陕西省咸阳市兴平市西郊中学2019-2020年高一上学期期中考试数学(含解析)

陕西省咸阳市兴平市西郊中学2019-2020年高一上学期期中考试

数学

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，那么集合{}2,7是（） A. A

B B. A B

C. ()U C A

D. ()U C A B ?

【答案】D 【解析】【分析】分别求解A B ,()U C A B ,A B ,()U C A B ?,即可得出答案.

【详解】

{}1,2,3,4,5,6,7U =

{}{}{}3,4,51,3,63A B ?=?=

∴(){}1,2,4,5,6,7U C A B ?=

{}{}{}3,4,51,3,6=1,3,4,5,6=A B ??

∴ (){}2,7U C A B ?=

故选:D.

【点睛】本题考查了集合的补集,并集和交集运算,掌握集合运算基本知识是解题关键,属于基础题. 2.设25a b m ==，且11

2a b

+=，则m = ( ) 10 B. 10

C. 20

D. 100

【答案】A 【解析】【分析】

将指数式化为对数值，然后利用对数运算公式化简

2a b

+=，由此求得m 的值. 【详解】由25a b m ==得25log ,log a m b m ==，所以11

log 2log 5log 102m m m a b

+=+==，

210,10m m == A.

【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，考查对数运算，属于基础题. 【此处有视频，请去附件查看】

3.若函数()f x 满足(32)98f x x +=+,则()f x 的解析式是( ) A. ()98f x x =+ B. ()32f x x =+

C. ()34f x x =--

D. ()32f x x =+或()34f x x =--

【答案】B 【解析】

【详解】试题分析：设()()2

32328323

t t x x f t t t -=+∴=

∴=-+=+ ()32f x x ∴=+,故选B.

考点：换元法求解析式

4.已知2

()(1)33f x m x mx =-++为偶函数，则()f x 在区间(4,2)-上为（）

A. 增函数

B. 增函数

C. 先增后减

D. 先减后增

【答案】C 【解析】试题分析：因为

为偶函数，所以

，即

，

根据对应系数相等可得，

，

．

函数的图像是开口向下对称轴为轴的抛物线，所以此函数在

上单调递增，在

上单调递减．故C 正确．

考点：1偶函数；2二次函数的单调性．

【方法点睛】本题重点考查偶函数和二次函数的单调性，难度一般．本题可以根据偶函数的定义

由对应系数相等求得

的值，也可以根据偶函数图像关于轴对称求得

的值，但此方法

前须验证

时不满足题意．二次函数的单调性由图像的开口方向和对称轴决定，根据这两点即可求

得二次函数的单调性．

5.某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p %为（）

A. 10%

B. 12%

C. 20%

D. 25%

【答案】D 【解析】【分析】

欲求税率,只须求出去年的总收入即可,而总收入由两部分构成:去年的利润,广告费超支.根据税率公式计算即得答案.

【详解】由题意得,去年的利润为:

1000500200300--=(万元)

广告费超支:200(10002%)180-?=(万元) 税率为:

120

25%300180

故选:D.

【点睛】根据题意列出利润,广告费超支和税率是解题关键,考查运算求解能力,解决实际问题的能力,属于基础题. 6.已知5

,6()(2),6x x f x f x x -≥?=?+

，则(3)f 为（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】A 【解析】【分析】

根据自变量范围代入对应解析式，解得结果. 【详解】(3)(32)(52)752f f f =+=+=-= 故选：A

【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题. 7.若()2lg 2lg lg x y x y -=+，则2log x

等于（） A. 0 B. 2或0

C. 2

D. -2或0

【答案】B 【解析】【分析】

根据对数的运算性质,可将原方程化为22

540x xy y -+=,通过换元法求解

的值,即可得到答案. 【详解】

()2lg 2lg lg x y x y -=+

2lg(2)lg()x y x y ∴-=?

2(2)x y x y ∴-=?，22540x xy y -+=

令,0x

t t y

>，则2540t t -+= 解得:4t =或1t =

2log log 42x

∴==或22log log 10x y ==

故选:B.

【点睛】解对数方程时,要将方程化为同底数对数形式,利用真数相等求解方程,这是解本题的关键. 8.函数f(x)＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间 A. (5,6) B. (3,4) C. (2,3) D. (1,2)

【答案】B 【解析】

试题分析：根据零点存在性定理，因为，

所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B 考点：零点存在性定理

9.已知01a <<，则方程log x

a a x =实数根个数是（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 与a 无关

【答案】A 【解析】【分析】

画出||

x y a =和log a y x =的函数图像,根据图像即可得出交点个数. 【详解】画出||

x y a =和log a y x =的函数图像

由图像可知两函数图像有两个交点,故方程log x

a a x =的

有两个根.

故选:A.

【点睛】将求解log x

a a x =实数根个数转化为求解||

x y a =和log a y x =的函数交点个数,数形结合是解

本题的关键.

