2011年考研数学二试题及答案

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k

cx 是等价无穷小，则 （ ）

（A ）k=1, c =4 （B ）k=1,c =-4 （C ）k=3,c =4 （D ）k=3,c =-4 【答案】（C ）

【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】

解析：方法一：当0x →时，sin x x :

03sin sin 3lim

k x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim

k

x x x x x x

cx →--= ()

20

sin 3cos 22cos lim

k

x x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x x

cx -→--= ()221

32cos 12cos lim

k x x x

cx -→---=221

10044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 3

04

lim

14,3k x c k cx -→==?==，故选择（C ）.

方法二：当0x →时，3

3sin ()3!

x x x o x =-+ 33

3333(3)()3sin sin 33[()][3()]4()3!3!

x x f x x x x o x x o x x o x =-=-

+--+=+

故3,4==k c ，选（C ）.

（2）设函数()f x 在x=0处可导，且()0f =0，则()()

233

2lim

x x f x f x x →-= （ ）

（A ） -2()0f ' （B ）-()0f ' （C ） ()0f ' （D ） 0 【答案】（B ）

【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】

解析：()()

()()()()2333

30

0200lim

lim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→??

---??=-????

()()()0200f f f '''=-=-

故应选（B ）

（3） 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为 （ ）

（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ）3

【答案】（C ）

【考点】复合函数求导 【难易度】★★ 【详解】

解析：方法一：令)3)(2)(1()(---=x x x x g ，

易知0)3()2()1(===g g g ，且0)(='x g

即)(x g 有两个驻点，所以)(x g 有两个驻点， 因为x y ln =函数单调，故)(ln x g 有两个驻点，选C.

方法二：

令(2)(3)(1)(3)(1)(2)'()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x --+--+--=---231211

0(1)(2)(3)

x x x x x -+==---

有两个不同的根.所以()f x 有两个驻点.选（C ）. （4） 微分方程2

(0)λλλλ-''-=+>x

x y y e e 的特解形式为（ ）

（A ） ()x

x a e

e λλ-+ （B ） ()x x ax e e λλ-+ （C ） ()x

x x ae

be λλ-+ （D ） 2()x x x ae be λλ-+

【答案】（C ）

【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★★ 【详解】

解析：对应齐次微分放的特征方程为22

0r λ-=，解得r λ=±， 于是2

x y y e λλ''-=，2x

y y e λλ-''-=

分别有特解x

y axe

λ=，x

y bxe

λ-=，

因此原非齐次方程有特解()x

x y x ae

be λλ-=+.选（C ）.

（5） 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且'(0)'(0)0f g ==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （ ）

（A ） ''(0)0,''(0)0f g <> （B ） ''(0)0,''(0)0f g << （C ） ''(0)0,''(0)0f g >> （D ） ''(0)0,''(0)0f g ><

【答案】（A ）

【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★ 【详解】

解析：因为函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值，且(),()f x g x 均有二阶连续导数

所以

(0,0)

(0,0)

'()()0z

f x

g y x ?==?，

(0.0)

(0.0)

()'()

0z f x g y y

?==?，满足.

又因为2(0,0)

2

(0,0)

"()()

"(0)(0)z

A f x g y f g x

?===??，

2(0,0)

(0,0)'()'()

'(0)'(0)0z B f x g y f g x y ?===?=??，

2(0,0)

2

(0,0)

()"()

(0)"(0)z C f x g y f g y

?===??，

所以必须有2

(0)(0)(0)(0)0B AC f g f g ''''-=-<且0A >， 又因为(0)0f >，(0)0g <， 所以''(0)0,''(0)0f g <>，选（A ）.

（6） 设40

ln sin I x dx π

=

?

，40

ln cot J x dx π=?，40

ln cos K x dx π=?，则,,I J K 的大小

关系是（ ）

（A ） I J K << （B ） I K J << （C ） J I K << （D ） K J I << 【答案】（B ）

【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】

解析：如图所示，因为04

x π

<<

时，

0sin cos cot x x x <<

<<，因此lnsin lncos lncot x x x <<

4

4

4

ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx π

π

π

<

<

?

?

?

，故选（B ）.

（7） 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行

得单位矩阵，记11001

10001P ?? ?= ? ???，2100001,010P ?? ?

= ? ???

