立体几何大题求体积习题汇总
全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何
1．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π
3
，M
为BC 上一点，且BM ＝1
2
.
(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO
图1-4
2．[·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．
(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E - ABC 的体积．
3．[·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A - BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .
(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -
4．[·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P- ABD的体积V＝
3
4
，求A到平面PBC的距离．
5．[·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M- CDE的体积．
图1-2图1-3 6．[·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，
F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积．
7．[·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高．
8．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π
3
，M
为BC 上一点，且BM ＝1
2
.
(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．
9、如图5所示，在三棱锥ABC P -
中，AB BC ==
⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，
3CD =，2=PD ．
（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．
图5
B
P
A
D
10、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ，
G BD AC =?
（1）求证：⊥AE 平面BCE ； （2）求三棱锥C —BGF 的体积。
11、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====1，且F 是CD 的中点．3AF = （Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III) 求此多面体的体积．
12、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a ===，
2AP CP a ==，//DP AM ，且1
2
AM DP =
，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP -的体积.
A B
C
D
E
F
13、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,底面ABCD 的中心是F. (1)求证:CE BD ；
(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D A BC -的体积.
14、矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ?折起到'A BE ?的位置，使'
'
AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点.
（1）求证：F A '⊥CD ；
（2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积.
15、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD ⊥底面，且
2
2
PA PD AD ==
，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.
16、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是AB 的中点， （1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11CDB //平面AC ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。
17、如图1，在正三角形ABC 中，AB=3，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、
BC 边上的点，AE=CF=CP=1。将AFE ?沿EF 折起到1A EF ?的位置，使平面1A EF 与平面BCFE 垂直，连结A 1B 、A 1P （如图2）。
（1）求证：PF//平面A 1EB ；
（2）求证：平面BCFE ⊥平面A 1EB ； （3）求四棱锥A 1—BPFE 的体积。
18、如图所示的长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的
正方形，O 为AC 与BD 的交点，21=BB ，M 是线段11D B 的中点．
191、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。
(1)证明：BC PDC ⊥平面; (2)求三棱锥P DEF -的体积。
20、如图6，在四面体PABC 中，PA=PB ，CA=CB ，D 、E 、F 、G 分别是PA ，AC 、CB 、BP 的中点．
(1)求证：D 、E 、F 、G 四点共面； (2)求证：PC ⊥AB ；
(3)若△ABC 和PAB 都是等腰直角三角形，且AB=2，2=PC ，求四面体PABC 的体积．
21、如图所示，圆柱的高为2，底面半径为7,AE 、DF 是圆柱的两条母线，
22、如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，
60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形ADEF 和平面ABCD 垂直，H
G ,是BE DF ,的中点．
（1）求证：CDE BD 平面⊥；（2）求证：//GH 平面CDE ； （3）求三棱锥CEF D -的体积．
. .
