传播问题与一元二次方程(2)
实际问题与一元二次方程
教学
[来源:学科网]目
[来源:学科
网][来
源:Z*x x*k.C o m]标知识
技能
[来源:学科
网]
1.能根据○1以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；○2
以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二
次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用.
2.培养学生的阅读能力与分析能力.[来源:学,科,网]
3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
过程
方法
通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，
挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列
方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.
情感
态度
在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价
值.
教学重点建立数学模型，找等量关系，列方程
教学难点找等量关系，列方程
教学程序及教学内容师生行为二次备课一、复习引入
导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.
二、探究新知
●课本45页探究1
分析：
○1设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.
○2第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？
○3第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？
○4本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程. 拓展：课本思考.四轮呢？
归纳：
本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.
●课本47页探究3
分析：
○1正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？
○2上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？
○3若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a 点题，板书课题.
教师提出问题，并
指导学生进行阅读，独立思考，学
生根据个人理解，
回答教师提出的
问题.弄清题意，
设出未知数，并表
示相关量，根据相
等关系尝试列方程，求根.根据实
际问题要求，对根
进行选择确定问
题的解.教师组织
学生合作交流，达
到共识，
师生汇总生活中
常见的类似问题，
总结这类题的做
题技巧.
教师提出问题，让
学生结合画图独立
理解并解答问题，培
.
㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？ ○
4“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x ㎝，宽为7x ㎝.尝试列出方程.
○
5方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义. 归纳：
○
1在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决
○2.对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程. 三、课堂训练 补充练习： 1．从正方形铁片，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）． A ．8cm B ．64cm C ．8cm 2 D ．64cm 2 2．如图，是长方形鸡场平面示意
图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m ，所围的面积为150m 2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______． 3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺） 4.在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m 2?的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 四小结归纳 谈一节课的收获和体会.
五、作业设计
必做：P48：4-8
选做：P49：10
补充作业：
某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，
断面面积为1.6m 2，?上口宽比渠深多2m ，渠底比渠
深多0.4m ．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能
把这条渠道挖完？
养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识
教师总结，学生体会 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
师生归纳总结，学生作笔记.
解一元二次方程(公式法)
应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:
二次函数与实际问题
实际问题与二次函数 一、利用函数求图形面积的最值问题 一、 围成图形面积的最值 1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗 圃。 （1） 设矩形的一边长为 米），面积为y （平方米），求y 关 于x 的函数关系式； （2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得：x x x x y 18)18(2 +-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴? ??- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（ 250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252 1)250(2+-=-=； 又∵500,02 500＜x＜＞x x ＞∴?????- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=2 1-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-?-=-=a b x 时，2625)2 1(42504422max =-?-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2 625平方米。 3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． （1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ） cm
一元二次方程的应用(流感传染问题)
一元二次方程的应用之流感传染问题 （教学设计） 教学目标 知识目标： 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 情感目标： 1、使学生体会到数学来源于生活，服务于生活的数学思想。 2、使学生通过解决实际问题的过程感知探究学习的乐趣！ 学情分析 1、本节课是继解一元二次方程后的第一课时，因此学生对应用恰当的方法解 一元二次方程还存在一定的问题，教学过程中要继续加强练习。 2、学生对列方程解应用题的一般步骤已经很熟悉，适合自主探究、合作交流 的数学学习方式。 3、九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。容易开发他们的主观 能动性。适合由特殊到一般的探究方式。 重点难点 ?重点：列方程解应用题. ?难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中间量（简称关系式）；会根据所设的的未知数，列出相应的方程。 教学过程 初步感知能用一元二次方程解决怎样的实际问题
请同学们尝试探究完成这样一个问题： 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个？ 1、教师分析引导： 开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的 每个人又传染了x个人，用代数式示，第二轮后共有_______人患了流感． 2、学生合作交流解析过程。 3、教师检查学生探究情况。 针对探究与应用 请同学们根据探究1的解析思路尝试解决这个实际问题： 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支? 1、学生独立尝试（有问题可以合作交流） 2、学生展示探究结果（个别同学板演） 3、教师强调补充学生解析过程中的问题。 完成堂内作业
九年级数学专训1一元二次方程的解法归类
