《弧、弦、圆心角》练习题

24.1.3 弧、弦、圆心角

5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下列说法中，正确的是( )

A.等弦所对的弧相等

B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等，所对的弦相等

D.弦相等所对的圆心角相等

思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B

2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于

C 、

D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )

图24-1-3-1

A.3∶2

B.5∶2

C.5∶2

D.5∶4 思路解析：作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1. 在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.

在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2. 答案：C

3.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( ) A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 思路解析：∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0. 答案：D

10分钟训练(强化类训练,可用于课中)

1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 思路解析：4

1

×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 答案：90°

2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 思路解析：如图，OD ⊥AB ，OD=DB=AD. 设OD=x ，则AD=DB=x.

在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB,

∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.

∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 答案：2∶2 90°

3.如图24-1-3-2，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.

图24-1-3-2

(1)求证：AC=DB ；

(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.

思路分析：求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来. （1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=

21AB=3 cm.CE=2

1

CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2

－π·OC 2

=π（OA 2

－OC 2

）=π［（AE 2

＋OE 2

）－（CE 2

＋OE 2

）］ =π（AE 2

－CE 2

）=π（32

－22

）=5π（ cm 2

）.

4.(经典回放)如图24-1-3-3所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.

图24-1-3-3

思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.

证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.

(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.

∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.

5.如图24-1-3-4，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.

图24-1-3-4

思路分析：如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解

决.

解：过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=2

1

AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=

2

1

OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ， ∴DF=CF.

∴CD=2CF=215（ cm ）.

6.如图24-1-3-5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂足为F ，我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF ∥AB 时,情况又怎样?

图24-1-3-5

思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线. 解：当EF 交AB 于P 时,过O 作OM ⊥CD 于M,则CM=DM.

通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF. 当EF ∥AB 时,同理作OM ⊥CD 于M,可证四边形AEFB 为矩形. 所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF. 快乐时光

数到100再说

某冬日,上课了,伊万老师靠教室壁炉站着,对学生们说:“说话前要多考虑,至少要数到50下才说,重要的话要数到100下.”学生们争先恐后地数起来,最后不约而同地爆发出:“99、100,老师的衣服着火了!”

30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1.如图24-1-3-6所示，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦BE=BD ，则弧AC 与弧BE 是否相等？为什么？

图24-1-3-6

思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC 与弧BE 所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC 以及弧BE 相等.

解：弧A C=弧BE.

原因如下：

法一：连结AC，∵AB、CD是直径，

∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.

又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.

法二：∵AB、CD是直径，

∴∠AOC＝∠BOD.

∴弧AC=弧BD.

∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.

2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.

试证:弧AE=弧BF.

图24-1-3-7

思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.

证明：

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC.

∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.

∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，

即∠AOC＝∠BOD，

即∠AOE＝∠BOF.

∴弧AE=弧BF.

3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？

图24-1-3-8

思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.

解：在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，

又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.

∴弧DF=弧AC=弧BE.

∴AC=EB=DF.

4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种). 思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.

答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.

5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)

图24-1-3-9

思路解析：因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.

答案：（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC；

（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；

（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；

（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.

6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.

图24-1-3-10

思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.

解：过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.

在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，

∴OA2－AC2=OP2－CP2.

∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.

∴OA2－52=52－1.∴OA=7，

即⊙O的半径为7 cm.

7.⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.

思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往

会遗忘或疏漏其中的一种情况.

(1)

解：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD. ∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离 ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，

∴BG=

21AB=21

×40=20（cm ）， DE=21CD=2

1

×48=24（cm ）.

在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）.

在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.

(2)

（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.

综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.