高考数学山东卷(理科)详细解析

2007年高考数学山东卷（理科）详细解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是

（A ）

6π （B ） 4π （C ）3π （D ） 2

π

【答案】:D 【分析】：把2

π

代入验证即得。

2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N x

x Z +??

=<<∈????

，则M N ?= （A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0- 【答案】:B 【分析】：求{}1124,1,02x N x

x Z +??

=<<∈=-????

。 3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

（A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） (2),(4)

【答案】:D 【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。 4 设11,1,,32

a ?

?∈-???

?

，则使函数y x α

=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3-

【答案】:A 【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 5 函数sin(2)cos(2)63

y x x π

π

=+

++的最小正周期和最大值分别为

（A ）,1π （B ） π（C ）2,1π （D ） 2π【答案】:A 【分析】：化成sin()y A x ω?=+的形式进行判断即cos 2y x =。

6 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，

()()

()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-。下列函数中不满足其中任何一个等式的是

（A ）()3x

f x = （B ） ()sin f x x = （C ）2()lo

g f x x = （D ） ()tan f x x = 【答案】:B 【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A ，C 满足其中的一个等式，而D 满足()()

()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-，B 不满足其中任何一个等式.

7 命题“对任意的x R ∈，3

2

10x x -+≤”的否定是

（A ）不存在x R ∈，3

2

10x x -+≤ （B ）存在x R ∈，3

2

10x x -+≤ （C ）存在x R ∈，3

2

10x x -+> （D ）对任意的x R ∈，3

2

10x x -+>

【答案】:C 【分析】：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。 8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 （A ）0.9,35 （B ） 0.9,45 （C ）0.1,35 （D ） 0.1,45

【答案】: A .【分析】：从频率分布直方图上可以看出0.9x =，35y =. 9 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是

（1）:2p m <-或6m >；2

:3q y x mx m =+++有两个不同的零点。 （2）()

:

1;()

f x p f x -= :()q y f x =是偶函数。 （3）:cos cos ;p αβ= :tan tan q αβ=。 （4）:;p A B A ?= :U U q C B C A ?。

（A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4)

【答案】: D.【分析】：（2）由

()

1()

f x f x -=可得()()f x f x -=，但()y f x =的定义域不一定关于原点对称；（3）αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件。

10 阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是 （A ）2500,2500 （B ） 2550,2550 （C ）2500,2550 （D ） 2550,2500

【答案】:D.【试题分析】：依据框图可得1009896...22550S =++++=，999795...12500T =++++=。

11 在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是

（A ）2AC AC AB =?u u u r u u u r u u u r （B ） 2BC BA BC =?u u u r u u u r u u u r

（C ）2AB AC CD =?u u u r u u u r u u u r （D ） 22

()()AC AB BA BC CD AB

???=u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r 【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =???-=??=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222

CD AB AC BC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ，通过等积变换判

断为正确.

12 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是

1

2

.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 （A ）51()2 （B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235

551()2

C C

【答案】:B.【分析】：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5

次后位于点(2,3)的概率为2

23

511()(1)22

P C =-。

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。

13．13 设O 是坐标原点，F 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，

FA u u u r 与x 轴正向的夹角为60?

，则OA u u u r 为________.

【答案】

:

2

p 【分析】：过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则2FA m =，2p m m +=，m p =

。.2

OA p ∴=

= 14．设D 是不等式组21023041

x y x y x y +≤??+≥?

?≤≤??≥?表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距

离的最大值是_______.

【答案】:【分析】：画图确定可行域，从而确定(1,1)到直线直线10x y +=距离的最大为

15．与直线20x y +-=和曲线22

1212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.

【答案】:. 2

2

(2)(2)2x y -+-=【分析】：曲线化为2

2

(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=

的距离为d =

=所求的最小圆的圆心在直线y x =上，其到

(2,2).标准方程为2

2

(2)(2)2x y -+-=。

16．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则

12

m n

+的最小值为_______. 【答案】:

8。【分析】：函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --，

(2)(1)10m n -?+-?+=，21m n +=，,0m n >，

12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+?+=++≥+= 三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)（本小题满分12分）设数列{}n a 满足21*

12333...3,.3

n n n a a a a n N -+++=∈

(I)求数列{}n a 的通项; (II)设,n n

n

b a =求数列{}n b 的前n 项和n S . 解：: (I)2

1

12333 (3)

,3n n n a a a a -+++= 221231133...3(2),3

n n n a a a a n ---+++=≥

1113(2).333n n n n a n --=-=≥ 1

(2).3

n n a n =≥

验证1n =时也满足上式，*1

().3

n n a n N =

∈ (II) 3n

n b n =?，

23132333...3n n S n =?+?+?+?

231

233333n n n S n +-=+++-?

