机械原理第三章

第三章 平面机构运动分析

3.1 复数向量及其性质

图3-1

平面上的向量R

可以用复数表示，如图3-1所示

()???sin cos R j R Re j +==

(3-1)

式中

R ——向量R

的模

?——向量R

的幅角

j ——虚数单位，1-=j

?j e ——单位向量，其模等于1，表示向量的方向。 单位向量有如下性质：

① ()θ?θ?+=?j j j abe be ae (3-2)

② ?

?? ?

?+=2π??

j j e je (3-3) ③ ()π???+=-=?j j j e e je j (3-4) ④ 1=?-??j j e e (3-5)

3.2 复数向量的微分与速度、加速度

设向量?j Re =R

表示点A 相对于固定参考坐标系原点的位置，其对时间的一

阶导数为

()

????j j j je R e R

Re dt

d dt d v +===R (3-6) 式中

?j e R

——径向速度，R 是其大小，?j e 为其方向 ??

j je R ——切向速度，? R 是其大小，?j je 为其方向，如图3-2所示。

图3-2

将式(3-6)再次时间求导，有

???????j j j j je R je R e R e R dt

v d dt d a

2R 22

2++-=== (3-7) 式中

?j e R

——径向加速度，大小R ，方向?j e ??

j e R 2 -——法向加速度，大小2? R ，方向?j e - ??

j je R ——切向加速度，大小? R ，方向?j je ??j je R

2——哥氏加速度，大小? R 2，方向?j je 上述加速度分量如图3-3所示。

图3-3

3.3 铰链四杆机构的运动分析

机构的运动分析需要解决三个问题，位移、速度和加速度，其中位移的求解是最困难的。这是因为机构的位置方程往往是非线性方程或方程组。在位移已知的情况下，速度和加速度方程是线性的。所以说，机构的位移分析是机构运动分

析的难点。

如图3-4所示，铰链四杆机构由一个双杆组和机架与原动件组成，是最简单的机构形式。对它的运动分析是研究可分解为一系列双杆组的机构运动分析的基础。

图3-4

3.3.1 位置分析

位置分析以向量约束方程为基础。对于机构的每一个闭环，向量多边形可以有两种形式：(1)一个连续的头尾相接的封闭链；(2)到达同一个点的两条不同路径所确立的两个分支。

如图3-4所示，铰链四杆机构OABC ，以O 点为原点，建立复数坐标系，x 轴为实轴，jy 为虚轴。向量杆长为1R ，幅角1?；向量杆长为2R ，幅角2?；向量杆长为3R ，幅角3?；向量杆长为4R ，幅角4θ，其中，各向量幅角均为从x 轴指向该向量的角。则该四杆机构的四个向量可以表示为：

4

3

214321OC AB θ???j j j j e R e

R e R e R ====

对于铰链四杆机构OABC ，已知机构尺寸1R 、2R 、3R ，4R ，4θ，原动件运

动参数1?，1?

和1? ，求解2?、3?以及速度、加速度。 以B 点为研究对象，可以建立向量方程为

43214321θ???j j j j e R e R e R e R +=+ (3-8) 该方程中含有两个未知量2?和3?，方程有唯一解。

将式(3-8)中第一项移至等号右侧，再将等号左右两边同时乘以各自的共轭复数有：（得复数的模的平方）

()()()()1431432214314322?θ??θ???j j j j j j j j e R e R e R e R e R e R e R e R -----+-+=

展开 ()()()()()()

41311434134341314134-13-4321242322-θ????θ?θ??θ?-------++++=j j j j j j e R R e R R e R R e R R e R R e R R R R R R

展开成三角函数形式得 )cos(2)cos(2)-cos(241413131434321242322θ???θ?----+++=R R R R R R R R R R 此方程中只含有一个未知数3?，将含有未知数的项展开合并移到等式左边，已

知项移到等式右边得：

()[])cos(2sin sin sin cos )cos cos (24141212

4232231144311443θ???θ??θ-+---=-+-R R R R R R R R R R R 整理得

()[]

)cos(221sin sin sin cos )cos cos (4141212

423223

3114431144θ???θ??θ-+---=

-+-R R R R R R R R R R R 令

[]

)cos(221sin sin cos cos 4141212

423223

11441144θ??θ?θ-+---=

-=-=R R R R R R R C R R B R R A (3-9)

有

C B A =+33sin cos ?? (3-10)

可以解得

)(tan 22

221

3C

A C A

B B +-+±=-? (3-11)

式中的正负号应按机构运动的连续性来选择，一般根据机构的装配模式来确定。如图3-5中实线所示装配模式赢取正号，而虚线模式赢取负号，若根号内的数值小于零，则表示该机构的相应位置关系不能实现。

将3?代入式(3-8)有

1133442211334422sin sin sin sin cos cos cos cos ??θ???θ?R R R R R R R R -+=-+=

解得2?

