matlab中用克莱姆法则求解
matlab中用克莱姆法则求解
在Matlab中使用克莱姆法则求解线性方程组可以通过以下步骤
完成：
首先，我们需要定义系数矩阵A和常数向量b。假设我们有一
个包含n个未知数的线性方程组Ax=b，其中A是一个n×n的系数
矩阵，b是一个n×1的常数向量。
接下来，我们可以使用det函数计算系数矩阵A的行列式的值。行列式的值将用于后续计算。
然后，我们需要创建一个新的矩阵A1，其中用常数向量b替换
系数矩阵A的第一列。然后我们计算A1的行列式的值。
接着，我们创建一个新的矩阵A2，其中用常数向量b替换系数
矩阵A的第二列，并计算A2的行列式的值。
依此类推，我们创建n个新的矩阵Ai，每个矩阵都用常数向量
b替换系数矩阵A的第i列，并计算每个Ai的行列式的值。
最后，我们可以使用克莱姆法则的公式来计算未知数的值。未
知数的值可以通过将每个Ai的行列式的值除以A的行列式的值得到。
以上就是在Matlab中使用克莱姆法则求解线性方程组的基本步骤。需要注意的是，克莱姆法则在实际应用中可能会受到舍入误差
的影响，而且当系数矩阵A的行列式的值接近于0时，克莱姆法则
可能会导致数值不稳定的结果。因此，在实际工程计算中，通常会
使用更稳定的数值方法来求解线性方程组。
最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现
最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一、最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 2 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种 方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方， 因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 2 [] ∑==-m i i i y x p 0 2 min )( 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线 )(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合 函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 合中，函数类Φ可有不同的选取方法 . 6—1
二 多项式拟合 假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构 成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0)(,使得 [] min )(0 02 02 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1 时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 ∑∑==-=m i n k i k i k y x a I 0 2 0)( 为n a a a ,,10的多元函数，因此上述问题即为求),,(10n a a a I I =的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 n j x y x a a I m i j i n k i k i k j ,,1,0,0)(200 ==-=∂∂∑∑== (2) 即 n j y x a x n k m i i j i k m i k j i ,,1,0, )(0 ==∑∑∑===+ (3) （3）是关于n a a a ,,10的线性方程组，用矩阵表示为 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ +∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====m i i n i m i i i m i i n m i n i m i n i m i n i m i n i m i i m i i m i n i m i i y x y x y a a a x x x x x x x x m 00010020 10 102000 1 (4) 式（3）或式（4 ）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出k a (k=0,1,…，n) ，从而可得多项式
matlab中用克莱姆法则求解 -回复
matlab中用克莱姆法则求解-回复 标题：在MATLAB中使用克莱姆法则求解线性方程组 首先，我们要了解什么是克莱姆法则。克莱姆法则是一种用于求解线性方程组的方法，它通过计算行列式来确定未知数的值。这种方法适用于任何维度的方程组，只要其系数行列式不为零。 现在我们将在MATLAB环境中演示如何使用克莱姆法则来解决一个简单的3x3线性方程组。假设我们有以下方程组： a1*x + b1*y + c1*z = d1 a2*x + b2*y + c2*z = d2 a3*x + b3*y + c3*z = d3 其中，(a1, b1, c1), (a2, b2, c2) 和(a3, b3, c3) 是系数向量，(d1, d2, d3) 是常数项，而(x, y, z)是我们要找的未知数。 步骤一：将方程组转换为增广矩阵形式。 在MATLAB中，我们可以直接输入系数和常数项，然后使用"augment"函数将其组合成增广矩阵。例如： A = [a1 b1 c1; a2 b2 c2; a3 b3 c3];