则A = （ ） （A ） 12P P （B ） 1

12P P - （C ） 21P P （D ） 121P P -

【答案】（D ）

【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】

解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，

所以1111

12121A BP P P P P ----===，故选（D ）

（8） 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T

是方程组Ax=0的一个基础解系，则*

0A x =的基础解系可为 （ ）

（A ） 13,αα （B ）12,αα （C ） 123,,ααα （D ） 234,,ααα

【答案】（D ）

【考点】★★★

【难易度】矩阵的秩；齐次线性方程组的基础解系 【详解】

解析：因为(1,0,1,0)T

是方程组Ax=0的一个基础解系

所以1234131100(,,,)01100A αααααα????????

????==+=????????????

即13,αα线性相关，故排除（A ）（C ），

又因为*4()4

()1()30()3r A r A r A r A =??==??

，即*

()2r A ≠，所以排除（B ），从而应选（D ）.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. （9） 1

012lim(

)2

x x x →+= .

【考点】重要极限公式；洛必达法则

【难易度】★★ 【详解】

解析：原式=0

1

121

(1)2121

12

lim (

1)1

22

012lim[1(1)]2

x x x

x x

x

x

x e →+?-++--→++-

=0021

2ln 2ln 2

lim

lim

222

x x x x x e

e

e

→→-?====

（10） 微分方程'cos x

y y e x -+=满足条件(0)0y =的解为y = .

【答案】sin x

y e

x -=

【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】

解析：(cos )dx dx x y e e x e dx C --??=?+?(cos )x e xdx C -=+?

(sin )x

e x C -=+

由于(0)0,y =故0C =,所以sin .x

y e x -=

（11） 曲线0

tan (0)4

x

y tdt x π

=

≤≤

?

的弧长s = .

【答案】(ln 1+ 【考点】定积分的应用 【难易度】★★★ 【详解】

解析：sec ds xdx ===

440

sec ln sec tan ln(1s xdx x x π

π

∴==+=?

（12） 设函数,0,

()0,

0x e x f x x λλ-?>=?≤?0λ>，则()xf x dx +∞-∞=? .

【答案】

1

λ

【考点】反常积分；定积分的换元积分法与分部积分法 【难易度】★★ 【详解】 解析：原式 0

0x

x

dx x e

dx xde

λλλ+∞

+∞

---∞

=

+=-?

?

?

x x xe

e dx λλ+∞

-+∞

-=-+?

1

x

e

λλ

+∞-=-1

λ

=

（13） 设平面区域D 由直线,y x =圆22

2x y y +=及y 轴所围成，则二重积分

D

xyd σ=?? .

【答案】

712

【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】

解析：用极坐标变换.:

4

2

D π

π

θ≤≤

，02sin r θ≤≤，于是

原式2sin 20

4

cos sin d r r rdr π

θ

πθθθ=

????

4

2sin 20

4

1

sin cos 4r d πθπθθθ=???5

5224

4

4cos sin 4sin (sin )d d π

π

ππθθθθθ=?=??

6

624

4

27

sin 16

3212ππθ??????==-= ? ????

??? （14） 二次型222

1,23123121323(,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为 .

【答案】2

【考点】矩阵的特征值的概念；用配方法化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】

解析：方法一：f 的正惯性指数为所对应矩阵正特征值的个数.

由于二次型f 对应矩阵111131111A ?? ?

= ? ???

，

()()1

11

1

3

11401

1

1

E A λλλλλλλ----=---=--=---，

故1230,1,4λλλ===.因此f 的正惯性指数为2.

方法二：用配方法. 22222

1123232323232()()32()f x x x x x x x x x x x x =+++++++-+

()2

2

12322x x x x =+++

那么经坐标变换22

122T T x Ax y y y y =Λ=+，亦知2p =.

三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15） （本题满分10分 ）

已知函数20

ln(1)()x

t dt F x x α

+=

?，设0

lim ()lim ()0,x x F x F x +

→+∞

→==试求α的取值范围. 【考点】洛必达法则、积分上限的函数及其导数

【难易度】★★ 【详解】

解析：当0α≤时，lim ()x F x →+∞

=+∞；不符合题意.

当0α>时，α

x dt t x F x

x x ?