?

??

?

??-+-+=1133441133441-2cos cos cos sin sin sin tan ??θ??θ?R R R R R R (3-12)

图3-5

3.3.2 速度分析

式(3-6)中，给出了一点相对于固定参考点运动的径向速度和切向速度分量，

对于铰链四杆机构来说，若视构件为刚体，则其中的0=i R 。式(3-8)对时间求一阶导数，有

321332211??????

j j j je R je R je R =+ (3-13) 将上式第二项移到等式右边，虚部和实部分开，整理得

111333222111333222sin sin sin cos cos cos ????????????

R R R R R R -=--=- (3-14)

解得

()

()()

()

13121

22312131

323sin sin sin sin R R R R ????????????-=--=

- (3-15)

式(3-13)可以解释同一构件上两点间的速度关系。由理论力学可以，一构件上任一点的运动，可以看作是随同该构件上另一点的平动(牵连运动)和绕该点的

转动(相对运动)的合成。设构件上两点B 和A ，B 点的速度B v

应是基点A 的速度

A v 和点

B 相对于点A 的相对速度BA v

的矢量和，即BA A B v v v +=，如图3-6所示。

在式(3-13)中，111??

j je R 是基点的速度，333??j je R 是目标点的速度，222??j je R 是目标点相对于基点的牵连运动速度。

同一点上两不同构件的速度关系分析，图3-11 图3-6

3.3.3 加速度分析

式(3-8)对时间求二阶导数，有

3

32211233332222221111????????????j j j j j j e R je R e R je R e R je R -=-+- (3-16) 上式两端均乘以2j e ?-，得

)()

()()()

()

()()331

122

223232*********

112222333322

2111122223333211121112111cos sin cos j j j j j j j j j j j j R je

R e R je R e e R je R e e R je R e R j R R je

R e

R j R R ?????????????????????????????????????-------+-=--+-=------展开

展开

()()()()()(()()()()

()(221112222222233323332333233322221112111222333233322111211123sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos j j R R j R R R j R R R R R R R ?????????????????????????????????????--=--------+-+--=--+-=

实部相等

(()

2

222333332cos sin R R ??????---())()

22

2111211122233323332sin cos cos sin R R R R R ??????????-+-+--=

- (3-17) )()

()

()

()

()

()()3333

11221313232322211112222333322

2

111122223333211131113111cos sin cos j j j j j j j j j j j j R je R e R je R e e R je R e e R je

R e

R je

R e

R j R R j R R ?????????????????????????????????????-------+-=--+-=------展开

()()()()()()()()()()()23111322

2

22232223222322233333222

111311132223222333233111313sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin j j R R R j R j R R R R R R R R R ????????????????????????????????????--------=--+-+-+-=---=

实部相等

((()

22

113222223cos cos sin R ??????---())()

222

331113111322233223sin cos cos sin R R R R R ??????????------=

- (3-18) 式(3-16)可以解释同一构件上两点间的加速度关系。由理论力学可以，一构件上任一点的运动，可以看作是随同该构件上另一点的平动(牵连运动)和绕该点的转动(相对运动)的合成。如图3-7所示，设构件上两点C 和B ，目标点B 和基点C 之间的加速度可以表达为

t CB n CB t B n B t C n C a a a a a a +++=+ (3-19)

分别和式(3-16)中各项对应。

n C

t C

n CB

t CB

n B

t

B

a j a j a j a j a j a j e R je R e R je R e R je R 332

211233332222221111????????????-=-+-

同一点上两不同构件的加速度关系分析，图3-12

3.4 曲柄滑块机构的运动分析

3.4.1 位移分析

图3-8

曲柄滑块机构是铰链四连杆机构的一种演化形式，如图3-8所示，机构中出现了滑块，以O 点为原点，建立复数坐标系，x 轴为实轴，jy 为虚轴。向量杆长为1R ，幅角1?；向量杆长为2R ，幅角2?；向量杆长3R 为常数，幅角3?为常量

2

π

；向量杆长为4R ，幅角4θ为常量0，其中，各向量幅角均为从x 轴指向该向量的角。则该四杆机构的四个向量可以表示为：