数学二次根式知识点及练习题含答案(1)
一、选择题
1．下列计算正确的为（ ）． A ．2(5)5-=- B ．257+=
C ．
64
32
+=+
D ．
36
22
=
2．下列计算正确的是（ ） A ．93=±
B ．8220-=
C ．532-=
D ．2(5)5-=-
3．在实数范围内，若2x +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x≠2
B ．x >-2
C ．x <-2
D ．x≠-2
4．下列各式中,正确的是（ ） A ．16=±4 B ．±16=4
C ．
26628
?= D ．4
2783+?=
- 4
5．下列运算正确的是（ ） A ．52223-=y y B ．428x x x ?= C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D ．27123-=
6．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．若a 3
235
++，b ＝610，则a b 的值为（ ）
A ．
1
2 B ．
14
C ．
3
21
+
D 610
+
8．实数a ，b ，c ，满足|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，2b a +b |+|a -c |-222c bc b -+（ ）
A ．2c -b
B ．2c -2a
C ．-b
D ．b
9．a ab
有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．下列说法中正确的是（ ）
A 25±5
B ．两个无理数的和仍是无理数
C ．-3没有立方根.
D 22-a b .
二、填空题
11．设42-的整数部分为 a,小数部分为 b.则1
a b
- = __________________________. 12．若m ＝
20161
-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．
13．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____． 14．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()
2
2
b a b +
-﹣|a +b |的结果是
_____．
15．1
4
(1)(1)(2)(8)(9)x x x x x x +???=+++++的解是______．
16．若613x ，小数部分为y ，则(213)x y 的值是___. 17．已知1＜x ＜2，1
71
x x +
=-11x x --_____．
18．如果332y x x --，那么y x =_______________________． 19．化简：3222＝_____． 20．4
x -x 的取值范围是_____． 三、解答题
21．计算：
2232234334
1009999100
+
++++【答案】
910
【解析】 【分析】
先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算 【详解】 2232234334
1009999100
++
++++
=
2232234334
1009999100
2---+++++
=2233499100
1224-+-++
-
=100
1-
=1110
- =
910
【点睛】
本题看似计算繁杂，但只要找到分母有理化这个突破口，就会化难为易。
22．已知m ，n 满足m 4n=3+
.
【答案】12015
【解析】 【分析】
由43m n +=2
﹣2）﹣3＝0，将
，代入计算即可．
【详解】
解：∵4m n +＝3，
)22﹣2）﹣3＝0，
）2﹣23＝0，
+13）＝0，
＝﹣13，
∴原式＝
3-23+2012＝1
2015
．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．
23．已知1,2y =. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 1-8x≥0，x≤
18
8x-1≥0，x≥1
8
，∴x=
1
8
，y=
1
2
，
∴原式=259532
-=-==1 44222
.
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x、y，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．
24．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如
3、
3+1
这样的式子，其实我们还可以将
其进一步化简：
535
==3
3
333
?
?
；
2
2(31)2(31)
=31
3+1(3+1)(31)(3)1
?-?-
==-
--
.
以上这种化简过程叫做分母有理化.
3+1还可以用以下方法化简：
22
(3)1(3+1)(31)
=31
3+13+13+13+1
--
===-.
（1）请用其中一种方法化简
1511
-
；
（2）化简：++++
3+15+37+599+97
.
【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1.
【分析】
(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511
－；
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案.
【详解】
（1）原式==；
（2）原式
=+++…
=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1
=3﹣1
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.
25．计算
（1+（2+-
÷（4）(
（3）
2b
【答案】（1）234）7．
【分析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）根据二次根式的乘除法则运算；
（4）利用平方差公式计算；
【详解】
（1+
=
=；
（2
=
=；
（3÷
=
=；
（4）(
(22
=-
=7
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．
26．先观察下列等式，再回答下列问题：
111
111112
=+-=+；
111112216=+-=+
1111133112
=+-=+
(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120
(2)()111n n ++（n 为正整数） 【解析】
试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
试题解析：(1)=1+14?141+=1120，
1120
(2)1 n ?1 n 1
+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).
a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.
27．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知
b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】
（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】
（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4，
（a-b）2=4，
a-b=±2．
a===
（2）
b===
222
+=+-=-=-=
a b a b ab
()22312
??
【点睛】
本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
28．计算下列各题：
（1
-．
（2）2
【答案】（1）2）2
--
【分析】
（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可；
（2）利用平方差、完全平方公式进行计算．
【详解】
解：（1）原式==；
=--+
（2）原式22(5
=---
525
2
=--
【点睛】
本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可． 【详解】
A 5=，故A 选项错误；
B B 选项错误；
C ．
++=
2
2
2
，故C 选项错误；
D 2
=
，正确， 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
2．B
解析：B 【分析】
直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】
3=，故此选项错误；
0=，正确；
D. 5=，故此选项错误； 故选：B 【点睛】
此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
3．B
解析：B 【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案． 【详解】
有意义，得： 20x +>，
解得：2x >-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．
4．C
解析：C 【分析】
根据算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法逐项判断即可． 【详解】
A 4=，此项错误 B
、4=±，此项错误
C ==，此项正确
D == 故选：C ． 【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
5．D
解析：D 【分析】
由合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】
解：A 、222
523y y y -=，故A 错误；
B 、426x x x ?=，故B 错误；
C 、222()2a b a ab b --=++，故C 错误；
D ==D 正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用分母有理化进行计算即可. 【详解】
由原式得：
所以，因为，,所以.