1

1332313

n n n S n ++--=

-?-， 111333244

n n n n S ++=

?-?+? 18（本小题满分12分）设b c 和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程2

0x bx c ++=实根的个数(重根按一个计). (I)求方程2

0x bx c ++= 有实根的概率; (II) 求ξ的分布列和数学期望;

(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程2

0x bx c ++= 有实根的概率. 解：:（I ）基本事件总数为6636?=，

若使方程有实根，则2

40b c ?=-≥

，即b ≥。

当1c =时，2,3,4,5,6b =； 当2c =时，3,4,5,6b =； 当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =； 当5c =时，5,6b =； 当6c =时，5,6b =,

目标事件个数为54332219,+++++= 因此方程2

0x bx c ++= 有实根的概率为

19.36

23413132333...3n n S n +==?+?+?+?

(II)由题意知，0,1,2ξ=，则

17(0)36P ξ==

，21(1),3618P ξ===17(2)36

P ξ==， 故ξ的分布列为

ξ

0 1 2

P

17

36 118 1736

ξ的数学期望17117

012 1.361836

E ξ=?

+?+?= (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程2

0ax bx c ++= 有实根” 为事件N ，则11()36P M =

，7()36

P MN =， ()7

()()11

P MN P N M P M =

=.

19（本小题满分12分）如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知

122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥,AB DC P .

(I)设E 是DC 的中点,求证: 11D E A BD P 平面; (II)求二面角11A BD C --的余弦值.

C1

A1

B

A

解：:(I)连结BE ，则四边形DABE 为正方形，

11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D P P ， 11A D EB ∴四边形为平行四边形，

11D E A B ∴P .

1111D E A BD A B A BD ??Q 平面，平面， 11.D E A BD ∴P 平面

(II) 以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设1DA =，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A

1(1,0,2),(1,1,0).DA DB ∴==u u u u r u u u r

设(,,)n x y z =r

为平面1A BD 的一个法向量，

由1,n DA n DB ⊥⊥r u u u u r r u u u r 得200

x y x y +=??

+=?， 取1z =，则(2,2,1)n =--r .

设111(,,)m x y z =u r

为平面1C BD 的一个法向量，

由,m DC m DB ⊥⊥u r u u u r u r u u u r 得11112200

y z x y +=??+=?，

取11z =,则(1,1,1)m =-u r

.

cos ,3m n m n m n

?<>==

=-u r r

u r r u r r 由于该二面角11A BD C --为锐角， 所以所求的二面角11A BD C --

的余弦值为

3

(20)（本小题满分12分）如图,

甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105?

的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120?

方向的2B 处,此时

两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结12A B

，22A B =

1220

60

A A =

?=

1

A

2

A

乙

122A A B ?是等边三角形，1121056045B A B ∠=?-?=?，

在121A B B ?中，由余弦定理得

22212111211122

2

2cos 4520220200

2

B B A B A B A B A B =+-??

=+-??=，

12B B =

因此乙船的速度的大小为

6020

=

答：乙船每小时航行海里.

(21)（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C 的标准方程;

(II)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.

解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>

3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b === 22

1.43

x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214

3y kx m

x y =+??

?+=??得

222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，

22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->.

2121222

84(3)

,.3434mk m x x x x k k

-+=-?=++ 222

2

121212122

3(4)

()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+

Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，

1212122

y y

x x ∴

?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k --+++=+++，

2271640m mk k ++=，解得

1222,7

k m k m =-=-

，且满足22

340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

(22)（本小题满分14分）设函数2

()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠. (I)当1

2

b >

时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (II)求函数()f x 的极值点;

(III)证明对任意的正整数n ,不等式2

3111

ln(1)n n n

+>

-都成立. 解：(I) 函数2

()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.

222'()211

b x x b

f x x x x ++=+=++，

令2

()22g x x x b =++，则()g x 在1,2??-

+∞ ???上递增，在11,2?

?-- ??

?上递减，

min 11

()()22

g x g b =-=-+.

当12b >时，min 1

()02

g x b =-+>，

2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立. '()0,f x ∴>

即当1

2

b >

时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。 （II ）分以下几种情形讨论：

（1）由（I ）知当1

2

b >

时函数()f x 无极值点. （2）当12b =时，2

12()2'()1

x f x x +=+， 11,2x ?

?∴∈-- ???时，'()0,f x >

1,2x ??

∈-+∞ ???

时，'()0,f x >

1

2

b ∴=

时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 （3）当12

b <

时，解'

()0f x =

得两个不同解112x -=

，212x -+=.

当0b <

时，1112x -=

<-

，2112

x -+=>-，

()()121,,1,,x x ∴?-+∞∈-+∞

此时()f x 在()1,-+∞

上有唯一的极小值点212

x -+=.

当1

02

b <<

时，()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0 ，'()f x 在12(,)x x 上小于0 ，

此时()f x

有一个极大值点112x --=

和一个极小值点212

x -+=.

综上可知，0b <时，()f x 在()1,-+∞

上有唯一的极小值点212

x -+=

；

1

02

b <<

时，()f x

有一个极大值点1x =

2x =；

1

2

b ≥

时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 （III ） 当1b =-时，2

()ln(1).f x x x =-+ 令3

3

2

()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则

32

'

3(1)()1

x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，

()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.

即当()0,x ∈+∞时，有3

2

ln(1)0,x x x -++>2

3

ln(1)x x x +>-，

对任意正整数n ，取1x n =得23111ln(1)n n n

+>-