线性代数总习题一答案
1、用行列式定义计算 000100
200
2002000
00
2003
=
D 。
【解】由于行列式D 各行仅有一个非零元素，根据行列式定义，这些元素的乘积构成了该行列式的唯一非零项。
将这些元素的乘积按行码排列，为!???
??=123200220032003
这个乘积所冠符号由该项元素的列码排列,,,,,200220012000212003确定，
由于(,,,
,,)200220012000212003N =++
++2001200021
()
+=
2001200112
为奇数，
即知!=-2003D 。
2、计算下列行列式：
()
12100012100
012100012100012
； 【解法一】化为上三角行列式：
原式r r -121
2/2
1000032100012100012100012r r -2
32
3//210000321000043100012100
12
r r -3
434///2
1000032100
0431
0000541
12r r -454
5////210
00032
100
00431
000054100
065
=????3456
22345
=6。
【解法二】用降阶法，设原式为D 5，得：
D 5=2100012
100
01
21000121
00
012
r 1按展开-
2
10011001
21002102
12101210
0120012
c 1后式按展开D D -432r 1前式按展开()D D D --32322
D D =-3232()D D D =--212322D D =-2143
=-?21
4
3212=?-?4332=6。 ()
2-------045125
0201720343115
02
3
1
3
； 【解】用降阶法，先将0较多且较易化0的行(列)化为仅一非零元，然后按该行(列)展开：
原式c c c c -+35
1525--------104112
1
132********
173613
r 2按展开---
-----10411132833115
17361
r r r r r r --+13
2343
423-------220519
701013
311580914
c 2按展开---22519710138914
r r r c ++1232
3--13558
71013111
c c c c -+2131
-13459
7176100
r 3按展开
3459
17
6
=?-?3461759=-799。
()3n D =
2111121111
211
1
1
2
； 【解】易见各行元素总和为n +1，于是，将2
n 列加到第1列，就易于化第1列元素化
为仅一非零元：
n D ()n c c c c +++
+123n n n n ++++11111
2111
1211
11
2
k r r k n
-≤≤1
2n +1
1110
100
0100
1
上三角1n+。 ()4n n
n
n x a a a a a x a a a D a a x a a a a a a x
+=1231
2311
231
2
3
4
【解】易见各行元素总和为n
i
i x a
=+∑1
，于是，将2
n 列加到第1列，就易于化第1列元
素化为仅一非零元：
n n n n
x a a a a a x a a a D a a x a a a a a a x +=1231
2311
231
2
3
4
()
n c c c c ++++12
3n
i
n i n i
n i n
i
n
i n
i
i x a a a a a x a x a a a x a a x
a a x a a a a x
====++++∑∑∑∑12312312
3
1234
1
k r r k n
-≤≤1
2n
i
n i n x a a a a a x a a a x a a a a a a a x a =+-------∑1231
12122132
43
0000000
c 1按展开()
n
i i n
x a a a x a x a a a a a a a x a =---+
----∑12121
21
32
43
0000
0 下三角()()n
n
i k
i k x a x a
==+
-∑∏1
1
。
3、利用行列式的性质证明：
()()()()()()()()()
()()()a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=++++++2
22222222
22
2
2
222
1231230123123。
【证明】左边()()()()()()()()
()
()()()a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=
++++++2
22222222
2
2
2
2222
123123123123
k c c k -≤≤24
a a a a
b b b b
c c c c
d d d d ++++++++++++2
222
21446921446921
44
69
214469
c c c c --3242
23a a b b c c d d ++++2
222
2126
2126
21262126
,c c 43成比例0=右边。证毕。
4、已知x D ---=----1011111
11111111
，则D 中x 的系数是 。
【解法一】x D ---=----1011111
11111111c c +41
x -----100
1110
1110
1112
c 4按展开x
---1021
11111
r r +23x
--1
022
001
11
c 2按展开x
-12
2
x =-4，
