离散数学——代数结构_作业部分答案
第四章代数结构（作业）
作业：P86：4、7、9
4、
（1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。则有：
(x*y)*z = (x+y+xy)*z
= (x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z
= x+y+z+xy+xz+yz+xyz
x*(y*z) = x*(y+z+yz)
= x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz)
= x+y+z+yz+xy+xz+xyz
= (x*y)*z
因此，*运算满足结合律。
（3）假设e为（Z,*）的幺元，则有：
任选整数集中的一个元素x，都有
0*x = 0+x+0×x=x且
x*0 = x+0+x×0=x
故0是(Z,*)的幺元。
7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元；
（N+ ,*）无幺元；
（N+ ,*）的零元为1。
9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d；
（A,*）中的幺元：b；
（A,*）中的零元：c；
a-1 = d，b-1 = b，c-1 不存在，d-1 = a，
作业：P87：12、13、18
12、（A，*）到（N4,⊕4）的同构映射f为：
f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3;
或者：
f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1;
13、同构映射f为：
f(0)=?, f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={a,b};
或者：
f(0)=?, f(1)={b}, f(2)={a}, f(3)={a,b};
18、任选a ∈N +,b ∈N +, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b)
由f 的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f 是（N +,+）到(E +,+)的同态映射。
作业：P96：3，P97：7
3、(1)显然，*运算对Z 是封闭的。 (2) (a*b)*c = (3(a+b+2)+ab)*c
= 3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c = 3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc
a*(b*c) = a*(3(b+c+2)+bc)
= 3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc) = 3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc
= (a*b)*c
故*运算满足结合律。
（3）任选a ∈Z ，(-2)*a=a 且a*(-2)=a ，所以-2是(Z,*)的幺元。
所以（Z,*）是独异点。
7、因为1为(A,*)运算的幺元，而且对任意A 的子集A ’,*在A ’上都是封闭和可结合的运算，因此，（A,*）的所有子独异点为(A ’,*)，其中A ’必须包含1。即：(A,*)的所有子独异点为：
({1},*),({1,2},*),({1,3},*),({1,4},*),({1,2,3},*),({1,2,4},*),({1,3,4},*),({1,2,3,4},*)
P105：3、4、13
3、????
??11
0b a ×??????220
0b a ＝??
?
???212
10
0b b a a ,a 1,a 2∈{1,-1}, 所以a 1×a 2∈{1,-1}，b 1×b 2∈{1,-1}。 故（G,×）是封闭的。 而 (??????1100b a ×??????2200b a )×??????33
00b a =??????212
100b b a a ×??????33
00b a =??????32132100
b b b a a a ??????110
0b a ×(??????220
0b a ×??????33
0b a )=??????110
0b a ×??????32320
0b b a a =??????3213
210
b b b a a a 故（G,×）是可结合的。（也可以说因为矩阵乘法是可结合的。）
令e =??????10
01，a =??????-10
01，b =??????-10
01
，c =??
?
???--10
01
e =???
?