立体几何大题求体积习题汇总
全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何 1．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π 3 ， M 为BC 上一点，且BM ＝1 2 . (1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 图1-4 2．[·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点． (1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E - ABC 3．[·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A - BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．
4．[·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P -ABD的体积V＝ 3 4，求A到平面PBC的距离． 5．[·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF. (1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M -CDE的体积． 图1-2图1-3 6．[·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点． (1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D -BCG的体积．
立体几何体积问题
立体几何体积问题 1、在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且 60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中 点. （1）求证 //FM 平面BDE ； （2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离. 【答案】（1）见解析；（2试题解析 （2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ，连接,EH BH ， 因为四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， 2EA ED AB EF ===， 所以EH AD ⊥， BH AD ⊥， 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ?平面ABCD AD =， 所以EH ⊥平面ABCD ， EH BH ⊥， 因为EH BH ==，所以BE = 所以12BDE S ?==， 设F 到平面BDE 的距离为h ，又因为1 142 2 BDM BCD S S ??=== ， 所以由 E BDM M BDE V V --=，得113 3h =? 解得h = .学
即F到平面BDE的距离为15 ． 5 2、如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EF DC，平面ABCD⊥平面CDEF，AE CF ⊥. (1)求证CF DE ⊥； (2)若CF DE ==，求五面体ABCDEF的体积. =，24 DC EF 【答案】(1)见解析(2) 20 3 （Ⅱ）连接FA，FD，过F作FM⊥CD于M， 因为平面ABCD⊥平面CDEF且交线为CD，FM⊥CD， 所以FM⊥平面ABCD． 因为CF＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE， 所以FM＝CM＝1，学
高中立体几何大题20题汇总
(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与 点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG； （2)求多面体CDEFG的体积。 【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥ 平面CFG. （2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为 1112 S正方形GO5520 DECF 335 Word资料
2012，山东(19)(本小题满分12分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形， CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE； (Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD， 又已知CEBD，所以BD平面OCE. 所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线， 所以BEDE. (II)取AB中点N，连接MN,DN， ∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB. 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC， 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. Word资料
BC2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD A D FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F 11 是平面B1C1E与直线AA1的交点。A1 B1 D1 (第20题图) C1 （Ⅰ）证明：（i）E F//A 1D1;（ii）BA1平面B1C1EF; （Ⅱ）求B C与平面 1 B CEF所成的角的正弦值。 11 解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。 （Ⅰ）（i）因为C1B1//A1D1,C1D1平面ADD1A1,所以C1B1//平面A1D1DA. 又因为平面B1C1EFI平面A1D1DAEF,所以C1B1//EF, 所以A1D1//EF. （ii）因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1. 又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1. 2 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B, 2 即A1B1FAA1BBA1B1F. 所以BA1平面B1C1EF. A B C D （Ⅱ）设BA1与B1F交点为H，连接C1H, 由（Ⅰ）知BA1平面B1C1EF. F E H B1 A1 D1 C1
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A C D 图2 B A C D 图1 1 C 1B 1 A 1D C B A D F E 1，(本小题满分14分)如图（1），ABC ?是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ?沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （Ⅰ）求证：EF A C '⊥； （Ⅱ）求三棱锥BC A F '-的体积． 2，（本小题满分13分） 如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面 平面,得到几何体,如图2所示. (Ⅰ) 求证:平面； (Ⅱ) 求几何体的体积. 3，（本小题满分14分）、已知几何体1111ABCD A B C D -的直观图如图所示，其三视图中主视图是长边为3的矩形，左视图是边长为2有一个角等于60°的菱形。 （1）求证平面1AD C ⊥平面11A DCB （2）求四棱锥1111D A B C D -的体积 4．（本小题满分12分） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱1111,,,AB CC D A BB 的中点. （1）证明：//FH 平面1A EG ； （2）证明：AH EG ⊥； （3）求三棱锥1A EFG -的体积. 5.（本小题满分14分） 如图，已知三棱锥A-BPC 中，AP ⊥PC, AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 (Ⅰ) 求证：DM ∥平面APC ：(Ⅱ) 求证：平面ABC ⊥平面APC ； (Ⅲ) 若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM 的体积． 6．（本小题满分12分）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 中点,AC BD F =. (Ⅰ) 求证:CE ⊥BD ；(Ⅱ) 求证:CE ∥平面1A BD ； (Ⅲ) 求三棱锥1D A BC -的体积. ABCD 90ADC ∠=?//CD AB 4,2AB AD CD ===ADE ?AC ADE ⊥ABC D ABC -BC ⊥ACD D ABC -3 2 2 A 1 B 1 A D C B D 1 C 1 俯视图 左视图 主视图 A C A 1E F
