高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)
高三数学立体几何高考题
1.(2012年7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出 的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 (A )6 (B )9 (C )12 (D )18
2.(2012年8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O
到平面α的距离为2,则此球的体积为
(A )6π (B )43π (C )46π (D )63π
3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ).
A .16+8π
B .8+8π
C .16+16π
D .8+16π
4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______.
5.(2014年8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 事一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4, 底面边长为2,则该球的表面积为( )
A.81π4 B .16π C .9π D.27π4
7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛
8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为1620π+,则r =( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8
9(2016年7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的
圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π
3
,
则它的表面积是
(A )17π (B )18π (C )20π (D )28π
10(2016年11)平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,11//CB D α平面,
ABCD m α=I 平面,11ABB A n α=I 平面,则m ,n 所成角的正弦值为
(A )32 (B )22 (C )33 (D )1
3
11.(2017年6)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是
12.(2017年16)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S-ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________。
13(2011年).如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=?,2AB AD =,PD ⊥底面ABCD . (I )证明:PA BD ⊥;
(II )设PD=AD=1,求棱锥D-PBC 的高.
14.(2012课标全国Ⅰ)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底
面,∠ACB=90°,
AC=BC=1
2
AA 1,D 是棱AA 1的中点
(I)证明:平面BDC 1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。
15. (2013课标全国Ⅰ)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°. (1)证明:AB ⊥A 1C ;
(2)若AB =CB =2,A 1C =6,求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积.
16 (2014课标全国Ⅰ)如图1-1所示,三棱柱ABC -A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.
(1)证明:AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3,
求二面角A1-AB-C的大小.17.(2015年新课标1)如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,BE ABCD
⊥平面,
(1)证明:平面AEC⊥平面BED;
(2)若120
ABC
∠=o,,
AE EC
⊥三棱锥
E ACD
-的体积为6,求该三棱锥的侧面积.
18 (2016年新课标1)如图,已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,P A =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面P AB 内的正投影为点E ,连结PE 并延长交AB 于点G . (I )证明:G 是AB 的中点;
(II )在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.
P
A
B
D C
G
E
19(2017年新课标1)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=o (1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ; (2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o , 且四棱锥P-ABCD 的体积为8
3
,求该四棱锥的侧面积.
高三数学立体几何高考题答案
1.答案:B
2.答案:B
3.解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.
V 半圆柱=
12
π×22
×4=8π, V 长方体=4×2×2=16.
所以所求体积为16+8π.故选A. 4.解析:如图,
设球O 的半径为R ,则AH =
23
R , OH =
3
R .又∵π·EH 2
=π,∴EH =1. ∵在Rt△OEH 中,R 2=2
2+13R ?? ???
,∴R 2=98.∴S 球=4πR 2
=9π2.
5.答案:B
6.A [解析] 如图所示,因为正四棱锥的底面边长为2, 所以AE =1
2AC = 2.设球心为O ,球的半径为R ,则OE =4-R ,
OA =R .又因为△AOE 为直角三角形,所以OA 2=OE 2+AE 2, 即R 2=(4-R )2+2,解得R =9
4
,
所以该球的表面积S =4πR 2=4π????942=81π
4. 7.答案:B 8.答案:B
9.试题分析:由三视图知:该几何体是78个球,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=?=, 解得R 2=,所以它的表面积是22
734
2
21784
πππ??+??=,故选A .
10试题分析:如图m ,n 所成角的正弦值为
3
2
11.答案:A 12答案:36π
13解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD
(Ⅱ)如图,作DE ⊥PB ,垂足为E 。已知PD ⊥底面ABCD ,则PD ⊥BC 。 由(Ⅰ)知BD ⊥AD ,又BC//AD ,所以BC ⊥BD 。 故BC ⊥平面PBD ,BC ⊥DE 。 则DE ⊥平面PBC 。
由题设知,PD=1,则BD=3,PB=2, 根据BE·PB=PD·BD ,得DE=23,即棱锥D —PBC 的高为
.2
3
14
15.1)证明:取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B .
因为CA =CB ,所以OC ⊥AB . 由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°, 故△AA 1B 为等边三角形, 所以OA 1⊥AB .
因为OC ∩OA 1=O ,所以 AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ?平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .
(2)解:由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形, 所以OC =OA 13又A 1C 6,则A 1C 2=OC 2+2
1OA ,故OA 1⊥OC .
因为OC ∩AB =O ,所以OA 1⊥平面ABC ,OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高. 又△ABC 的面积S △ABC 3ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3.
P A
B
D
C G E 16.解:方法一:(1)证明:因为A 1
D ⊥平面ABC ,A 1D ?平面AA 1C 1C , 故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ,
平面AA 1C 1C ∩平面ABC =AC ,所以BC ⊥平面AA 1C 1C .
连接A 1C ,因为侧面AA 1C 1C 为菱形,故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .
(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ,BC ?平面BCC 1B 1, 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.
作A 1E ⊥CC 1,E 为垂足,则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.
又直线AA 1∥平面BCC 1B 1,因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离,即A 1E = 3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线,故A 1D =A 1E = 3.
作DF ⊥AB ,F 为垂足,连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB , 故∠A 1FD 为二面角A 1- AB - C 的平面角.
由AD =AA 21-A 1
D 2=1,得D 为AC 中点, 所以DF =
55,tan ∠A 1FD =A 1D DF =15,所以cos ∠A 1FD =1
4
. 所以二面角A 1- AB - C 的大小为arccos 1
4.
17、解:(I )因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD. 因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.
又AC ?平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分
(II )设AB=x ,在菱形ABCD 中,又∠ABC=o
120 ,可得 AG=GC=
3
2x ,GB=GD=2
x . 因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中,可的EG=
3
x . 由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得BE=2x . 由已知得,三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×1
2
AC ·GD ·BE=366x =. 故x =2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6.
所以△EAC 的面积为3,△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25. ……12分
18试题分析:(1)ABC PD 底面⊥ΘPD AB ⊥∴
E PAB D 内的投影为在ΘPAB DE 平面⊥∴
AB DE ⊥∴D PD DE =I ΘPDG AB 平面⊥∴
PG AB ⊥∴ 为正三棱柱ABC P -Θ PB PA =∴
的中点为中,在AB G PAB ?∴ (II )在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ,
F 即为E 在平面PAC 内的正投影.
理由如下:由已知可得PB PA ⊥,⊥PB PC ,又//EF PB ,所以EF PA EF PC ,⊥⊥,因此EF ⊥平面PAC ,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.
连结CG ,因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以D 是正三角形ABC 的中心.
由(I )知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故2
.3
=CD CG
由题设可得⊥PC 平面PAB ,⊥DE 平面PAB ,所以//DE PC ,
因此21
,.33
==PE PG DE PC
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ,可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中,可得 2.==EF PF
所以四面体PDEF 的体积114
222.323
=????=V
19.【解析】(1)由已知90BAP CDP ==?∠∠,得AB AP ⊥,CD PD ⊥. 由于AB CD ∥,故AB PD ⊥,从而AB ⊥平面PAD . 又AB ?平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD .
(2)在平面PAD 内作PE AD ⊥,垂足为E .
由(1)知,AB ⊥平面PAD ,故AB PE ⊥,可得PE ⊥平面ABCD . 设AB x =,则由已知可得2AD x =
,2
2
PE x =
. 故四棱锥P ABCD -的体积31133
P ABCD V AB AD PE x -=??=. 由题设得
318
33
x =,故2x =. 从而2PA PD ==,22AD BC ==,22PB PC ==. 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为
21111
sin 606232222
PA PD PA AB PD DC BC ?+?+?+?=+.