2020-2021学年 专训1 一元二次方程的解法归类 名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果． 限定方法解一元二次方程 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为( ) A．x＝B．x＝ C．x＝±D．x＝± 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( ) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0. 5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值． 能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2 7．解下列一元二次方程： (1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( ) A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝ 9．用公式法解下列方程． (1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2. 选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x2－49＝0的解为( ) A．x＝B．x＝
一元二次方程求根公式
一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式
法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
公式法解一元二次方程教案
公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形
一元二次方程及解法归类
寒假培训八年级下数学资料 一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________. 典型例题： 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系 数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。 【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根，则m m -2=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0，则k=_______ 二、直接开平方法 若x 2 =25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______ 、 解下列方程：（1）1) 3(2=+x （2）18)54(22=-x 三、配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 化二次项系数为1； ② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
一元二次方程的解法(公式法)
一元二次方程的解法(公式法)教案 ——小店一中潘卫生 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 （老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为1，得：x2-7 6 x=- 1 6 配方，得：x2-7 6 x+（ 7 12 ）2=- 1 6 +（ 7 12 ）2 （x- 7 12 ）2= 25 144 x- 7 12 =± 5 12 x1= 5 12 + 7 12 = 75 12 + =1 x2=- 5 12 + 7 12 = 75 12 - = 1 6 （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根 x 1=2b a -+x 2=2b a -- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：a x 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a = 即x=2b a -± ∴x 1=2b a -，x 2=2b a - 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时， ?将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．
实际问题与二次函数练习题及答案
12999数学网 https://www.360docs.net/doc/d6500209.html, 26.3 实际问题与二次函数 1． 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货 员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收到的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情况如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x ，y 和z （单位：万元，x 、y 、z 都是整数）。（1）请用含x 的代数式分别表示y 和z ；（2）若商场预计每日的总利润为C （万元），且C 满足19≤C ≤19.7。问商场应如何分配营业额给三个经营部？各应分别安排多少名售货员？ 2.某宾馆有50个房间供游客居住。当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每天对每个房间需支出20元的各种费用。房价为多少时，宾馆利润最大？ 3. 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系（04黄冈） （1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 224100(010)240(1020) 7380(2040)t t t y t t t ?-++<≤??=<≤??-+<≤??
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解. 一、直接开平方法 解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）把一元二次方程化为（≥0）或（≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; （3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: （1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; （2）对于一元二次方程,当时,方程无解; （3）对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.
解:（1） ∴; （2） ∴. 例2. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:（1） ∴或 ∴; （2） ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A）（B） （C）（D） 习题2. 若,则_________.
一元二次方程的解法—公式法
课题：1.2一元二次方程的解法 (4) 班级 姓名 【学习目标】 1、会用公式法解一元二次方程. 2、用配方法推导一元二次方程的求根公式，明确运用公式求根的前提条件是b 2 －4ac ≥0． 【重点难点】 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 难点：掌握一元二次方程的求根公式及代入时的符号问题. 【新知导学】 读一读：阅读课本P 14-P 16 想一想: 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2. 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 把常数项移到方程右边，得 配方，得 即2224()24b b ac x a a -+= 当 0≥时 ，2422b b ac x a a -+=± 即42b b ac x a -±-= 。 3.在上述配方过程中，若240b ac -≥＜ 0时，方程有实数根吗？ 练一练： 1.方程4-x 2=3x 中a= ，b= ，c= ， b 2-4ac= 2. 用公式法解方程0232 =+-x x 【新知归纳】 一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax
（1） 当_____________时，它的实数根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根 公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （2） 当_____________时，方程没有实数根。 【例题教学】 例1.用公式法解方程： （1）22330 x x -+= （2）x x 2322=- （3）a a a =-+)2)(2(51 （4）23(1)y y += 例2.已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？ 【当堂训练】 1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x=21214412-± B. x=2 1214412-±- C. x= 21214412+± D. x=64814412-± 2.用公式法解下列方程： （１）2220x x +-=； （２）2 30x x -=
《实际问题与二次函数》教学设计