立体几何大题求体积习题汇总 (1)
全国各地高考文科数学试题分类汇编：体几何 1．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P-ABCD PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π 3，M为 (1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥的体积． 图1-4 2．[·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC， AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点． (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E - 的体积． 3．[·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A - BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD (1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A - MBC的体积． 4．[·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P - ABD的体积V ＝ 3 4，求A到平面PBC的距离． 5．[·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF. (1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M - CDE的体积． 图1-2图1-3
6．[·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点． (1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D -BCG 的体积． 7．[·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高． 8．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形， PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12 . (1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积． 图1-4 9、如图5所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ． （1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形． 10、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ， AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ，G BD AC =? （1）求证：⊥AE 平面BCE ； （2）求三棱锥C —BGF 的体积。 11、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====1， 且F 是CD 的中点．3AF = （Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III) 求此多面体的体积． 12、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a ===，2AP CP a ==，//DP AM ，且12 AM DP =，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP -的体积. 13、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,底面ABCD 的 中心是F. (1)求证:CE ?BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D A BC -的体积. A B C D E F 图5
立体几何体积的求解方法
立体几何体积的求解方法 重要知识 立体几何体体积的求解始终要谨记一个原则：找到易于求解的底面（面积）和高（椎体就是顶点到底面的距离）。而这类题最易考到的就是椎体的体积（尤其是高的求解）。 求椎体体积通常有四种方法： （1）直接法：直接由点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。 （2）转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。 （3）分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。 （4）向量法：利用空间向量的方法（理科）。 典型例题 方法一：直接法 例1、（2014?南充一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．求四棱锥B﹣AA1C1D的体积． 例2、如图已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．
变式1、（2014?漳州模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F 是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积． 变式2、（2015?安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。求三棱锥P﹣ABC的体积； 方法二：转移法 例3、（2015?重庆一模）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB 为正三角形．若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．
专题一立体几何大题中有关体积的求法
A P B C D H 专题一：立体几何大题中有关体积的求法 角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。 一公式法 1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2.（2011广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A ．43 B ．4 C ．23 D ．2 练习 3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________. 4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [来 二、转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体 中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 5例 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱 11111A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B = ，112A N ND =，113 4 A P A A =（如图1）， 试求三棱锥1A MNP -的体积． 6练习（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB 求点B1 到平面EA1C1 的距离 三、割补法 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法． 7例已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB , 60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。 8练习 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分， 已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ， 求几何体EFGH ABCD -的体积。 10四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52， 求四面体ABC S -的体积。 巩固练习 11. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ? ∠=，PA 垂直于底面ABCD ， S C D H E B F