B = [d1; d2; d3]; AugmentedMatrix = [A B]; 步骤二：计算系数行列式。 在MATLAB中，我们可以使用"det"函数来计算行列式。例如， DetCoefficients = det(A); 步骤三：检查系数行列式是否为零。 如果DetCoefficients等于零，则表示方程组无解或者有无穷多解。这是因为如果行列式为零，那么根据克莱姆法则，我们将无法计算出未知数的值。所以，在继续下一步之前，我们需要先检查这个条件。 if DetCoefficients == 0 disp('The system has no unique solution or infinitely many solutions.'); else Proceed to the next step. end 步骤四：计算代换行列式。 我们需要对每一行分别进行操作，将对应的常数项替换到那一行，并计算
克莱姆法则
克莱姆法则 克莱姆法则是线性代数中的一项重要定理，它提供了一种求解线性 方程组的方法。通过克莱姆法则，我们可以计算出线性方程组的每 个未知数的解。本文将对克莱姆法则进行详细的介绍和解释。 首先，让我们回顾一下线性方程组的基本概念。线性方程组是一组 形如下面的方程的数学表达式： a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b1 a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b2 ... a1x1 + a2x2 + ... + anxn = bn 其中，a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn是已知系数，x1,x2,...,xn是未知数。每个方程表示了一个平面、直线或超平面，整个方程组将交点、重合或平行等信息反映了出来。 现在，我们来解释一下什么是克莱姆法则。克莱姆法则是一种通过 计算行列式来求解线性方程组的方法。行列式是一个方阵（即行数 等于列数的矩阵）的特殊函数，可以通过一系列运算得到一个数值
结果。线性方程组的克莱姆法则利用了行列式的性质来求解未知数 的值。 为了使用克莱姆法则解决线性方程组，我们需要先计算出方程组的 系数矩阵以及常数向量。系数矩阵是一个由方程组的系数按照一定 顺序排列而成的矩阵，常数向量是一个由方程组的常数项按照一定 顺序排列而成的向量。接下来，我们将构建一个增广矩阵，该矩阵 由系数矩阵和常数向量合并而成。 然后，我们可以计算出增广矩阵的行列式，即原始方程组的行列式。如果行列式的值不等于零，那么方程组有唯一的解。如果行列式的 值等于零，那么方程组要么无解，要么有无穷多个解，这取决于方 程组的性质。 当方程组有唯一解时，我们可以使用克莱姆法则计算每个未知数的值。假设我们要求解第i个未知数（即xi），我们需要将增广矩阵 中与该未知数相关的系数替换成常数向量，然后计算出替换后增广 矩阵的行列式。最后，我们将该行列式除以原始方程组的行列式， 即可得到第i个未知数的值。 需要注意的是，克莱姆法则只适用于n个未知数与n个方程的线性方程组。而且，由于克莱姆法则要求计算大量的行列式，因此在实 际应用中，当方程组的规模较大时，计算量会非常庞大。因此，在 实际问题中，我们通常会选择其他更高效的方法，如高斯消元法或 矩阵的逆矩阵方法。
机器人空间三点圆弧的圆心算法及MATLAB实现
机器人空间三点圆弧的圆心算法及MATLAB实现 作者：张辉李应岐方晓峰 来源：《科技资讯》2021年第15期 摘要：基于机器人终端TCP经历的空间三个不共线的点，利用两种算法得到了通过此三点的空间圆弧圆心坐标的解析表达式，完善了已有文献的方法和结论;同时对于给定空间三点的坐标值，利用新提出的算法得到了圆心坐标的值;最后给定三组三点坐标值进行MATLAB运行平均时间比较，新提出的算法运行效率最高，优于已有文献提出的算法可作为首选算法，为机器人利用示教过程进行现场应用提供了有效支撑。 关键词：机器人圆弧圆心 MATLAB 向量积 中图分类号：TP242 文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）05（c）-0021-04 Center Algorithm of Three-Points arc in Robot Space and Its Realization with MATLAB ZHANG Hui LI Yingqi FANG Xiaofeng （Department of Basic Courses， Rocket Force University of Engineering， Xi'an， Shaanxi Province， 710025 China ） Abstract： Based on the three non-collinear points in the space experienced by the robot terminal TCP， using two algorithms， the analytic expression of the space arc center coordinates through the three points is obtained， which improves the methods and conclusions of the existing literature; at the same time， for a given coordinate value of the three points in the space， the value of the