第2章(2) 控制系统的状态空间表达式

2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式

系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。 要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：

第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。 第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数

dt

dx i 。

第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量

的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。

例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。

解：

该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。

图2-6 系统方块图

图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。我们取每个积分器的输出端

信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x

和2x 。

从图可得系统状态方程：

()???

?

??

?

+--=-+-==u

T K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 112111311311212222111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y =

写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式：

[]?????????

??=???

?

??????+????

????

=x y u T K x K K T K x 01

010113122

例2-6 求如图2-7（a ）所示系统的动态方程。

解：图2-7(a)中第一个环节

2

1++s s 可以分解为??

?

?

?

+-

21

1s ，即分解为两个通道。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图2-7(b)右侧点划线所框部分。

进一步，我们可以得到图2-7(C)所示的由标准积分器组成的等效方块图。

图2-7（a ）系统方框图

依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量1x 、2x 、3x 、4x 。由图2-7（c ）可得系统状态方程：

???????+--=+---=+-=+-=u

x x x u x x x x x x x x x x 414

43133

1221123648

由图可知，系统输出1x y =

写成矢量形式，得到系统的状态空间表达式：

[]?

??????????=????????????+??????????

??-------=x

y u

x x 00

01

110020

11301010640018

2-4 由系统的微分方程或传递函数求其状态空间表达式

从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可以用下列线性微分方程表示：

()

()

()

()

()

()

u

b u

b u

b u

b y a y

a y

a y

m m m m n n n 0111101111++++=++++----

其传递函数就是输出信号()t y 的Laplace 变换()s Y 与输入信号()t u 的Laplace 变换()s U 之比，其形式为如下s 的有理分式：

()()()

11

10

11

1a s a s

a s

b s b s

b s

b s U s Y s G n n n

m m m

m ++++++++=

=

----

以上两式表示同一系统，只不过前者在时间域t 上表示，后者在复域s 上表示。上式中，mn 时称非正常型，这是不能实现的系统，所以我们一般假定m ≤n 。

由系统的传递函数求其状态空间表达式的过程称为系统的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。系统的实现是非唯一的。 系统的实现一般有直接法，串联法和并联法三种。

2-4-1 系统实现的直接分解法 不失一般性，我们假设m=n,则

()()()

11

1'

'12

'21

'

1a s a s a s b s b s

b s

b b s U s Y s G n n n n n n n n +++++++++

==

------

其中：i n i i a b b b -=' (1,,1,0-=n i )

令：()()s U a s a s

a s s Y n n n

11

111

++++=

--

则：()()()()s Y b s b s b s b s U b s Y n n n n n 1'0'12'21'1+++++=---- 将上述式子作拉氏反变换，得：

()()

()

()

1'

011'

121

'

211

'

1y b y b y b y b u b t y n n n n n +++++=----

选择状态变量如下：

()

()

()

????

?????=======--111

221

3111211n n n x

y x x y x x y x y x

即：

()

?????????====n n y x

x x x x x x

1

433221

关于n x

，由式()()s U a s a s

a s s Y n n n

11

111

++++=-- 可得：

()()

s U s Y a s a s

a s n n n =++++--1011

1)(

()()()

s U s Y a s a s

a s Y s n n n

++++-=--1011

11)()(

两边取拉氏反变换：

()()()()()

t u x a x a x a t u y a y a y a y x

n n n n n n +----=+----==---12110111111101

所以得系统状态方程为：

()??

???????

?

?+----=====---t u x a x a x a x

x x x x

x x x x n n n n n 1121101433221

至于系统的输出y ，由式子

()()

()

()

1'

011'

121

'

211

'

1y b y b y b y b u b t y n n n n n +++++=----

可得：n n n x b x b x b u b y '12'11'0-++++= 写成矢量形式，得系统的状态空间表达式：

[

]

?????

????????+=??

??????????????+???

??

?

??

?????

?

??----=--u

b x b b b y u

x a a a a

x n n n '

1'

1

'0

12

1

010*******

1000

010

上式所代表的系统实现的结构图如图2-8所示。这种系统的实现称作可控

型（I 型）实现，关于可控型我们将在后续章节介绍。

注意：当n m <时，0=n b ，()m i b b i i ,,1,0' ==，这时直接可以从传递函数的分子、分母多项式的系数写出。当m=0，即系统没有零点时，上述实现方法中，系统状态变量就是输出变量的各阶导数()()()110,,,-n y y y 。在通常的低阶物理系统中，上述各状态变量的物理意义非常明确，如位移、速度、加速度。

例2-7 试利用直接分解法，建立下列传递函数的状态空间表达式。 （1）()2

54622

3

++++=

s s s s s G （2）()2

548

2

3

+++=

s s s s G

（3）()2

541322

3

2

3++++++=

s s s s s s s G

（1）解: ()()()

2

54622

3

++++=

=

s s s s s U s Y s G ()()s U s s s s s Y 2

54622

3

++++=

?

令()()s U s s s s Y 2

541

2

3

1+++=

()()()s Y s s Y 162+=?

对上述二式分别取拉氏反变换，得

1162y y

y += u y y y

y =+++1111254 选取状态变量为

图2-8 传递函数的直接分解法实现

()

()

?????=====2213

111211x y x x

y x y x

即 ()?

??

??---====321313322

1452x x x u y x

x x x x

输出方程为21112662x x y y

y +=+= 写成矩阵方程 []??????????

?=??

??

?

?????+??????????---=x

y u x x 02

6

10045

2

100010