+=+∞

→+∞

→0

2)1ln(lim

)(lim

,0)1(2lim )1(12lim )1(112lim )1ln(lim 1222212=-=-=-+=+=-+∞→-+∞→-+∞→-+∞→αααααααααααx

x x x x x x x x x x x x 得01>-α即1>α；

0lim )1ln(lim )1ln(lim

)(lim 12

01200

20==+=+=-→-→+∞

→→+

++

?ααα

ααx

x x x x dt t x F x x x

x x 得21<-α即3<α

于是当13α<<时，0

lim ()lim ()0x x F x F x +

→+∞

→==. （16） （本题满分11分）

设函数()y y x =由参数方程331133

1133x t t y t t ?=++????=-+??

确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹

凸区间及拐点.

【考点】函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点 【难易度】★★★ 【详解】

解析：2

21()1dy t dt y x dx t dt -'==+，2222223

()

2(1)2(1)14()(1)1(1)dy x t t t t t dt y x dx t t t dt

'+--''==?=+++ 令()0y x '=得1t =± 当1t =时，53x =

，13y =-，0y ''>.1

3

y ∴=-为极小值. 当1t =-时，1x =-，1y =，0y ''<.1y ∴=为极大值. 令()0y x ''=得0t =,1

3

x y ==. 当0t <时，13x <

，0y ''<；当0t >时，1

3

x >，0y ''>. 所以曲线()y y x =的凸区间是1(,)3-∞，凹区间是1(,)3+∞，拐点是11

(,)33

.

（17） （本题满分9分）

设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1

x =处取得极值(1)1g =，求

211

.x y z

x y

==???

【考点】函数的极值；多元复合函数求导法；二阶偏导数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：

12()z

f y f y

g x x

?'''=?+???, 因为函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =, 所以0)1(='g ， 所以

1

121(,(1))(1)(,)x z f y yg y f y g f y y y x

=?''''=?+??=??

2

1111

121

11

1

()(,)((,)(,))x y x y y z z x f y y y f y y f y y x y

y

=====??????'''''=

=++??

???

111

12(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''=++ （18） （本题满分10分）

设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若

,d dy

dx dx

α=求()y x 的表达式. 【考点】变量可分离的微分方程；可降阶的高阶微分方程 【难易度】★★★ 【详解】

解析：由题设知：(0)0y =，(0)1y '=，(0)4

π

α=

及

解：因为tan y α'=，两边对x 求导得2

2sec (1tan )

d d y dx dx

αα

αα''=?

=+， 代入

d dy

dx dx

α=，tan y α'=得)1(2y y y '+'=''. 令,dp y p y dx '''==，得2(1)dp

p p dx

=+

分离变量得22

1()(1)1dp p

dx dp p p p p =

=-++

积分得22

2

11ln ln(1)ln 221p x p p C C p =-++=++

由(0)1p =得11

ln 22

C =-

，代入得

2212ln 21p dy x p p dx =?==+

由(0)0y =，再积分得

()4t

t x x

y x π====-?

?

（19） （本题满分10分）

（I ）证明：对任意的正整数n ，都有111

ln(1)1n n n

<+<+ 成立. （II ）设11

1ln (1,2,)2n a n n n

=+

++-=L L ，证明数列{}n a 收敛. 【考点】函数单调性的判别、微分中值定理

【难易度】★★★ 【详解】

解析：（I ）方法一：设)1()1

1ln(1)(≥+-=x x

x x f ，

则0)

1(1

11111)(222<+-=??? ??-?+--

='x x x x

x x f ，)(x f 在),1[+∞上单调递减 所以0)(lim )(=>+∞

→x f x f x ，即)1()11ln(1≥+>x x

x

设)1(1

1)1

1ln()(≥+-+=x x x x g

则011111)1(11111

)(22

??-?+=

'x x x x x x

x g ，)(x g 在),1[+∞上单调递减 所以0)(lim )(=>+∞→x g x g x ，即)1(1

1

)11ln(≥+>

+x x x

综上：对任意的正整数n ，都有111

ln(1)1n n n

<+<+ 成立.

方法二：设()()1ln 1,0,f x x x n ??=+∈????,显然()f x 在10,n

??????

上满足拉格朗日中值定理 ()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ????????

∴-=+-=+=?∈ ? ? ? ?+????????