center coordinates is obtained by using the new algorithm; finally， for the given three groups of three-point coordinate values， the average running time of MATLAB is compared. The new algorithm has the highest running efficiency， which is better than the algorithm proposed in the existing literature. It can be used as the preferred algorithm， and provides effective support for the robot to use the teaching process for field application. Key Words： Robot; Arc; Center of circle; MATLAB; Vector product 在機器人编程的示教过程中，当曲线轨迹为空间圆弧时，除了示教圆弧起点（机器人当前位置）和终点外，至少还需要圆心或者圆弧上的一中间点。事实上，圆心往往是比较难给定的，因此机器人终端TCP的轨迹圆弧通常由示教的圆弧起点、中间点和圆弧终点决定，因而
matlab中用克莱姆法则求解 -回复
matlab中用克莱姆法则求解-回复 如何在MATLAB中使用克莱姆法则求解方程组。 引言： 在数学中，克莱姆法则是一种用于解决n个未知数与n个线性方程联立的问题的方法。克莱姆法则以法国数学家克莱姆命名，这个方法可以用来求解方程组的解，只要方程组的系数矩阵的行列式不为零。 克莱姆法则的思想是通过不同的替代值来求解未知数，这些替代值是通过将系数矩阵的每一列替换为方程组右侧的常数矩阵得到的。然后，通过计算这些新的系数矩阵的行列式与原系数矩阵的行列式的比值，可以得到每个未知数的值。在MATLAB中，可以使用矩阵运算和函数来实现克莱姆法则。 步骤一：准备数据 首先，需要准备方程组的系数矩阵和常数矩阵。假设我们有一个包含3个未知数和3个方程的方程组： x + 2y - z = 5 2x - y + 3z = -4 3x + y + z = 8
我们可以将系数矩阵和常数向量用矩阵表示如下： A = [1, 2, -1; 2, -1, 3; 3, 1, 1] B = [5; -4; 8] 步骤二：计算行列式 接下来，需要计算方程组的系数矩阵的行列式。在MATLAB中，可以使用det函数来计算行列式。 det_A = det(A) 步骤三：求解未知数 根据克莱姆法则，下一步需要求解每个未知数对应的行列式。所以，可以通过替换系数矩阵的每一列为常数矩阵来得到新的系数矩阵。
X = zeros(size(A)) 创建一个与系数矩阵A同样大小的矩阵来存储解for i = 1:size(A, 2) Am = A; 创建一个临时的系数矩阵副本 Am(:, i) = B; 将第i列替换为常数矩阵 X(:, i) = det(Am) / det_A; 计算行列式比值，并赋值给解向量X 的第i个元素 end 在这个例子中，我们使用一个for循环来迭代每个未知数对应的行列式。计算比值后，将结果存储在解向量X的相应位置。 在MATLAB中，det函数可以帮助我们计算行列式的值，而size函数可以返回矩阵的大小。 步骤四：输出结果 最后，可以使用disp函数将解向量X输出到命令窗口。 disp(X)
一元二次方程 最小二乘法 克莱姆法则
一元二次方程最小二乘法克莱姆法则 最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解一元二次方程的最优解。而克莱姆法则是一种用于求解线性方程组的方法。本文将介绍最小二乘法和克莱姆法则的原理及应用。 最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来求解一元二次方程的方法。它的基本思想是，通过找到一个最优解，使得方程的计算结果与观测值的差别最小化。最小二乘法可用于拟合一条曲线到一组离散的数据点，以求得最优的拟合曲线。 最小二乘法的具体步骤如下： 1. 假设一元二次方程的形式为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为待求解的系数。 2. 假设有n个观测点，记为(x1, y1)，(x2, y2)，...，(xn, yn)。 3. 将观测点带入方程，得到n个方程： a(x1^2) + b(x1) + c = y1 a(x2^2) + b(x2) + c = y2 ... a(xn^2) + b(xn) + c = yn 4. 将这n个方程合并为一个矩阵形式：AX = Y，其中A为一个 n×3的矩阵，X为一个3×1的矩阵，Y为一个n×1的矩阵。 5. 使用最小二乘法的原理，可以得到一个最优解X*，使得误差平方和最小。最小二乘法的解析解为X* = (A^T A)^(-1) A^T Y。
