21= ，AE AD 3 2 =，求AC AB 的值。变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， ::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 F E D C B A C B D E M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F

知识点二：8字型相似三角形 B C C （蝴蝶型）（平行）（不平行）（1）如图，若CD AB∥，则DOC AOB∽△ △ （2）如图，若C A∠ = ∠，则CDJ ABJ∽△ △ 1、已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H 求证： PE PH PF PG = 2、如图，设 AB BC CA AD DE EA ==，求证：12 ∠=∠ 变式练习： 1、（2010?威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1． P H G F E D C B A E

相似三角形模型分析大全(精)

第一部分相似三角形知识要点大全知识点1.．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同．例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)．解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥．知识点2．比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c b d =（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a c b d =（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性．（2）在比例式a c b d =（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d 是第四比例项．（3）如果比例内项是相同的线段，即a b b c =或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。 (4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求a b ．分析：求a b 即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=3 2 dm，求c的长度．分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c．知识点3．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1 3 ，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．知识点4．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．

相似三角形几种基本模型

相似三角形基本模型经典模型 “平行旋转型” 图形梳理： AEF 旋转到AE‘F’ C B A AEF 旋转到AE‘F’ F'C B B C AEF 旋转到 AE‘F’ A B C AEF 旋转到AE‘F’ 特殊情况：B 、'E 、'F 共线

AEF 旋转到AE‘F’C B A A B C E F E' F'AEF 旋转到AE‘F’ C ，'E ，'F 共线 AEF 旋转到AE‘F’ C B A AEF 旋转到AE‘F’ C B A 母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．相似三角形常见的图形 1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图） (2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”） A E A D E 4 1 B (3) D B (2) D

（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”“三垂直型”） (4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。（5）母子型已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 2、几种基本图形的具体应用：（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC （2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB ；（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）当AD AE AC 或AD·AB=AC·AE时，△ ADE∽△ACB． B E A C D 1 2 B B C(D )

相似三角形判定的基本模型 good

相似三角形判定模型相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型【例1】已知：在△ABC中，AD是角平分线。求证：BD AB D C AC _D _C _B _A

思考：已知在△ABC 中，外角平分线AD 交BC 延长线于D 。求证：【例2】如图，在△ABC 中， D ，E 为BC 的三等分点，F 为AC 中点，BF 分别交AD ，AE 于M ，N 两点。求证： BM ∶MN ∶NF 【例3】已知：如图，△AOC 中，∠AOC ＝120°，∠AOC 的平分线交AC 边于B 。求证：【例4】如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，BC 边上，且BM ＝BN ，又BP ⊥MC ，垂足为P 。求证：PD ⊥PN 【例5】已知如图正△ABC 和正△DEF ，BC 和EF 的中点均为M 。 111 O A O C O B += O C B A C BD AB D C AC = A B C D 1 2 M P N D C B A

求证：AD ⊥CF 【例6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CF ∥AB 。BP 的延长线交AC 于E 交CF 于F 。求证：【例7】如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，M 为AC 的中点，MD 与CB 的延长线交于N 。求证：BD ·CN ＝CD ·DN A 【例8】如图，正方形ABCD ，AB 边上有一点E ，BC 边上一点F ，使得EF ＝3，DF ＝4， DE ＝5。那么，正方形ABCD 的面积是__________。 2BP PE PF =?M E D C B A

相似三角形常用模型及应用

相似证明中的基本模型 A 字形图①A 字型，结论： AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DE AC AB BC == 图③双A 字型，结论： DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a a AH BC -=（a 为正方形边长） I H G F E D C B A G F E D C B A E D C B A E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 8字型图①8字型，结论： AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD ==、四点共圆图③双8字型，结论：AE DF BE CF =，图④A 8字型，结论：111 AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ?=?△△△△ E F D C B A F E D C B A O D C B A O D C B A G F E D C B A 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 一线三等角型结论：出现两个相似三角形

相似三角形的几种模型

相似三角形的几种模型相似三角形的基础模型 A型模型反A型模型在△ABC中，DE∥BC 在△ABC中，∠AED＝∠B 反A型模型双垂直型在△ABC中，∠ACD＝∠B 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高， ∠ACB＝90

一直线三等角模型在Rt△ABC与Rt△CDE中，A，C，D三点共线，△A＝△BCE＝△D＝90 在△ABC与△CDE中，B，C，D三点共线，△B＝△ACE＝△D 半角模型正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，且△ECF＝45°，连接AC，EF，GH，CH，CF 相交弦定理

△O中，弦AB与弦CD相交与点P AP·BP＝CP·DP 切割线定理 PA为△O切线，PCB为△O割线 PA2＝PB·PC 割线定理 PAB，PCD分别为△O割线 PA·PB＝PC·PD 模型应用