知D 中x 的系数是-4。
【解法二】按第一行展开行列式，得x D ---=----1011111
11111111
A xA A =-?++-?111314101，
由于,,A A A 111314都不含x ，
可知D 中x 的系数是A =13----1
11
1
11111c c
c c ++2131
120
100102
c 2按展开-102
12
=-4。
5、D ==103100204
199
200395301300600
。
【解】D =103100204
199
200395
301300600
r r r r --21
31
23----10310020470138
12r r -32---103100204
70131
1
c 2按展开----713
100
11
()=---100713=2000。 6、计算下列行列式：
()
1a b c d b a d c
c d a b d c b a
；
【解】原式c c
c c
c c
+
+
+
12
13
14
a b c d b c d
a b c d a d c
a b c d d a b
a b c d c b a
+++
+++
+++
+++
r r
r r
r r
-
-
-
21
31
41
a b c d b c d
a b d c c d
d b a c b d
c b b c a d
+++
---
---
---
c
1
按展开()
a b d c c d
a b c d d b a c b d
c b b c a d
---
+++---
---
c c
+
12
()
a b d c d c c d
a b c d a b d c a c b d
b c a d
-+---
+++-+---
--
r r
-
21
()
a b d c d c c d
a b c d a d b c
b c a d
-+---
+++--
--
c
1
按展开()()
a d
b c
a b c d a b c d
b c a d
--
+++--+
--
c c
+
12
()()
a b c d b c
a b c d a b c d
a b c d a d
+---
+++--+
+---
r r
-
21
()()
a b c d b c
a b c d a b c d
a d
b c
+---
+++--+
--+
()()()()
a b c d a b c d a b c d a b c d
=+++--++---+-。
()2a b
a b
b a
b a
11
22
33
44
00
00 00
00
；
【解】a b
a b
b a
b a
11
22
33
44
00
00
00
00
r
1
按展开
a b a b
a b a b b a
a b
-
2222
133133
44
00
00
0000
r
3
按展开
a b a b
a a
b b
b a b a
-
2222
1414
3333
()
a b
a a
b b
b a
=-22
1414
33
()()
a a
b b a a b b
=--
14142323
。
()
3
αβαβαββ
α
000
000
；
【解】原式
r 1按展开
()
()()n n
n n ααβ
β
β
αβαβ
αβ
β
α
β
+-+---+-1111
1
00
000000
000
1100
000
000
其中：
n αβ
αβ
β
α
-
1
0000
00
000
n c -1按展开()()
()
n n n αα
β
ααα
β-+---112
000
10
000
()
[()()]
()()
n N n n
n αα
---?-=--2123212
11()()
()
n n n α---=-2312
1；
n αβ
β
αβ
β
-1
000
000
[()()]
()
N n n n --?-=-12211
1β
()()
()
n n n β---=-1212
1，
于是，原式()()
()()
()()
()
()
n n n n n
n n
n αα
ββ-----+-=--+--23121
112
2
1111
()
()()
()()
n n n n n n n n αβ+-+++-+=-+-22256213222
11
()()
n n n n n n αβ-+-+=-+-2236
42
2
11
()()
n n n n
n n αβ-+-++=-+-2232
2222
11
()()
n n n n n n αβ-+-=-+-2232
2
2
11 ()()
()()
()
n n n n n
n αβ---=-+-1212
2
11。
7、计算下列行列式：
()
1n n
n -1232
34134521
2
1
； 【解】各行(列)都是1--n 这n 个数，
原式()n c c c c +++
+123()()()
()
n n n n n n n n n n ++++-123213412
14
5
2
2
1121
2
k r r k n
-
≤≤1
2()n
n n n n n
+--1232011101110
11
1
c 1按展开
()n n n n n n
---+-1
11111112
111
()
n c c c
c -+++
+12
31()n n n n n -----+-1
1
1111112
1
11
k n r r k n --≤≤-1
12()n n n n n ---+-1
00012
1
1
1
[()()
]
()
()()()N n n n n n n ---+=
---122121112
()()
()()()()n n n n n n ---+=---12221112
()()