6. 求得系数a、b、c后，即可得到拟合的一元二次方程。 克莱姆法则是一种用于求解线性方程组的方法。它的基本思想是，通过求解方程组的行列式来得到未知数的值。克莱姆法则适用于线性方程组的系数矩阵的行列式不为零的情况。 克莱姆法则的具体步骤如下： 1. 假设有n个线性方程，形如： a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ... an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn 2. 将这n个方程的系数矩阵记为A，常数矩阵记为B，未知数矩阵记为X，即AX = B。 3. 利用克莱姆法则，可以得到各个未知数的值，即xi = |Ai| / |A|，其中|Ai|表示将第i列替换为常数矩阵B后的行列式，|A|表示原矩阵A的行列式。 4. 求得所有未知数的值后，即可得到线性方程组的解。 最小二乘法和克莱姆法则在实际应用中有着广泛的应用。最小二乘法可以用于拟合曲线到实验数据，例如通过一组温度和时间的测量数据，可以拟合出一个最优的曲线来描述温度随时间的变化规律。克莱姆法则可以用于求解线性方程组，例如在电路分析中，可以通过克莱姆法则求解电路中各个节点的电压和电流。
使用克莱姆法则求解二元一次方程python
使用克莱姆法则求解二元一次方程python 在数学领域中，求解二元一次方程是我们经常会遇到的问题之一。为了解决这个问题，我们可以使用克莱姆法则。克莱姆法则是一种利 用行列式来求解线性方程组的方法，特别适用于二元一次方程的求解。 克莱姆法则是由瑞士数学家克莱姆在18世纪末提出的。它的思想 很简单，基本原理是利用行列式的性质，将线性方程组转化为一个行 列式的形式，并通过计算行列式的值来求解方程。 假设我们有一个二元一次方程组，具体表达式如下： a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 其中，a1、a2、b1、b2、c1、c2分别是已知的系数和常数。 首先，我们需要计算系数矩阵的行列式D： D = |a1 b1| |a2 b2| 然后，我们需要计算x的系数矩阵的行列式Dx： Dx = |c1 b1| |c2 b2| 最后，我们需要计算y的系数矩阵的行列式Dy：
Dy = |a1 c1| |a2 c2| 通过这三个行列式的计算结果，我们可以得到方程组的解： x = Dx / D y = Dy / D 现在，让我们用Python代码来实现这个求解过程。首先，我们需要导入numpy库，它提供了对矩阵运算的支持。 ```python import numpy as np 输入方程组的系数和常数 a1 = float(input("请输入a1的值：")) b1 = float(input("请输入b1的值：")) c1 = float(input("请输入c1的值：")) a2 = float(input("请输入a2的值：")) b2 = float(input("请输入b2的值：")) c2 = float(input("请输入c2的值：")) 计算行列式的值 D = np.linalg.det([[a1, b1], [a2, b2]])
matlab中用克拉默法则解n元方程
matlab中用克拉默法则解n元方程 克拉默法则是一种解决n元线性方程组的方法，它通过使用行列式的性质，可以求解出方程组的解。在MATLAB中，可以利用克拉默法则来解决n元线性方程组的问题。 克拉默法则的基本思想是，将n元线性方程组的解表示为各个未知数的比例关系，并通过计算行列式的值来求解未知数的值。具体步骤如下： 1. 将n元线性方程组写成矩阵形式。假设方程组为A*X=B，其中A 是一个n阶矩阵，X是未知数向量，B是已知常数向量。 2. 计算系数矩阵A的行列式值det(A)。如果det(A)=0，说明方程组无解；如果det(A)≠0，说明方程组有唯一解。 3. 对于方程组的每一个未知数Xi，将其系数矩阵A中第i列替换为常数向量B，得到矩阵Ai。然后计算矩阵Ai的行列式值det(Ai)。 4. 未知数Xi的解为det(Ai)/det(A)。将每个未知数的解代入原方程组中，可以验证解的正确性。 以一个具体的例子来说明克拉默法则在MATLAB中的应用。 假设有以下的3元线性方程组： 2x + 3y - z = 1 4x - y + 2z = -2
3x + 2y - 3z = 3 将方程组写成矩阵形式： A = [2, 3, -1; 4, -1, 2; 3, 2, -3] B = [1; -2; 3] 接下来，计算系数矩阵A的行列式值： detA = det(A) 然后，计算每个未知数的解： x = det([B, A(:,2:3)])/detA y = det([A(:,1), B, A(:,3)])/detA z = det([A(:,1:2), B])/detA 将解代入原方程组中验证： eq1 = 2*x + 3*y - z eq2 = 4*x - y + 2*z eq3 = 3*x + 2*y - 3*z 如果方程组有解，那么eq1、eq2和eq3的值应该分别为1、-2和3。通过以上步骤，可以使用MATLAB中的克拉默法则来解决n元线性方程组的问题。克拉默法则的优点是计算简单，缺点是计算量较大，特别是当n较大时。因此，在实际应用中，如果方程组的维数较大，可以考虑使用其他更高效的方法来求解线性方程组。
关于线性方程组求解的论文
线性方程组的求解问题 摘要:线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支。其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。本文先简要介绍了线性方程组求解的历史，然后给出线性方程组解的结构。重点介绍了解线性方程组的几种方法:消元法，克拉默法则和利用向量空间概念求解线性方程组的方法。最后介绍了如何利用Matlab、Excel等常用电脑软件解线性方程。 关键词:线性方程组克拉默法则 Matlab 1.线性方程组求解的历史 线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。法国数学家范德蒙不仅对行列式理论本身进行了开创性研究，而且把行列式应用于解线性方程组。英国数学家凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解。19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解。 2.线性方程组解的结构 n元线性方程组的一个解(c1,c2,……c n)是一个，维向量，当方程组有无穷多个解时，需要研究这些解向量之间的关系，以便更透彻地把握住它们。 关于齐次线性方程组的解的结构有以下结论: 1)定义1齐次线性方程组的一组解η1，η2……ηt称为该方程组的一个基础解系，如果 a)该方程组的任一解都能表成η1，η2……ηt的线性组合。 b)η1η2……ηt线性无关。 2)齐次线性方程组的两个解的和还是解，一个解的倍数还是解。 3)齐次线性方程组有非零解时必定存在基础解系，并且一个基础解系里有n-r个解，