立体几何求体积大题
立体几何中有关体积问题 一、知识归纳 1、柱体体积公式：.V S h = 2、椎体体积公式：1 .3V S h = 3、球体体积公式：3 43 V R π= 二、点到平面的距离问题 求解方法： 1、几何法：等体积法求h 2、向量法： 点A 到面α的距离AB n d n ?=u u u u r r r 其中，n → 是底面的法向量，点B 是面α内任意一点。 题型分析： 1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥,1AB BB ⊥ 12AC BC BB ===,D 为AB 中点，且1CD DA ⊥ （1）求证：1BB ABC ⊥平面 （2）求证：1BC ∥平面1CA D (3)求三棱椎11-A B DC 的体积 2、如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE ?是等边三角形，侧面ADE ABCD ⊥地面,AB ∥DC ，且 2435BD DC AD AB ====，，. （1）若F 是EC 上任意一点，求证：面BDF ADE ⊥面 (2)求三棱锥C BDE -的体积。 3、如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别为 1DD DB 、的中点。 （1）求证：EF ∥平面11ABC D (2)求证1EF B C ⊥ （2）求三棱锥1B EFC -的体积。 1 A 1 B 1 C A D C B 1 A 1 B 1 C A E C B D F 1D A E C B D F
4、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形， AB∥CD,AC BD ⊥,垂足为H，PH是四棱锥的 高。 （Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD; （Ⅱ）若6 AB=,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱 锥P ABCD -的体积。 5、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD为平行四 边形，60 DAB ∠=?，2 AB AD =，PD⊥底面ABCD． （I）证明：PA BD ⊥； （II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高． 6、如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面， ∠ACB=90°，AC=BC= 1 2 AA1，D是棱AA1的中点。 (Ｉ) 证明：平面BDC1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积 的比。 7、（2013乌市二诊）如图，在正方体中,E、F分别为 1 C C、BD的中点. (I)求证： 1 A F丄平面EDB; (II)若AB =2，求点B到平面A1DE的距离. 8、（（如图，在三棱锥P ABC -中， B1 C B A D C1 A1 A C B D P H
立体几何-文科大题求体积
A B C D 图2 B A C D 图1 1 C 1B 1A 1D C B A D F E 1，(本小题满分14分)如图（1），ABC ?是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ?沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （Ⅰ）求证：EF A C '⊥； （Ⅱ）求三棱锥BC A F '-的体积． 2，（本小题满分13分） 如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面 平面,得到几何体,如图2所示. (Ⅰ) 求证:平面； (Ⅱ) 求几何体的体积. 3，（本小题满分14分）、已知几何体1111ABCD A B C D -的直观图如图所示，其三视图中主视图是长边为3的矩形，左视图是边长为2有一个角等于60°的菱形。 （1）求证平面1AD C ⊥平面11A DCB （2）求四棱锥1111D A B C D -的体积 4．（本小题满分12分） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱1111,,,AB CC D A BB 的中点. （1）证明：//FH 平面1A EG ； （2）证明：AH EG ⊥； （3）求三棱锥1A EFG -的体积. 5.（本小题满分14分） 如图，已知三棱锥A-BPC 中，AP ⊥PC, AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 (Ⅰ) 求证：DM ∥平面APC ：(Ⅱ) 求证：平面ABC ⊥平面APC ； (Ⅲ) 若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM 的体积． 6．（本小题满分12分）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 中点,AC BD F =I . (Ⅰ) 求证:CE ⊥BD ；(Ⅱ) 求证:CE ∥平面1A BD ； (Ⅲ) 求三棱锥1D A BC -的体积. ABCD 90ADC ∠=?//CD AB 4,2AB AD CD ===ADE ?AC ADE ⊥ABC D ABC -BC ⊥ACD D ABC -3 2 2 A 1 B 1 A D C B D 1 C 1 俯视图 左视图 主视图 A B C D A 1 B 111E F G H
立体几何大题求体积习题汇总
全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何 n 1.［重庆卷20］如图1-4所示四棱锥 P-ABCD 中，底面是以 0为中心的菱形，P0丄底面ABCD , AB = 2,/ BAD =-3， 1 M 为BC 上一点，且BM =勺 (1)证明：BC 丄平面POM ; (2)若MP 丄AP ,求四棱锥 P-ABMO 的体积.(1)证明：CF 丄平面 MDF ; (2)求三棱锥 M - CDE 的体积. 图1-2 图1-3 6. ［辽宁卷19］如图1-4所示，△ ABC 和厶BCD 所在平面互相垂直，且 AB = BC = BD = 2,/ ABC =/ DBC = 120°, E , F , G 分别为AC , DC , AD 的中点. (1)求证：EF 丄平面BCG ;⑵求三棱锥 D -BCG 的体积. 7. ［全国新课标卷I 19］如图1-4，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为 O,且AO 丄平面BB 1C 1C. (1)证明：B 1C 丄 AB ; (2)若 AC 丄 AB 1,/ CBB 1= 60°, BC = 1，求三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的高. n & ［重庆卷20］如图1-4所示四棱锥 P-ABCD 中，底面是以 O 为中心的菱形，PO 丄底面ABCD , AB = 2,/ BAD =三, 1 M 为BC 上一点，且 BM = 2. (1)证明：BC 丄平面POM ; (2)若MP 丄AP ,求四棱锥 P-ABMO 的体积. 图1-4 9、如图5所示，在三棱锥 P ABC 中，AB BC ,6，平面PAC 平面ABC , PD AC 于点D , AD 1 , CD 3, PD 2. (1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)证明△ PBC 为直角三角形. 