()()()()n n n n n n n ----+=---1222211112
()()
()
n n n n n n n --++-+=-12212
2
12
()()
n n n n n n --+=-11
2
12
。
()
2x x x x x x x x x x x x x x x x ---------------212322212223333245354435743。 【解】原式c c c c c c ---2131
41x x x x x x ----------21
1221
01331
2243
7
3r r
-12x x x x x x ---------000
221
01
3312243
73
r 1按展开x x x -------101122373c c +31x x x ------100
121376
r 1按展开x x
x -----21
76
()x x x =--++-6127()x x =-51。
8、计算下列行列式：
()1n D
=
530002
530002500000530
2
5
；
【分析】对于形如
a b c a b
c a b
c a b
c a
的行列式，一般称为“三对角”行列式，常用递推公式法进行计算，往往应用按行（列）展开的方法，化为n n n D aD bD --=+12或n n D aD b -=+1的递推公式，递推至低阶行列式然后计算其结果。 【解】用递推公式法：
由于D ==155，D =
253
25
=-?2523=19； 于是，n n
D
=
530002530002500000530
002
5
r 1按展开n n ---11
5300025300253000250002500002005
3
0005300053
25
000
2
5
c 1后按展开
n n D ---?12
530002530002500532
0005300
2
5
即得n n n D D D --=-1256，此递推公式有两个变量，不易使用， 变形，得n n n n D D D D ----=-112236， 亦即()n n n n D D D D ----=-112232，
将此递推公式中n n D D --12视为一个整体，即左边的足码减1得到右边的结果。 亦即：()()n n n n D D D D -----=-1111232，于是
递推得()()n n n n D D D D -----=-1111232
()()n n D D ---=-222132 ()()n n D D ---=-333132 ()()n n D D ---=-444132
=.................
(n )(n )()n n n D D ------=-222132 ()n D D -=-22132 ()n -=-?231925
n -=?239 n =3
即为：n n n D D --=123； ----------------①
又由n n n D D D --=-1256得n n n n D D D D ----=-112326()()n n D D ---=-11123 继续推算，得()()n n n n D D D D -----=-1111323
()()n n D D ---=-222123
=....................
()()()n n n n n D D ------=-222123 ()n D D -=-22123 ()n -=-?221935
n -=?224
即为：n
n n D D --=132， ----------------②
解①②联立方程组n
n n n
n n D D D D --?-=??-=??113223
得n n
n D -=-132， 亦即n n n D ++=-1
132。
()2cos cos cos cos cos n D =
10001
210001200000210
1
2ααααα
。
【解】用归纳法：
由于cos cos D ==1αα，cos cos D =
211
2αα
cos =-221α=19；
于是，先发现n D 的递推公式，然后推出结果。
因为1行1列元素异于主对角线上其它元素，因此，要使n D 含原主对角线元素的各
阶子式仍保持这个规律，应按末行（列）展开：
于是，cos cos cos cos cos n n
D =
10001210001200000210
1
2ααααα
n c 按展开cos cos cos cos n --1
1000121000120
01
0002
00
001
1αααα
cos cos cos ()cos cos cos n n n αααα
αα+-+-1
1000121000120012
00
2
1
1
2
n c -1前按展开
cos n n D D α---+?212
即得递推公式：cos n n n D D D --=-122α，
此公式有两个变量，不易使用，而且无法找到类似上题的同形变化关系式，从而不易
递推至低阶。
于是，由低阶起寻找计算规律：
cos cos D ==1αα； cos cos D =
211
2αα
cos =-221αcos =2α，
即由递推公式：cos n n n D D D --=-122α， 得cos D D D =-3212αcos cos cos =-22ααα
[cos()cos()]cos =++--22ααααα
---- 应用积化和差公式cos cos [cos()cos()]=
++-1
2
αβαβαβ cos =3α，
从而由上过程知，对于,,k =123均成立cos k D k =α， 于是仍由递推公式cos n n n D D D --=-122α，
