第二章-特殊三角形单元检测题及答案

周末辅导用卷（特殊三角形）

（时间:90分钟，满分:100分）

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；

③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角

形都是锐角三角形.其中正确的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）

A. 30°

B. 36°

C. 45°

D. 70°

3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E．下列结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BCD的周长等于AB+BC；④D是AC的中点．其中正确的是（）

A.①②③

B.②③④

C.①②④

D.①③④

4.等腰三角形有两条边长为4 cm和9 cm，则该三角形的周长是( )

A.17 cm

B.22 cm

C.17 cm或22 cm

D.18 cm

5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，∠BAD=50°，AD=AE，则∠EDC的度数为（）

A.15°

B.25°

C.30°

D.50°

6.等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）

A．60° B．90° C．120° D．150°

7.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）

A.45°

B.55°

C.60°

D.75°

8.下列说法中正确的是（ ）

A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+

B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方

C.在Rt △ABC 中，∠C =90°，所以222c b a =+（a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边）

D.在Rt △ABC 中，∠B =90°，所以222c b a =+（a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边） 9.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =40，CB =9，点M 、N 在AB 上，且AM =AC ，BN =BC ，则

MN 的长为（ ）

A.6

B.7

C.8

D.9

10.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）

A.5

B.2

C. 4

5

D.1 二、填空题（每小题3分,共24分）

11. 在△ABC 中，AB =AC ，∠A +∠B =115°，则∠A = ，∠B = .

12.若点D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD =BD ，AB =AC =CD ，则∠BAC =____________． 13.已知△ABC 中，DE 垂直平分AC ，与AC 边交于点E ，与BC 边交于点D ，∠C =15°， ∠BAD =60°，则△ABC 是________三角形．

14.等腰三角形的底边长为，顶角是底角的4倍，则腰上的高是_________.

15.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为 .

16.已知等边三角形的高为

23

，则它的边长为________.

17.如图，已知∠BAC=130°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，则∠ADB=______度.

18.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD=_________.

三、解答题（共46分）

19.（6分）如图，请思考怎样把每个三角形纸片只剪一次，将它分成两个等腰三角形，试

一试，在图中画出剪裁的痕迹.

20.（6分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于点D，求证：?BC=3AD.

21.（6分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足

为E.（1）若CD=1 cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.

第21题图

第20题图

22.（7分）如图，在四边形ABCD 中，BC >BA ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠C =180°.

23.（7分）如图，等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，B ，P ，Q 三点在一条直线上，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．

第23题图

第22题图

D

C

B

A

24.（7分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，点B、E在C、D的同侧，若AB

=2，求BE的长.

25.（7分）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图（1），当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度．

（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．

①如图（2），当点D在线段BC上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由.

②当点D在直线BC上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

第25题图

参考答案

一、选择题

1、B;

2、B

3.A解析：∵ AB=AC，∠A=36°，∴ ∠ABC=∠C=72°．

∵ DE垂直平分AB，∴ DA=DB，∴ ∠ABD=∠A=36°．

∴ ∠DBC=36°，∠BDC=72°，

∴ BD平分∠ABC，AD=BD=BC，①②正确;

△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=BC+AB，③正确.

∵ BD>CD，∴ AD>CD，故④错误．

4.B解析：4+9+9=22（cm）.

5.B解析：∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∵ AD=AE，∴ ∠AED=∠ADE.∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C，∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC，即∠BAD=2∠EDC.

∵ ∠BAD=50°，∴ ∠EDC=25°，故选B．

6.C解析：∠IBC=∠ICB=30°，所以∠BIC=180°-30°-30°=120°.

7.C解析：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ABD=∠C，AB=BC.

又∵ BD=CE，∴ △ABD≌△BCE.∴ ∠BAD=∠CBE.∵ ∠ABE+∠EBC=60°，

∴ ∠ABE+∠BAD=60°，∴ ∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，故选C.

8.C解析：A.不确定三角形是否为直角三角形，且c是否为斜边，故A选项错误；B.不确

定第三边是否为斜边，故B选项错误；C.∠C=90°，所以其对边为斜边，故C选项正确；

D.∠B=90°，所以，故D选项错误.

9.C解析：因为Rt△ABC中，AC=40，BC=9，所以由勾股定理得AB=41.因为BN=BC=9，AM=AC=40，

所以MN=AM+BN AB=40+941=8.

10.B 解析：设此直角三角形为△ABC ，其中∠C ＝90°，BC =a ，AC =b ，因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以AB =4.又因为△ABC 的周长是624+， 所以62=+b a .平方得24)(2=+b a ，即24222=++ab b a . 由勾股定理知16222==+c b a ，所以22

1,4==ab ab . 二、填空题

11、00

5065，

； 12、1080

13.直角 解析：如图，∵ DE 垂直平分AC ，∴ AD =CD . 又∠C =15°，∴ ∠C =∠DAC =15°，∠ADB =∠C +∠DAC =30°.

又∠BAD =60°，∴ ∠BAD +∠ADB =90°，∴ ∠B =90°，即△ABC 是直角三角形. 14.

2

1

a 解析：因为等腰三角形的顶角是底角的4倍，所以顶角是120°，底角是30°.如图，在△ABC 中，AC =BC ，BD ⊥AD ，∠A =∠ABC = 30°，AB =a ，则BD =2

1

.

15.22.5°或67.5° 解析：当等腰三角形为锐角三角形时，底角为67.5°，当等腰三角形为钝角三角形时，底角为22.5°. 16.4 17.50 18.6

解析：因为∠BAE =60°，所以∠AEB =30°.所以∠AEB +∠DEC =30°+60°=90°，

所以∠AED =90°.又因为AB =CE =3，所以AE =DE =6，所以AD =6.

三、解答题

19.解：如图所示.

20.证明：∵ AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴ 在Rt△ADC中CD=?2AD.?

∵ ∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴ ∠B=∠BAD，∴ AD=BD，

∴ BC=3AD.

21.（1）解：因为AD是∠CAB的平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，

所以CD=DE=1 cm.

因为AC=BC，所以∠CAB=∠B =.

又因为DE⊥AB，所以∠EDB=∠B=.

所以ED=EB.所以DB=（cm）.

所以AC=BC=CD+DB=cm.

（2）证明：在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，

所以△ACD≌△AED，即得AC=AE.

由（1）得CD=DE=BE，又AB=AE+EB，所以AB=AC+CD.

22.分析：从条件BD平分∠ABC，可联想到角平分线定理的基本图形，故要作垂线段.

证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，

过点D作DF⊥BC于点F.

因为BD平分∠ABC，所以DE=DF.

在Rt△EAD和Rt△FCD中，AD=DC，DE=DF，

所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.所以∠C=∠EAD.

因为∠EAD+∠BAD=180°，所以∠C+∠BAD=180°.

23.解：△APQ为等边三角形．证明如下：

∵ △ABC为等边三角形，∴ AB=AC．

∵ ∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，

∴ △ABP≌△ACQ（SAS）．

F

D B

A

第22题答图

∴ AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．