??10
01是幺元。 任选x ∈G ，x ×x =e ，故 x -1=x 。
(G,×)与群(N 4,⊕4)不同构，因为(G,×)中每个元素以自身为逆元，而(N 4,⊕4)并非如此。 4、（1）封闭性
任选a,b ∈Z,，显然，a+b-2∈Z,
故运算*满足封闭性。
（2）结合律 任选a,b,c ∈Z
（a*b ）*c=a+b+c-2-2=a+b+c-4 a*(b*c)=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4，
故（a*b ）*c= a*(b*c),即*运算满足结合律。 （3）证明存在幺元
任选a ∈Z, 2*a=2+a-2=a 且a*2=a+2-2=a ，故2幺元。 （4）证明每个元素可逆
任选a ∈Z ，则4-a ∈a ；
而且a*(4-a)=2,（4－a ）*a=2，故(4-a)是a 的逆元。
13、任选a,b ∈G,(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*e*a=a*a=e=(a*b)*(a*b)。
故上等式两边同时左乘a -1*b -1,故a*b=b*a 。所以(G,*)是可交换群。
P112：3、12、14
3、N 12＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
1的阶数为12；2的阶数为6；3的阶数为4；4的阶数为3；5的阶数为12；6的阶数为2；
显然(N 12,⊕12)是循环群，由循环群性质：一个n 阶循环群若存在k 阶子群，则仅有一个k 阶子群，因此
(N
12,⊕
12
)的所有2阶子群：({6,62},⊕
12
)=({0,6},⊕
12
);
(N
12,⊕
12
)的所有3阶子群：({4,42,43},⊕
12
)=({0,4,8},⊕
12
);
(N
12,⊕
12
)的所有4阶子群：({3,32,33,34},⊕
12
)=({0,3,6,9},⊕
12
);
(N
12,⊕
12
)的所有6阶子群：
({2,22,23,24,25,26},⊕
12)=({0,2,4,6,8,10},⊕
12
)
12、证明；若b,c∈S，则
对G中任意元素x，由于(G,*)是群，因此*运算满足结合律,即
(b*c)*a=b*(c*a)
又由条件b*a=a*b，可知：
b*(c*a)=b*(a*c)=(b*a)*c=(a*b)*c=a*(b*c)
进而，(b*c)*a=a*(b*c)；
故b*c∈S，故运算*对S封闭，
由于c*a=a*c, 且*运算在
故：c-1*(c*a)*c-1=c-1*(a*c)*c-1;
根据结合律，可知： (c-1*c)*(a*c-1)=(c-1*a)*(c*c-1);
即a*c-1=c-1*a。故c-1∈S。
即S中每个元素都有逆元。
故(S,*)是(G,*)的子群。
14、证明：设e为(G,*)的幺元。
任选a,b∈A，则e=a*a-1
故e∈A，即(A,*)中有幺元e。
而e*b-1=b-1∈A,故A中每个元素都有逆元。
进而，a*(b-1)-1=a*b∈A，故运算*对A封闭。
故(A,*)是(G,*)的子群。
P118：作业：6、7
6、(N7－{0},?7)同构于(N6, ⊕6)。
3为(N7－{0},?7)的生成元。
小于6的自然数中，只有5与6互质，故35=5也是(N7－{0},?7)的生成元。
即(N7－{0},?7)的所有生成元为：3和5。
7、显然，1的阶数为7，故1为（N7, ⊕7）的生成元。
小于7的自然数中，共有1，2，3，4，5，6这七个数与7互质，因此
11=1，12=2，13=3，14=4，15＝5，16＝6是（N7, ⊕7）的所有生成元。
P125：作业：4、6
4、
本题等价于求4次对称群中所有阶数为2的元素。
11234 2134
f
??
= ?
??2
1234
2143
f
??
= ?
??3
1234
3214
f
??
= ?
??4
1234
3412
f
??
= ?
??5
1234
4231
f
??
= ?
??6
1234
4321
f
??
= ?
??7
1234
1324
f
??
= ?
??8
1234
1432
f
??
= ?
??9
1234
1243
f
??
= ?
??
，??
?
?
?
?
=
4
3
2
1
4
3
2
1
10
f
6、
设S3＝{f1,f2,f3,f4,f5,f6}
1123 123
f
??
= ?
??2
123
132
f
??
= ?
??3
123
213
f
??
= ?
??4
123
231
f
??
= ?
??5
123
312
f
??
= ?
??6
123
321
f
??
= ?
??
令（注意：定义a i的时，a i的前三列与f i的三列完全相同）
1123
12
4
4
3
a
??
= ?
??2
123
13
4
4
2
a
??
= ?
??3
123
21
4
4
3
a
??
= ?
??4
123
23
4
4
1
a
??
= ?
??5
123
31
4
4
2
a
??
= ?
??6
123
32
4
4
1
a
??
= ?
??
令A={a1,a2,a3,a4,a5,a6}
如下定义双射函数g：A－>S3；
g(f i)=a i；i=1,2,3,4,5,6
可以验证? f i*f j∈S3，都有：g(f i*f j)=g(f i)*g(f j)，其中*为置换的复合运算。（注意：因为a i的前三列与f i的三列完全相同，这样定义就可以保证g(f i*f j)=g(f i)*g(f j)一定成立）
故(A,*)为与(S3,*) 同构的4次置换群。