实际问题与二次函数（教学设计） 162 团中学高文君 第1课时如何获得最大利润 【学情分析】 学生已经学习了二次函数的概念、图象和性质。这些内容为学习二次函数的应用提供知识支持，又学习了列代数式，列方程解应用题，这些应用性质的内容为本节课的学习提供了建模能力的基础，但是作为建立二次函数模型区解决实际问题，带有很强的综合性、灵活性, 对学生的要求较高。 【教学目标】 1. 能够分析和确定实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值； 2. 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系； 3. 通过实际问题的解决，逐步领会二次函数的应用价值和实际意义；通过小组合作，交流讨论和探索，建立合作和探索意识，激发学习的兴趣和欲望。 【教学重难点】 1. 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法； 2. 如何将实际问题转化为二次函数的问题。 【教学方法】启发引导，小组讨论 【教学过程】一【复习旧知，引入新课】 1 . 二次函数y ax 2 bx c的图象是一条_______________ ，它的对称轴是__________ ，顶点坐标 是. 当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最______________________________ 值，是 _______ ;当a<0时，抛物线开口向，有最 ____________ 点，函数有最 _______ 值， 2.二次函数y 2x2 8x 9的对称轴是____________ ，顶点坐标是—」当x= _______ 时，函数有最 值，是 _____ 。 【设计意图】在前几节课的学习中，我们已经学习了二次函数的图象和性质，这节课首先复习二次函数的相关内容，唤起学生对二次函数的记忆。 二、【试一试，我能行】 问题.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格,每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？ 1、本题中的变量是什么？ 2、学生对商品利润问题的理解：每件的利润=售价一进价 总利润=每件的利润X卖出的总件数 总利润=销售额一进货额 3 、学生对两个变量的理解。 师生共同分析：（1）销售额为多少？（2）进货额为多少？ （3）利润y与每件涨价x元的函数关系式是什么？ （4）变量x的取值范围如何确定？ (5)如何求解最值？ 设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先确定y与x的函数关系式。涨
用一元二次方程解决传播问题含答案
用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1传播问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是(B) A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81 C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝81 2．(大同一中期末)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A．1＋x＋x(1＋x)＝100 B．x(1＋x)＝100 C．1＋x＋x2＝100 D．x2＝100 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得 1＋x＋x2＝111. 解得x1＝10，x2＝－11(舍去)． 答：每个支干长出10个小分支．
知识点2 握手问题 4．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为(C) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 5．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x(x －1)． 根据题意，可列出方程12x(x －1)＝28． 整理，得x 2－x －56＝0． 解得x 1＝8，x 2＝－7． 合乎实际意义的解为x ＝8． 答：应邀请8支球队参赛． 6．一条直线上有n 个点，共形成了45条线段，求n 的值． 解：由题意，得12n(n －1)＝45. 解得n 1＝10，n 2＝－9(舍去)． 答：n 等于10.
一元二次方程的解法(消元)
消元一二元一次方程组的解法（四）教案 一、教学目标 1、知识与技能:熟练掌握代入消元法和加减消元法。 2、过程与方法：能根据方程组的特点选择合适的消元方法解方程组。 3、情感态度价值观：通过分析实际问题中的数量关系，建立方程组解决问题，进一步认识方程模型的重要性。 二、教学重难点 重点：能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。 难点：实际问题中的数量关系较复杂是本节课难点。 三、教学过程 （一）复习、引入课题 复习：解二元一次方程有多少种解法？共同点是什么？目的是什么？ 引入：接下来继续深入探讨二元一次方程组的解法。 （二）探索新知 （1）解方程组 引导学生通过消y 与消x ，尝试不同的解法，培养学生发散思维，然后让学生归纳这样类型的二元一次方程组的解法。 小结1：当方程中同一个未知数的系数相等或相反时，用加减消元法较简便。 （2）请选择适当的方法解下列方程组： ① ② ③ 2x-2y=60 (2) 2x+2y=100 (1) 3.2x+2.4y=5.2 2x+y=1.5 4x+8y=12 3x-2y=5 5x-4y=2 2x+3y=10
通过这三个方程组的讨论，归纳出方程系数具有什么特征时选择什么消元法。 小结2：当方程组中有一个未知数的系数是1或-1时，用代入消元法较简便。 小结3：当两个方程中同一个未知数的系数成整倍数时，用加减消元法较简便。 小结4：当方程组中任何未知数的系数不是1或-1，是不成整倍数时，一般经过变形后利用加减消元法较简便。 老师小结：解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择恰当的方法可以减少走弯路，加快解题速度，使解题过程简洁，提高正确率。 （三）实际应用 例（教材104页）：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？ 通过分步提问，引导学生分析 问题1：列方程组解应用题的关键是什么？ 问题2：你能找出本题的等量关系吗？ 问题3：怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢 设：如果1台大收割机1小时收割小麦X公顷，1台小收割机1小时收割小麦Y公顷。 那么2台大收割机2小时收割小麦（）公顷，5台小收割机2小时收割小麦（）公顷。 根据“2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量=3.6公顷”可列方程： 4x+10y=3.6
作业用一元二次方程解决传播问题
作业用一元二次方程解 决传播问题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
实际问题与一元二次方程 用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1 传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( ) A．10只 B．11只 C．12只 D．13只 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支． 知识点2 握手问题 4．“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己
的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是( ) A．x(x＋1)＝210 B．x(x－1)＝210 C．2x(x－1)＝210 D.1 2 x(x－1)＝210 5．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是( ) A．x(x－1)＝10 B.x（x－1） 2 ＝10 C．x(x＋1)＝10 D.x（x＋1） 2 ＝10 6．参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，若共要比赛110场，则共有________个队参加比赛( ) A．8 B．9 C．10 D．11 7．一条直线上有n个点，共形成了45条线段，求n的值． 知识点3 数字问题 8．两个连续偶数的和为6，积为8，则这两个连续偶数是________．
初中数学一元二次方程公式定理