10,n ξ??∴∈ ???时，11111111101n n n n ξ?

111111n n n ξ

ln 11n n n

??∴

<+< ?+??，结论得证. （II ）设111

1ln 23n a n n

=+

+++-L . 1111ln ln 10111n n n a a n n n n +????-=

+=-+< ? ?+++????

，即数列{}n a 单调递减.

x

111

1ln 23111

ln(11)ln(1)ln(1)ln(1)ln 23341ln 2ln 23ln(1)ln 0

n a n

n

n

n n n

n n n =++++->+++++++-+??=??- ???

=+->L L L

得到数列{}n a 有下界.利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛.

（20） （本题满分11分）

一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由

2212()2x y y y +=≥与221

1()2

x y y +=≤连接而成

（I ） 求容器的容积；

（II ） 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m ，重力加速度为2

/,gm s ，水的密度为3

3

10/kg m ） 【考点】定积分的应用 【难易度】★★★★ 【详解】 解析：（I ）??

-+-=-2

2

122211

22)2()1(dy y y dy y V ππ

ππ4

9

)31()31[(221322

11

3=-+-=-y y y y

（II ）2

()(2)dW g f y y dy ρπ=-，

2

21

12

2

2211

2

1234234221

12

3

()(2)[(1)(2)(2)(2)]

121

41[(2)

(2)]23434272710()88

W g f y y dy

g y y dy y y y dy g y y y y y y y g g J ρπρπρπρππ---=-=--+--=--++-

+?==???，

（21） （本题满分11分）

已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)D

f x y dxdy a =??

，

其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''

(,)xy D

I xy f x y dxdy =

??. 【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法与分部积分法

【难易度】★★★ 【详解】 解析：1

1

''0

(,)xy

I xdx yf x y dy =

?

?11

'0

(,)x xdx ydf x y =??

()()11

1'

000,|,x x xdx yf x y f x y dy ??'=-????

?? (

)

1

1

'

'0

(,1)(,)x

x xdx f x f x y dy =-??

'(,1)0(,1)0x f x f x =∴=Q

11

'0

(,)x

I xdx f x y dy =-??11

'0

(,)x dy xf x y dx =-??

11

1000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ??=--?????? 1

1

00(1,)(,)dy f y f x y dx ??=--????

?? (,)D

f x y dxdy =??a =.

（22） （本题满分11分）

设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T

T

T

ααα===，不能由向量组12(1,1,1),(1,2,3),T

T

ββ==

3(3,4,)T a β=线性表示.

（I ）求a 的值；

（II ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示.

【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换 【难易度】★★★ 【详解】

解析：（I ）因为123101

,,0

1310115

ααα==≠，所以123,,ααα线性无关，

又因为123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，所以()123,,3r βββ<，

所以123113

113,,12401

1

5013023

a a a βββ===-=-，

所以5a =

（II ）123123,,,,,αααβββ（）=101113013124115135?? ? ? ???

101113013124014022?? ?→ ? ???101113013124001102?? ?→ ? ?--??1002150104210001102??

?→ ? ?--?

? 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-

（23） （本题满分11分）

A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -???? ? ?

= ? ? ? ?-????

（I ） 求A 的所有特征值与特征向量；

（II ） 求矩阵A

【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量

【难易度】★★★ 【详解】

解析：（I ）因为111100001111A -???? ? ?

= ? ? ? ?-????

所以110011A ????????=????????????，111000111A -??????

??????==-????????????--??????

， 所以11λ=是A 的特征值，1(1,0,1)T

α=是对应的特征向量；

21λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是对应的特征向量.

因()2r A =知0A =，所以30λ=是A 的特征值.

设3123(,,)T

x x x α=是A 属于特征值30λ=的特征向量，

因为A 为实对称矩阵，

所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即

131323130,0,

T T

x x x x αααα?=+=??=-=?? 解得3(0,1,0)T

α= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T T

k k k -，其中

123,,k k k 均是不为0的任意常数.

（II ）将321,,ααα单位化得????? ??=101211γ，???

?? ??-=101212γ，????

?

??=0103

γ 令?

?????

?

?

?

-==02

12110002121),,(321γγγQ ，则????? ??-=011AQ Q T

所以100110000100T A Q Q ???? ? ?

=-= ? ? ? ?????

.