得cos k k k D D D +-=-112αcos cos cos()k k =--21ααα
cos()cos()cos()k k k ααααα=++---1 cos()k α=+1，
即由数学归纳法得，cos n D n α=。
9、证明：
()
1()()i j i j x x x x x x x x x x x x x x ≥>≥=++-∏22212312233131333
1
2
3
11
1
；
【证明】x
x x x
x
x
2221233331
2
3
1
11c c c c --2131
x x x x x x
x x
x x
----2222212131333331
2
1
3
1
1
00
r 1
按展开
x x x x x x x x ----2222
2131
3333
2131
()()x x c x x c -←-←211312
()()
x x x x x x x x x x x x x x x x ++--++++21
31
21312222
2211
3311
c c -21
()()
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x +---+++--2132
21312
2222
211
3
312
21
()x x c -←322
()()()
x x x x x x x x x x x x
x x x +---++++21213132222
211
321
1
()()()[()()()]x x x x x x x x x x x x x x x =---+++-++22
213132213212211
()()()()x x x x x x x x x x x x =---++213132121323
()
()i j i j x x x x x x x x ≥>≥=++-∏
12233131
。
证毕。
()2设n a a a a ≠123
0，则
()n
n i i
n a a a a a a a a =+++=++∑
1
2
3
12
1111111111111111
1
11
1111 【证明】
n
a a a a ++++1
2
3
111111
11111111
1
1
111
1
k r r k n
-≤≤1
2n
a a a a a a a +---11
2131
1111100000
00
k
k
a
r
r k n
-≤≤112n
k k
n
a a a a a a a a =+---∑
1112131
11000000000
下三角()n
n k k
a a a a a =+∑1
2311
1
()n
n k k
a a a a a a ==+∑123
1111
()n
n k k
a a a a a ==+∑
123
11
1。证毕。 10、设ij
a ?=44
3
69122468
12035643
，试求A A A ++41424423，其中j A 4为元素j a 4(j =1,2,3,4)的
代数余子式。
【解】A A A ++41424423=A A A A +++414243441203，
由题设可见，A A A ++41424423=a A a A a A a A +++3141324233433444，
根据第一章第4节定理1的推论：i i i i in in i j i j in jn a A a A a A =D a A a A a A =++
+???
++
+??112211220
可得=A A A ++414244230。
11、已知四阶行列式D =
=-41
2343
344
615671122
，试求A A +4142与A A +4344，其中j A 4(j =1,2,3,4)是D 4中第四行第j 列元素的代数余子式。
【解】有D =
41234
3344
1567
1122
r 4
按展开A A A A +++=-4142434411226；
又有A A A A +++414243443344a A a A a A a A =+++=21412242234324440， 将A A +4142与A A +4344分别作为一个未知数，解方程组
()()()()A A A A A A A A +++=-??
+++=?
414243444142434426340，得()()A A A A +=??+=-?4142434412
9。
12、已知n 阶行列式n A n
-=135211
2001
030
1
，求代数余子式n A A A ++
+11121之
和。
【解】易见，,,
,11121n A A A 是A 中第一行各元素的代数余子式，
但A 中却没有全部元素都是1的行，因此，无法应用第一章第4节定理1的推论：
i i i i in in i j i j in jn a A a A a A =D a A a A a A =+++???++
+??112211220
，但我们可以设计一个新的行列式，亦即将A 中的第一
行元素都改为1，即=1
1111
2
00
1
301
B n
，则将B 按第一行展开，其结果即为n A A A ++
+11121，现在只须计算B 的值即可。
=111112
00
1
030
1
B n
-≤≤11
2k k r r k n
=-∑2111110
20
00
0300
n
k k n
上三角()=-??
?∑21
123n
k n k
!()==-∑21
1n
k n k
，
即得n A A A +++11121!()==-∑21
1n
k n k
。
13、用克莱姆法则解下列线性方程组：
()1 x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=??+++=??