故选：C
【点睛】
此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
将a 235
235
+-
可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出
a
b
的值．【详解】
a
3
235
++
3235
235
23526
+-
=
+-
2235b
44
=．
∴
1
4
a
b
=．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．8．D
解析：D
【解析】
解：
∵|a|+a=0，∴|a|=﹣a，∴﹣a≥0，∴a≤0，∵|ab|=ab，∴ab≥0，∴b≤0，∵|c|﹣c=0，∴| c|=c，∴c≥0，∴原式=﹣b+（a+b）﹣（a﹣c）﹣（c﹣b）=b．故选D．
9．A
解析：A
【解析】
试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab＞0，解得a＞0，b＞0，因此可知A（a，b）在第一象限.
故选A
10．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判
断即可． 【详解】
5=，故A 选项错误；
0ππ-+=，故B 选项错误；
-3=，故C 选项错误；
D 选项正确；
故选D ． 【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．
二、填空题
11．【分析】
根据实数的估算求出a,b ，再代入即可求解. 【详解】 ∵1＜＜2， ∴-2＜-＜-1， ∴2＜＜3
∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-， ∴== 故填：. 【点睛】 此题主要考查无理
解析：12
-
【分析】
根据实数的估算求出a,b ，再代入1
a b
-即可求解. 【详解】
∵1＜2，
∴-2＜＜-1，
∴2＜43
∴整数部分a=2,小数部分为4，
∴1a
b -
=2222=-=1
故填：12
-. 【点睛】
此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.
12．4030 【分析】
利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可. 【详解】 m== m==+1， ∴m3-m2-2017m+2015 =m2（m ﹣1）﹣2017m+2015
解析：4030 【分析】
利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可. 【详解】
m
m ）
，
∴m 3-m 2-2017m +2015 =m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015
= ）22017）+2015
=（2017+2015
﹣2 =4030. 故答案为4030. 【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.
13．10 【解析】
根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y ）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）=12﹣2=10． 故答案为10．
解析：10 【解析】
根据完全平方式的特点，可得x 2+xy+y 2=（x+y ）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10． 故答案为10．
14．3b
【分析】
先判断a，b的取值范围，并分别判断a-b，a+b的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．
【详解】
解：由数轴可知：b＞0，a﹣b＜0，a+b＜0，
∴原式＝|
解析：3b
【分析】
先判断a，b的取值范围，并分别判断a-b，a+b的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．
【详解】
解：由数轴可知：b＞0，a﹣b＜0，a+b＜0，
∴原式＝|b|+|a﹣b|﹣|a+b|
＝b﹣（a﹣b）+（a+b）
＝b﹣a+b+a+b
＝3b，
故答案为：3b
【点睛】
a
和绝对值的性质是解题的关键．
15．9
【解析】
【分析】
设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.
【详解】
设y=，则原方程变形为
，
∴，
即，
∴4y+36-4y=y(y+9)，
即y2+9y-36=0，
∴
解析：9
【解析】
【分析】
设()111
11
y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.
【详解】
设则原方程变形为
()()()
()()
11
1
1112894
y y y y y y ++
=
+++++， ∴1111111112894
y y y y y y -+-++
-=+++++， 即
11194
y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)， 即y 2+9y-36=0， ∴y=-12或y=3， ∵
， ∴
，
∴x=9， 故答案为：9. 【点睛】
本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()111
11
y y y y =-++的应用.
16．3 【分析】
先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解. 【详解】 因为, 所以,
因为6－的整数部分为x,小数部分为y, 所以x=2,
解析：3 【分析】
先估算34<<,再估算263<<,根据6x ,小数部分为y ,可
得: x =2, y=4然后再代入计算即可求解. 【详解】
因为34<,
所以263<-<,
因为6x ,小数部分为y ,
所以x =2, y=4-,
所以(2x y =(4416133=-=,
故答案为:3. 【点睛】
本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法.
17．-2 【详解】
∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4， 即 =4， 又∵1＜x ＜2, ∴=-2， 故答案为-2. 【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是
解析：-2 【详解】 ∵x+
11x -=7，∴x-1+11x -=6，∴（x-1）-2+11
x -=4，
即2
=4，
又∵1＜x ＜2,
∴
， 故答案为-2. 【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.
18．【分析】
根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可． 【详解】
解：∵x －3≥0，3－x≥0，∴x=3， ∴y=﹣2， ∴．
故答案为：． 【点睛】
解析：1
9
【分析】
根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可． 【详解】
解：∵x －3≥0，3－x ≥0，∴x =3， ∴y =﹣2， ∴2
13
9y
x -==． 故答案为：19
． 【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
19．【分析】
直接合并同类二次根式即可． 【详解】 解：． 故答案为 【点睛】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变． 解析：
【分析】
直接合并同类二次根式即可． 【详解】
解：=．
故答案为【点睛】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
20．x ＞4 【分析】
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：由题意得，x﹣4＞0，
解得，x＞4，
故答案为：x＞4．
【点睛】
本题主要考查的是二次根
解析：x＞4
【分析】
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：由题意得，x﹣4＞0，
解得，x＞4，
故答案为：x＞4．
【点睛】
本题主要考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无