克莱姆法则
第三节 克莱姆法则 教学目的及要求： 1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点： 克莱姆法则的应用 教学过程： 一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授 1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行 探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。 含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组 a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n b 1, a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n b 2, (1) a n1x 1 a n2x 2 a nn x n b n , a 11 a 12 a 1n D a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 2. 克莱姆法则 定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为 性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组， 即 a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n 0, a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n 0, (2) a n1x 1 a n2x 2 a nn x n 0. 称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即 ,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一
2 2 5 20, 20, 85 45 D j x j D(j 1,2, ,n) (3) 其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理: 定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方 程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理 3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0. 注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性 方程组(2)有非零解. 三、例题选讲 例 1 用克莱姆法则求解线性方程组： 2x1 3x2 5x3 2 x1 2x2 5 3x 2 5x3 4 解D 20 2 35 D1( 2) 2 5 D2 60,
基于MATLAB的线性方程组求解及其可视化
基于MATLAB的线性方程组求解及其可视化 作者：王荣亮仓龙仓许凤桐 来源：《电脑知识与技术》2021年第31期
摘要：针对当前线性代数计算量大，概念抽象等问题，将Matlab用于方程组将求解和教学，画出二元齐次非线性方程组的可视化图像，可以提高课堂效率，促进学生对概念的理解，培养学生数学素养和信息技术素养。 关键词：线性代数;Matlab;方程组;可视化 中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2021）30-0150-03 Solution and Visualization of Linear Equations Based on MATLAB WANG Rong-liang， CANG Long-cang， XU Feng-tong