++=??++=-??++=?12342345123234
34500
232232
232
；
【解】计算系数行列式：
=1111001111
1
23000123000123
D -3
1
r r -1111001111
01210012300012
3 --32
42
r r r r ---1111001111001210012100123
--43
53
r r r r --1111001111
001210004000
044
-5
4
r r --1111001111
00121000400
004
≠160上三角， 由克莱姆法则知，方程组有唯一解， 继续计算各未知数的分子行列式：
=-10111001111
2
23002123020123D +-43
53
r r r r --01110
01111
2230003530
02223
1
按展开c --11
1011
112
35
3022
23
--2131
c c c c -100010012
3
200
2043
1按展开
r 001
2200043
1按展开r 20
204
=16；
=-21011000111
12
3000223002123
D -3
1
r r --1011000111
02210022300212
3
1
按展开c --0111221022
302
1
2
3
--2434
c c c c ----00012210
22
3
2
213
1按展开
r -----2
21
223221 +-2131
r r r r ---2
2
104
204
1按展开
c --42
2
40
=-16；
=-31101001011
1
220001230002
23
D -3
1
r r --1101001011
012100123000223
1
按展开c --10111210
12
300
2
2
3
--3141c c c c ----1
00
12211221
0223
1
按展开r ----221221223 +-2131r r
r r ---221
02044
1
按展开c -02
244
=16；
=-41110001101
1
23200122000123
D -3
1
r r -1110001101
01220012200012
3
1
按展开c -110112201220
01
2
3
--2141
c c c c ---100011211121
01
2
3
1按展开
r ---1
2
1
121123 --2131
r r r r --1
2
104
000
4
-16上三角；
D =-51
111001110
1
23020123200122
-3
1
r r --1111001110
012120123200122
1
按展开c --1110121
2123201
2
2
c c c c --2131
--11
100122012201
2
2
1按展开
c --122
1221
2
2 c c c c --2131
--12
20
440
4
1按展开
c -444
=16，
由克莱姆法则得
D x D =
==1116
116
，
D x D -=
==-2216116
，
D x D =
==3316
116
，
D x D -=
==-4416
116，D x D ===5516116
。
()26 6 x x x x x x x x x x x x x +=??++=??
++=??++=??+=?12123234345
455150
560560
51
。
【解】计算系数行列式：
应用本总习题一8(1)的方法，得n D
=
5
6001
500
005600
1
5
的递推公式为
n n n D D D --=-1256，
从而有()n n n n D D D D ----=-112232推得n n n D D --=123；
()n n n n D D D D ----=-112322推得n n n D D --=132，
即由n
n n n
n n D D D D --?-=??-=??112332
解得n n n D ++=-11
32， 于是：
D =5600015600
15600015600015
=-6632=≠6650，方程组有唯一解， D =11600005600
1560001561
1
5
1
按展开c D +46000560015600156
=-+554326=1507；
D =251000
10600
056000156
01015
c 2
按展开-
-
16
00500005
601600
01
56056000
150156
D =--?3356 ()=---?4433256=-1145； D =35610015000
1060000560
011
5
c 3
按展开+
15005600
016015000056016000150056
c 1前按展开
后分块下三角
+160
56600561556015
=+
565660
151556
=+?191936=703； D =456010
15600
150000106
00015
r 5按展开-
+56
005601
15
601560
5
01
50015000
160010
c 4均按展开 D -3156
65015001
=()--446325=-395；
D =55600115600
15600015000011
c 5按展开+
15605600
01561560
0015015600010015
D =+41 =+-55132=212，
由克莱姆法则得
D x D =
=111507665，D x D -==221145665，D x D ==33703665，D x D -==44395
665，D x D ==55212665
。
线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
线性代数考试题库及答案(五)
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ， （3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号： 线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B ) (C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（ ） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（ ） WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 线性代数考试练习题带答案 说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件； 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 8线性代数练习题(带解题过程) ０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 １ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性 《线性代数(经济数学2）》课程习 题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 34327641549916 573 4 1111 4--=D 3. 求解下列线性方程组： ???????=++++=++++=++++---11113221 12132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠ 4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231 230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解？ 5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组12312312 3(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=?有非零解？ 二、计算题2 6. 计算61 4230 21510 3212 1----=D 的值。 7. 计算行列式5241 421 3183 2052 1------=D 的值。 8. 计算01111 0111 1011 110=D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算4124 1202 10520 0117的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---????-= ? ?----???? 诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线………………………………………………… 8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ 第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1 7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1 《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠； () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；《线性代数》习题集(含答案)
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