1 平方与平方根 11 面积与平方 (1) 任意两个正数的和的平方,等于这两个数的平方和 (2) 任意两个正数的差的平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍 任意两个有理数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数乘积的2倍 12 平方根 1 正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数; 2 零只有一个平方根,它就是零本身; 3 负数没有平方根 14 实数 无限不循环小数叫做无理数 有理数和无理数统称为实数 2 平方根的运算 21 算术平方根的性质 性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 性质2 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 22 算术平方根的乘、除运算 1 算术平方根的乘法 sqrt(a)sqrt(b)=sqrt(ab) (a=0,b=0) 2 算术平方根的除法 sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b) (a=0,b0) 通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫做分母有理化(1) 被开方数的每个因数的指数都小于2;(2) 被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根 23 算术平方根的加、减运算 如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫做同类平方根 3 一元二次方程及其解法 31 一元二次方程 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程 32 特殊的一元二次方程的解法 33 一般的一元二次方程的解法配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1 化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边,将方程化为x^2+px+q=0的形式 2 移项把常数项移至方程右边,将方程化为x^2+px=-q的形式 3配方方程两边同时加上一次项系数一半的平方,是方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数 4 有平方根的定义,可知 (1) 当p^2/4-q0时,原方程有两个实数根; (2) 当p^2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根(二重根);
(完整)实际问题与二次函数—知识讲解(提高)
实际问题与二次函数—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识． 2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模 型． 【要点梳理】 要点一、列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 要点二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点诠释： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ①首先必须了解二次函数的基本性质； ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型例题】 类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值
一元二次方程之求根公式
一元二次方程之求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式a ac b b x 242 2,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运 算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美． 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法． 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个． 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A ． 一4 B ．8 C ．6 D ．0 【例3】 解关于x 的方程012)1(2=++--a ax x a ． 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和． 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的 值． 注： 一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x ． 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 222 x x x ==． 巩固练习 1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ． 2．已知0232 =--x x ，那么代数式1 1)1(23-+--x x x 的值是 ． 3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ． 4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( ) A ．b a = B ．0=+b a C ．1=+b a D ．1-=+b a
实际问题与二次函1
实际问题与二次函数（2） 教学目标： 1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。 重点难点： 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。 教学过程： 一、复习巩固 1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函数的关系 式， (2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么? [对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)] 二、范例 例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关 系式。 分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数 关系式为： y＝a(x－8)2＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。 请同学们完成本例的解答。 练习：P18练习1．(2)。 例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系 式。 解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得解这个方程组，得：所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5。 解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到解这个方程组，得： 所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。 例3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系 式。 解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c?依题意，得解这个方程组，得：所
一元二次方程的解法之公式法
一元二次方程的解法之公式法 【知识要点】 1、复习用配方法解一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式： 对于一元二次方程02 =++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(a ac b a b x -=+， （1）当042 ≥-ac b 时，得a ac b b x 242-±-=； （2）当042 <-ac b 时，一元二次方程无实数解。 2、公式法的定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤： （1）必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； （2）再计算ac b 42-的值： ①当042 ≥-ac b 时，方程有实数解，其解为：a ac b b x 242-±-=； ②当042 <-ac b 时，方程无实数解。 【经典例题】 例1、推导求根公式：02 =++c bx ax （0≠a ） 例2、利用公式解方程： （1） 0222=--x x （2） 4722 =+x x （3）0142=+--x x （4）010342 =+-x x
例3、已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程02=++c bx ax 例4、你能找到适当的x 的值使得多项式A =4x 2+2x －1与B =3x 2－2相等吗？ 例5、一元二次方程(m －1)x 2＋3m 2x ＋(m 2 ＋3m －4)＝0有一根为零，求m 的值及另一根． 【经典练习】 1、用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是 （ ） A.x 1、2=24312122?-± B.x 1、2=2 4312122?-±- C.x 1、2=2 4312122?+± D.x 1、2=32434)12()12(2???--±-- 2、方程x 2+3x =14的解是 （ ） A.x =2653± B.x =2653±- C.x =2233± D.x =2 233±- 3、下列各数中，是方程x 2－(1+5)x +5=0的解的有 ( ) ①1+5 ②1－5 ③1 ④－5 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4、若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( ) A ．1或5 B ．7或－1 C ．－1或－5 D ．－7或1 5、关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2 B ．－21 C ．－2 D ．2 1