10、 如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，AD 平面ABE ,AE=EB=BC=2 , F 为CE 是的点，且BF (1)求证：AE 平面BCE ; 11、 如图，已知AB 丄平面ACD , 平面 ACE , AC BD G C — BGF 的体积。 AC DE 2AB =1, (2)求三棱锥 DE // AB , AD 且F 是CD 的中点.AF , 3 (I)求证：AF //平面BCE ; (n)求证：平面 BCEL 平面 CDE ; (III) 求此多面体的体积. 12、在如图 4所示的几何体中, 平行四边形 ABCD 的顶点都在以 AC 为直径的 圆O 上，AD CD DP AP CP . 2a , 1 ，且 AM —DP , 2 (I)证明：EF //平面ADP ; (II)求三棱锥M DP // AM E, F 分别为 BP,CP 的中点. ABP 的体积. 13、在棱长为a 的正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是线段A 1C 1的中点，底面ABCD 的 C 图4 B '■ 2. ［北京 卷17］如图1-5，在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面， AB 丄BC A 1C 1, BC 的中点. (1)求证：平面 ABE 丄平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F //平面 ABE ; (3)求三棱 图1-4 A 1 = AC = 2, BC = 1, E , F ［ 圭E - ABC 的体积. ［福建卷19］如图1-6所示，三棱锥 A - BCD 中，AB 丄平面BCD , CD 丄BD. (1)求证：CD 丄平面 ABD ; (2)若AB = BD = CD = 1 , M 为AD 中点，求三棱锥 A - MBC 的体积. ［新课标全国卷n 18］如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 丄平面ABCD , E 为PD 的中. (1)证明：PB //平面AEC ; (2)设AP = 1 , AD =书，三棱锥P - ABD 的体积V =￥,求A 到平面' PBC 的距 ［广东卷18］如图1-2所示，四边形 ABCD 为矩形，PD 丄平面ABCD , AB = 1, BC = PC = 2，作如图 点 \ 5. 痕EF // DC ,其中点E , F 分别在线段PD , PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为 M ，并且MF 丄CF. ::折
立体几何表面积体积练习题
立体几何表面积体积练 习题 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
柱体、锥体、台体的表面积 一、选择题 1．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2 ，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，且侧面A 1ABB 1与侧面A 1ACC l 的面积相等，则∠BB 1C 1等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ） A ．10cm B ．52cm C ．512 +πcm D ．425 2+πcm 4．中心角为43 π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则 A ∶ B 等于（ ） A ．11∶8 B ．3∶8 C ．8∶3 D ．13∶8 5．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （a 专题立体几何大题中有关体积的求法
A P B 专题：立体几何大题中有关体积的求法 角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法 1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A ． B ．4 C ． D ．2 练习 3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________. 4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [ 二、转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 例 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱 1111 1A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B =，112A N ND =，113 4 A P A A =（如图1），试求三棱锥1A MNP -的体积． 三、割补法 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几 何体的体积之比时经常要用到分割法． 7例已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB , 60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。
8练习 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分， 已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ， 求几何体EFGH ABCD -的体积。 10四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52， 求四面体ABC S -的体积。 巩固练习 11 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ? ∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。 (1) 求四棱锥ABCD P -的体积V ；（2）求截面ADMN 的面积。 C
最新立体几何求体积题目
1、如图5所示，在三棱锥ABC P - 中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =， 3CD =，2=PD ． （1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形． 2、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ， G BD AC =? （1）求证：⊥AE 平面BCE ； （2）求三棱锥C —BGF 的体积。 3、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====1，且F 是CD 的中点．AF = （Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III) 求此多面体的体积． 4、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a === ， AP CP ==，//DP AM ，且1 2 AM DP = ，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP -的体积. A B C D E F (18题图) 图5 B P A D
5、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,底面ABCD 的中心是F. (1)求证:CE ⊥BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D A BC -的体积. 6、矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ?折起到'A BE ?的位置，使' ' AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点. （1）求证：F A '⊥CD ； （2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积. 7、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD ⊥底面，且 2 P A P D A D == ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.