1. (2017·深圳改编)如图，线段AB是△O的直径，弦CD△AB于点H，点M是上任意一点，直线BM交直线CD于点E，直线MH交△O 于点N，连接BN交CE于点F，AH＝2，HB＝8，求HE·HF的值． 2. (2018·深圳改编)如图，△ABC内接于△O，BC＝2，AB＝AC＝，点D为上的动点，在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC 延长线于点E，问AD·AE的值是否变化？若不变，请求出AD·AE的值；若变化，请说明理由．

GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

4. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，C两点，与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F.AB＝BF，CF＝4，DF＝，AB是△O的切线． (1)求△O的半径r； (2)设点P是BA延长线上的一个动点，连接DP交CF于点M，交弧AC于点N(N与A， C不重合).试问DM·DN是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

相似三角形A字模型含详细答案-经典

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4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有 AB BC AC AH k A B B C A C A H ===='''''''' （k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''??==?=''''''''??△△．二、相似三角形的判定 1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似． 3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似． 5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．三、相似证明中的基本模型 A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DE AB AC BC ==，【例1】老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE ∽△DBF ．证明：①又∵DF ∥AC ， ②∵DE ∥BC ， ③∴∠A=∠BDF ， ④∴∠ADE=∠B ， ∴△ADE ∽△DBF ．

相似三角形典型模型及例题

1:相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型 (一)A字型、反Ａ字型(斜A字型） B ?（平行）(不平行) （二）8字型、反8字型 B C B C（蝴蝶型） (平行） (不平行) (三)母子型 B (四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形）或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:

(五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例,三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景,或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角,几种常见的基本图形如下: 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似, 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 ( 六）双垂型： C A D 二:相似三角形判定的变化模型旋转型：由Ａ字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性一线三等角的变形 G A B C E F

一线三直角的变形２:相似三角形典型例题 (１）母子型相似三角形例１：如图,梯形AＢCD中,AD∥ＢC，对角线AC、BＤ交于点O，BE∥CD交ＣA延长线于E．求证：OE OA OC? = 2．例２：已知：如图,△ABC中,点E在中线AD上, ABC DEB∠ = ∠. 求证:（1)DA DE DB? = 2; （2)DAC DCE∠ = ∠. 例３：已知:如图,等腰△ＡBC中，AB＝AＣ,AＤ⊥ＢC于Ｄ，CＧ∥AＢ,BG分别交AＤ、AＣ于E、Ｆ. 求证：EG EF BE? = 2．１、如图,已知ＡD为△AＢC的角平分线，EF为ＡD的垂直平分线．求证:FC FB FD? = 2. A C D E B

相似三角形的几种模型

相似三角形的几种模型 Revised on November 25, 2020

相似三角形的几种模型一、A 字型练习： 1.如图,在△ABC 中，∠C=90°,在AB 边上取一点D,使BD=BC ，过D 作DE ⊥AB 交AC 于E ，AC=8，BC=6，求DE 的长。 2.如图，∠C=∠1，则下列各式不成立的是（） A 、BC BD A B AD = B 、BC BD AC AB = C 、AC AD AD ?=2 D 、BC AD AB ?=2 3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB=∠ACB.求证：△ABE ∽△ACB ．二、8字型 1.将一副三角板如图叠放在一起，若OB=2，则OD= 2.已知，如图∠ADE=∠ACB ，BD=8，CE=4,CF=2,求DF 的长 3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,点F 在边AC 的延长线上，且FD ⊥AB,垂足为点D ，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=___． 4.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上,记为点B ′,折痕为EF ，已知AB=AC=6，BC=8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是三、双垂图： 1.如图，AD 和BE 是锐角△ABC 的两条高，P 是两条高的交点，请你写出图中所有的相似三角形 2.在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD=∠A,已知BC=22,AB=3，则BD= 3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°,CD 是斜边AB 上的高，AD=9,BD=4，

相似三角形的九大模型

相似三角形的九大模型模型一：A 字型 1．如图，在ABC △中，:2:3AF FB =，延长BC 至点D ，使得2BC CD =，求 AE EC 的值． 2．如图，在ABC △中，已知CD 为边AB 上的高，正方形EFGH 的四个顶点分别在ABC △上，求证： 111AB CD EF +=． 3．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的各边上，EF HG AC ∥∥，EH FG BD ∥∥，则四边形EFGH 的周长是_________．

4．如图，ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且3BE AE =，求 BC CD 的值．模型二：反A 字型 5．如图，D 、E 分别为ABC △的边AB 、AC 上的点，且ADE ACB ∠=∠．（1）求证：AD AB AE AC ?=?；（2）如果ABC △的面积为m ，3DE =，5BC =，求ADE △的面积．

6．如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ?=?．（1）求证：AD AB AE AC ?=?；（2）当12AB =，9AC =，8AE =时，求BD 的长与 ADE ECF S S △△的值． 7．将三角形纸片()ABC △按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为 EF ．已知3AB AC ==，4BC =，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC △相似，那么 CF 的长度是（） A ．2 B ． 12 7 或2 C ． 127 D ． 12 5 或2 8．将ABC △纸片按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF ．已知6AB AC ==，8BC =．（1）求ABC △的周长；（2）若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC △相似，求BF 的长．