10.定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)( ) A. 在[－7,0]上是增函数，且最大值是6 B. 在[－7,0]上是减函数，且最大值是6 C. 在[－7,0]上是增函数，且最小值是6 D. 在[－7,0]上是减函数，且最小值是6 【答案】B 【解析】

【详解】

∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数， ∴函数在[-7，0]上是减函数.

又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)， ∴最大值为f(7)=f(-7)=6. 故选B.

11.已知y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图像如下图：

则F（x）＝f（x）·g（x）的图像可能是下图中的（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析：在时，沿轴正方向f（x）先为负值后为正值，而g（x）恒为正值，所以F（x）＝f（x）·g （x）也必须先为负值，后为正值，可能选项为A，D，同理在时，f（x）先为负值后为正值，而g（x）恒为负值，所以F（x）＝f（x）·g（x）也必须先为正值，后为负值，可能选项为A；综上所述，正确选项应该为A．

考点：函数的图象．

【方法点睛】本题主要考查函数的图象，判断函数的大致图像是否正确，主要从以下几点取判断：1、函数的零点（多适用于某函数零点已知）；2、函数正负值所对区间（多适用于两函数相乘）；3、函数的单调性区间（适合于两函数求和或者求差）．本题为f（x）·g（x）所以选用函数正负值所对区间这一方法．

12.若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，()4

g x

=是奇函数，则a＋b的值是

A. 1

B. 1

- D. －1

【答案】A 【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性求得a ,b 的值，然后计算a +b 的值即可.

【详解】偶函数满足()()11f f -=，即：()

()1

lg 101lg 101a a -+-=++，解得：12

a =-

，奇函数满足()00f =，则00

402

-=，解得：1b =，则11122

a b +=-

+=. 本题选择A 选项.

【点睛】本题主要考查奇函数的性质，偶函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.若函数()y f x =的定义域为[0，2]，则函数(2)

()1

f x

g x x =-的定义域是_______．【答案】[0,1) 【解析】【详解】由10

022x x -≠??

≤≤?

，得0≤x<1，

即定义域是[0，1)，故答案为[)0,1． 14.函数y =lnx 的反函数是__________. 【答案】x

y e = ()x R ∈ 【解析】分析】

由函数ln y x =解得y x e =,把x 与y 互换即可得出【详解】

函数ln y x =

∴ y x e =

把x 与y 互换可得:x

y e = ()x R ∈

原函数的反函数为:x

y e = ()x R ∈ 故答案为:x

y e = ()x R ∈

【点睛】在求解反函数时,要先求出原函数的值域,因为原函数的值域是反函数的定义域,这是解本题关键.

15.函数12log x

y =的递增区间是__________.

【答案】(,0)-∞ 【解析】【分析】

令||t x =,当0x >,||t x =是增函数;当0x <,||t x =是减函数.对于

log y x =在定义域上是减函数, 根

据复合函数单调性同增异减,即可得出函数12

log x

y =的递增区间.

【详解】令||t x = 当0x > ||t x =是增函数当0x < ||t x =是减函数对于

log y x =在定义域上是减函数

根据复合函数单调性同增异减

∴ 12

log x

y =在0x <上是单调递增.

故答案为:(,0)-∞.

【点睛】对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性. 16.函数y a =与函数2

1y x x =-+的图像有四个交点，则a 的取值范围是____________．

【答案】3,14?? ???

【解析】

试题分析：函数2

1y x x =-+的图象如下图所示，结合图象可得：当

a <<时，函数21y x x =-+与y a =的图象有四个交点，所以实数a 的取值范围是3,14??

???

．

考点：方程根的存性及根的个数的判定．

【方法点晴】本题主要考查了方程根的

存在性及根的个数的判定，着重考查了一元二次函数的图象与性质，函数与方程关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想和数形结合思想的应用，本题解答的关键在于作出函数2

1y x x =-+的图象，借助数形结合法求解．属于中档试题．

三、解答题（共6小题，共70分）

17.(1)计算：()1

037272lg 5()964-??++ ???

(2)解方程3log (69)3x

-= 【答案】(1) 4 (2) 2x = 【解析】【分析】

(1)利用指数的运算法则即可得出答案.

(2)将3log (69)3x

-=化简为33log (69)log 27x

-=,即可得出答案. 【详解】(1) ()11232

57272lg 5()4

396413-?

????=++ ? ?

??++ ?

1433

=++= (2)由方程3log (69)3x

-= 得33log (69)log 27x

-=,

6927x ∴-= 26366x ∴==

2x ∴=

经检验,2x =是原方程的解,故原方程的解为2x =

【点睛】本题考查了指数的运算和求解对数方程.解对数方程时,要将方程化为同底数对数形式,利用真数相等求解方程,这是解本题的关键,属于基础题. 18.讨论函数()a

f x x x

=+(a >0)在[,)x a ∈+∞的单调性并证明. 【答案】答案见解析【解析】【分析】

根据定义法证明函数单调性,即在函数的定义域内任取12,[,)x x a ∈+∞,且12x x <,可通过作差法比较

()1f x 和()2f x 大小,即可得到()f x 单调性

【详解】在函数的定义域内任取12,[,)x x a ∈+∞,且12x x < 则()()()1212121212=1a a a f x f x x x x x x x x x ??