立体几何表面积体积练习题
柱体、锥体、台体的表面积 一、选择题 1．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，且侧面A 1ABB 1与侧面A 1ACC l 的面积相等，则∠BB 1C 1等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ） A ．10cm B ．52cm C ．512 +πcm D ．425 2+πcm 4．中心角为43 π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等 于（ ） A ．11∶8 B ．3∶8 C ．8∶3 D ．13∶8 5．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （a 立体几何求体积大题
1 立体几何中有关体积问题 一、知识归纳 1、柱体体积公式：.V S h = 2、椎体体积公式：1 .3V S h = 3、球体体积公式：3 43 V R π= 二、点到平面的距离问题 求解方法： 1、几何法：等体积法求h 2、向量法： 点A 到面α的距离AB n d n ?=u u u u r r r 其中，n → 是底面的法向量，点B 是面α内任意一点。 题型分析： 1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥,1AB BB ⊥ 12AC BC BB ===,D 为AB 中点，且1CD DA ⊥ （1）求证：1BB ABC ⊥平面 （2）求证：1BC ∥平面1CA D (3)求三棱椎11-A B DC 的体积 2、如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE ?是等边三角形，侧面ADE ABCD ⊥地面,AB ∥DC ，且 2435BD DC AD AB ====，，. （1）若F 是EC 上任意一点，求证：面BDF ADE ⊥面 (2)求三棱锥C BDE -的体积。 3、如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别为 1DD DB 、的中点。 （1）求证：EF ∥平面11ABC D (2)求证1EF B C ⊥ （2）求三棱锥1B EFC -的体积。 1 A 1 B 1 C A D C B 1 A 1 B 1 C A E C B D F 1 D A E C B D F
2 4、如图，已知四棱锥P ABCD - 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB = ,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥 P ABCD -的体积。 5、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 6、如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点。 (Ｉ) 证明：平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 7、（2013乌市二诊）如图，在正方体中,E 、F 分别为 1C C 、BD 的中点. (I)求证：1A F 丄平面EDB; (II)若AB =2，求点B 到平面A1DE 的距离. B 1 C B A D C 1 A 1 A C B D P H
立体几何求体积大题
一、知识归纳 1、柱体体积公式：.V S h = 2、椎体体积公式：1 .3V S h = 3、球体体积公式：3 43 V R π= 二、点到平面的距离问题 求解方法： 1、几何法：等体积法求h 2、向量法： 点A 到面α的距离AB n d n ? 其中，n → 是底面的法向量，点B 内任意一点。题型分析： 1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC BB ===,D 为AB （1）求证：1BB ABC ⊥平面 （2）求证：1BC ∥平面1CA D (3)求三棱椎11-A B DC 的体积 2、如图，在四棱锥E ABCD -角形，侧面ADE ABCD ⊥地面,243BD DC AD AB ====，，（1）若F 是EC 上任意一点，(2)求三棱锥C BDE -的体积。 3、如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别为1DD DB 、的中点。 （1）求证：EF ∥平面11ABC D (2)求证1EF B C ⊥ （2）求三棱锥1B EFC -的体积。 4、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。 PAC ⊥ 平面PBD ; 若AB = ,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥 ABCD -的体积。 P ABCD -中，底面ABCD 为平行60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面 ． I ）证明：PA BD ⊥； II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 、如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面， ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点。 Ｉ) 证明：平面BDC 1⊥平面BDC BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体 （2013乌市二诊）如图，在正方,E 、F 分别为1C C 、BD 的中. 求证：1A F 丄平面EDB; 若AB =2，求点B 到平面A1DE 的距离. 、（（如图，在三棱锥P ABC -， A ==,CA C B ==,A C BC ⊥ (1)求证：PC AB ⊥ (2)求点B 到平面PAC 的距离。 C B A D C 1 A 1
文科高考数学立体几何大题求各类体积方法
A B C D P A B C D P 文科高考数学立体几何大题求各类体积方法 【三年真题重温】 1.【2011?新课标全国理，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ； (Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA BD ⊥；
(Ⅱ) 设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高． 根据DE PB PD BD ?=?，得32DE =．即棱锥D PBC -的高为32 ． 3.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯 形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点. （1） 证明：PE ⊥BC （2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值 【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角 等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.
4.【2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等 腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若 6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。 5.【2012 新课标全国理】（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1