（Suqian Vocational &Technical College， Suqian 223800， China） Abstract： Aiming at the problems of large amount of calculation and abstract concept in current linear algebra， Matlab is used to solve and teach equations and draw visual images of binary homogeneous nonlinear equations， which can improve classroom efficiency， promote students' understanding of concepts， and cultivate students' mathematical and information technology literacy. Key words： linear algebra; MATLAB; equations; visualization 1 引言 线性代数是现代数学重要的一个分支，是高等院校经管类、理工类等相关专业一门重要的基础必修课，也是利用数学知识解决实际问题的重要工具。线性代数教学的难点主要体现在概念抽象和计算量大两个方面。计算机技术的快速发展，尤其是许多优秀软件（如Matlab、Maple、Geogebra）的出现和逐步完善，不但使得大量计算成为了现实，也更利于数学教学可视化，促进学生对概念的理解。 2 基本概念 线性方程组是指联立的各个方程关于未知量均为一次的。一般形式如下： [a11x1+a12x2+…a1nxna21x1+a22x2+…a2nxn⋮am1x1+am2x2+…amnxn=b1=b2=bm] [（1）] 式中[x1，x2，…xn]代表未知量，[aij（1≤i≤m，1≤j≤n）]称为方程⑴的系数，[bi（1≤i≤m）]称为常数项。特别的，当常数项b1，b2，…，bn都等于零时，则方程组⑴称为齐次线性方程组;当常数项b1，b2，…，bn不全为零时，则方程组⑴称为非齐次线性方程组。 其中，当[m=n]时，将未知数系数构成的行列式 [D=a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮⋮an1an2…ann]，称为方程组（1）的系数行列式。 也可将方程组（1）写成矩阵形式[AX=b]，其中[A=（aij）m×n]称为系数矩阵。 根据未知数的个数和方程的个数，将方程组分为： 当未知数的个数等于方程的个数，即[m=n]时，称方程组为适定方程组; 当未知数的个数小于方程的个数，即[m
线性代数方程组的数值解法讨论
线性代数方程组的数值解法讨论 解线性方程组的方法，主要分为直接方法和迭代方法两种。直接法是在没有舍入误差的假设下能在预定的运算次数内求得精确解。而实际上，原始数据的误差和运算的舍入误差是不可以避免的，实际上获得的也是近似解。 迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确解的序列。对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，因此比较受工程人员青睐。 小组成员本着工程应用，讨论将学习的理论知识转变为matlab 代码。讨论的成果也以各种代码的形式在下面展现。 1 Jacobi 迭代法 使用Jacobi 迭代法，首先必须给定初始值，其计算过程可以用以下步骤描述： 步骤1 输入系数矩阵A ，常熟向量b ，初值(0)x ，误差限ε，正整数N ，令 1k =. 步骤2 (0)1 1n i i ij j j ii j i x b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ∑，(0)j x 代表(0)x 的第j 个分量。 步骤3 计算1 1n i i ij j j ii j i y b a x a =≠⎡⎤⎢ ⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ∑， 判断1max i i i n x y ε≤≤-<，如果是，则结束迭代，转入步骤5；否则，转入步骤4。 步骤4 判断k N =？如果是，则输出失败标志；否则，置1k k =+，i i x y ⇐， 1,2,,i n =，转入步骤2。 步骤5 输出12,, n y y y 。 雅可比迭代代码 function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol) % jacobi 迭代法 计算线性方程组 % tol 为输入误差容限，x0为迭代初值 max1= 300; %默认最多迭代300，超过要300次给出警告 D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1);
克拉默法则及其推广在方程组求解中的应用
克拉默法则及其在方程组求解中的应用 数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级赵丽 指导教师刘学文 摘要：线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。本文描述了克拉默法则产生的背景与意义，归纳了克拉默法则及其推广形式的各种证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。 关键词：克拉默法则；线性方程组；消去法 Abstract: Linear algebra is an important component of the algebra. Widely used in many branches of science. It is one of the core problems of linear equations. Therefore, usually have two solutions, namely elimination and Cramer＇s Rule. In studying the Cramer＇s rule before, we learn a variety of determinant method, while the Cramer＇s rule is used to solve linear equations of the problem