-=+

---- ???

12x x a >≥故12

01a

x x <

< ∴ 12

10-

x x ∴ ()()120f x f x -> 故()f x 在[,)a +∞上是单调增函数.

【点睛】本题考查了用定义法证明函数单调性.在用定义法证明函数单调时要注意在所给定义内要任取两个自变量12,x x ,化简()()21f x f x -表达式, ()()21>0f x f x -时()f x 单调递增, ()()21<0f x f x -时()f x 单调递减.

19.已知奇函数222,(0)()0,

(0),(0)x x x f x x x mx x ?-+>?

==??+

. （1）求实数m 的值；

（2）做()y f x =的图象（不必写过程）；

（3）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）2；（2）图象见解析；（3）13a .

【解析】【分析】

（1）求出当x ＜0时，函数的解析式，即可求得m 的值；（2）分段作出函数的图象，即可得到y =f （x ）的图象；

（3）根据图象，利用函数f （x ）在区间[﹣1，a ﹣2]上单调递增，建立不等式，即可求a 的取值范围．【详解】（1）设x ＜0，则﹣x ＞0，∴f （﹣x ）=﹣x 2﹣2x ∵函数是奇函数，∴f （x ）=﹣f （﹣x ）=x 2+2x （x ＜0） ∴m =2；

（2）函数图象如图所示：

（3）要使()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，结合图象可知，﹣1＜a ﹣2≤1，∴1＜a ≤3．所以实数a 的取值范围是(1,3]．

【考点】利用奇函数的定义求解析式，从而确定m 值；利用函数的单调性确定参数a 的取值范围．【点睛】利用数形结合的方法是解决本题的关键． 20.已知函数()12

()log 1f x x =

-的定义域为集合A ，函数22()31m x x g x +-=-的值域为集合B ，且

A B B ?=，求实数m 的取值范围.

【答案】0m ≥. 【解析】

【详解】试题分析：根据函数的定义域和指数函数的性质，得到集合,A B ，再利用A B B ?=，即可求解实数m 的取值范围.

试题解析：由题意得{}(

1|12,1,13m

A x x

B +?=<≤=--+?

由A B B ?=，得A B ?

即1132m +-+≥，133m +≥，11m +≥，得0m ≥ 考点：函数的定义域与值域；集合的运算. 21.已知集合{

}

|320,A x R ax x a R =∈-+=∈. （1）若A 是空集,求a 的取值范围；

（2）若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素写出来. 【答案】（1）98a >（2）0a =时,2{}3A =；98a =时，43A ??

=????

【解析】

【详解】试题分析：（1）有由A 是空集,可得方程2320ax x -+=无解，故980a ?=-<，由此解得a 的

取值范围；（2）若A 中只有一个元素，则0a =或980a ?=-=，求出a 的值，再把a 的值代入方程

2320ax x -+=，解得x 的值，即为所求.

试题解析：（1）要使A 为空集,方程应无实根,应满足0,0.

a ≠???.

（2）当0a =时,方程为一次方程,有一解2

x =

；当0a ≠,方程为一元二次方程,使集合A 只有一个元素的条件是0?=,解得98

a =,43x =.

∴0a =时,23A ??

=????

，元素为：

； 98a =时，43A ??

=????

.元素为： 43

22.若f (x )是定义在(0，+∞)上的增函数，且()()()x

f f x f y y

=- (1)求f (1)的值；

(2)若f (6)=1，解不等式f (x +3)?f (

)<2. 【答案】(1) 0 (2) 3317|02x x ?-+?<

【解析】分析】

(1)令1x y ==,即可求得(1)f .

(2)利用()()x f f x f y y ??

???

和(6)1f =对1(3)2f x f x ??

+-< ???

,结合单调性即可求出答案. 【详解】(1)

()()x f f x f y y ??

=- ???

令1x y ==得:()1(1)(1)f f f =- 故:(1)0f =

(2)

()()x f f x f y y ??

=- ???

1(3)2f x f x ??

∴+-< ???

化简为:()()32f

x x +<

即()()311f x x +-<

又

(6)1f = 可得: ()()3(6)(6)f

x x f f +-<

∴ ()3(6)6x x f f +??< ???

()f x 是定义在(0，+∞)上的增函数

∴则:()3010366x x x x

?+>??>??

┄①┄②┄③

解①得3x >- 解②得0x >

解③:当2336=0x x +-得:39436

x -±+?=

()366

x x +<

(3)36x x ∴+?< 0x >

23360x x ∴+-< 得方程的解为:3317

0x -+<<

综上所述,原不等式的解集为3317|0x x ?-+?<<

????

. 【点睛】利用函数单调性解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式,然后根据函数的单调性去掉"f ",转化为具体的不等式(组),此时要注意g()x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.

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