of determinant, the concise, graceful expression is symbolic of a model.Cramer＇s rule is linear algebra A on solving linear equations theorem. It is suitable for variables and equations is equal to the number of linear equations, is a Swiss mathematician Cramer (1704-1752) on 1750, in his" linear algebra analysis introduction" published in.. Key words:Cramer＇s rule; linear equations; proof; application 引言 克拉默法则（Cramer's Rule），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。线性代数是代数学的一个重要的组成部分，广泛地应用与现代科学的许多分支。其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。对此通常有
MATLAB软件在线性代数中的应用【毕业作品】
MATLAB软件在线性代数中的应用 摘要:线性代数是一门重要的数学基础课，MATLAB软件是目前教学与科研中最具影响力、最有活力、最具可靠性的数学软件，并应用到社会各个方面。本文首先介绍了线性代数和MATLAB产生的背景，以及它们的发展历程和发展方向。接着叙述了解决线性代数问题的方法及其算法。我们通过分析问题建立数学模型，使用MATLAB软件进行求解。最后运用线性代数和MATLAB来解决相关实际问题，即它们被应用的过程。 关键词:线性代数，MATLAB，数学模型
MATLAB in linear algebra application Abstract:Linear algebra is an important basic course of mathematics,MATLAB software is the most influential , dynamic, and reliable mathematic software in the currently teaching and scientific research,and applicated to social each aspect. This paper first introduces the linear algebra and the background of MATLAB, and their development course and the development direction. Then describes the method of solving linear algebra problem and its algorithm.We establish the mathematical model through analying the problem,and use the MATLAB software to solve it. Finally using linear algebra and MATLAB to solve the related practical problems , which is that they are applied process. Keywords: Linear algebra, MATLAB，the mathematical model
《基于MATLAB的高等数学问题求解》学习笔记
第六章：函数，极限与连续的MATLAB 1 映射与函数。 （1）集合（更多的是用于数组间的运算）：ismember（一个个元素判断是否是子集，返回一个数组）；intersect（求交集，返回结果数组）；setdiff(a,b)（求差集，属于a不属于b的数组）；union （求并集）。 （2）函数：定义方法：y=@(x)f(x)；syms x y=f(x)；y=sym(‘f(x)’); 求反函数：finverse(f,t)；求复合函数f(g(x))：y=compose(f,g)； 2 求极限。 （1）求数列极限：limit(xn, n, inf)；limit(xn, inf)。 （2）求函数极限：limit(fx, x, x0(, ‘left’) )；limit(fx, x, inf)。 3 函数的连续性与间断点。 （1）判断连续性的函数代码：P144。 （2）判断x0是否是函数f(x)的间断点的函数代码：（P146，文件夹MATLAB学习中的程序储存里）。 实际应用中，可以根据绘图来判定是否是间断点。
（3）求函数区间的方法：P215。 第七章：导数与微分的MATLAB求解 1 导数求解： diff(fx,x,n)后面2个可以省略，则是求导函数； 隐函数的导数求解见P156的2个例子；稍微总结就是把y定义为y=sym(‘y(x)’)，然后定义隐函数的表达式为F=…，把表达式等号右侧置为0，左侧为F函数表达式，之后：diff(F,x)。 参数方程确定的函数的导数P157。 2 洛必达法则：P168. 3 泰勒公式： P172.另外，MATLAB有taylor(fx,x,n,a)。MATLAB提供了泰勒级数逼近分析界面：taylortool， 4 函数的凹凸性与曲线的单调性： 求函数单调区间及各个区间单调性的判定：P175。 求凹凸性与拐点的程序：P179。 求方程实根从而可以进行一些特殊数值表达式的求解（比如（-8）