考研数学二历年真题及部分答案

2010年考研数学二真题（强烈推荐）一填空题(8×4=32分)

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）函数3

()sin x x f x nx

与2

()ln(1)

g x x

bx =-是等价无穷小，

则（）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）无穷多个

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)

g x x bx =-是等价无

穷小，则（）

（A ）11,6a b ==- （B ）1

1,6

a b == （C ）1

1,6

a b =-=-

（D ）11,6

a b =-= （3）设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（0，0）（）

（A ）不是(,)f x y 的连续点（B ）不是(,)f x y 的极值点

（C ）是(,)f x y 的极大值点（D ）是(,)f x y 的极小值点（4）设函数(,)f x y 连续，则22

241

(,)(,)y

dx f x y dy dy f x y dx

-+??

（）（A ）2411(,)y

dx f x y dy

-?? （B ）241

(,)x

dx f x y dy

-??

（C ）241

(,)y

dx f x y dx -??

（D ）22

1(,)y

dx f x y dx

（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点（1，1）的曲率圆为2

x y +=，则()f x 在区间（1，2）内（）

（A ）有极值点，无零点（B ）无极值点，

有零点

（C ）有极值点，有零点（D ）无极值点，无零点

（6）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为

则函数0

()()x

F x f t dt

为（）

（7）设Ａ、B 均为2阶矩阵，,A B

分别为A 、B

的伴随矩阵。若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵0

0A B

???

的

伴随矩阵为（）（A ）

0320B A

**?? ?

?? （B ）0230B A **??

???

（C ）

0320A B

**?? ?

?? （D ）

0230A B

**??

???

（8）设A ，P 均为3阶矩阵，T

P 为P 的转置矩

阵，且T

P A Ｐ＝

100010002 ?? ? ? ? ??

，若

1231223(,,),(,,)

P Q ααααααα==+，则T

为（）

（Ａ）

2101 ??

? 1 0 ? ?0 0 2??

（Ｂ）11012000 ??

? ? ? 2??

（Ｃ）

20001 ??

? 0 ? ?0 0 2??

（Ｄ）

100020002 ??

? ? ? ??

二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位

置上。

（9）曲线

21022

ln(2)

t u x e du y t t --?=??

?=-??在（0，0）处的切线方程为

____________

（10）已知||

1k x e

dx +∞-∞

=?，则k=____________

（11）1

lim sin x

n e

nxdx

-→∞?=___________

（12）设()y y x =是方程1

xy e

x +=+确定的隐函数，则

|x dy dx ==____________

（13）函数2x

y x =在区间(0,1]上的最小值为

_________

（14）设,αβ为3维列向量，T

β为β的转置，若T

β相似于

200000000 ??

? ? ? ??

，则

T βα

=___________

三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分9分）求极限4

(1cos )[ln(1tan )]

lim sin x x x x x

→--+ （16）（本题满分10分）计算不定积

分

ln(1(0)x +

（17）（本题满分10分）设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与

2z x y

???

（18）（本题满分10分）设非负函数y=y(x)(x ≥0)，满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线

y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。

（19）（本题满分10分）求二重积分()D

x y dxdy -??，

其中

22{(,)|(1)(1)2,}

D x y x y y x =-+-≤≥

（20）（本题满分12分）设y=y(x)是区间(,)ππ-内

过点(的光滑曲线，当

0x π-<<时，曲线上任一点处的发现都过原点，当0x π

≤<时，函数y(x)满足

y y x ''++=。求y(x)的表达式。

（21）（本题满分11分）（I ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[a,b]上连续，在（a,b ）可导，则存在(,)a b ζ∈，使得()()()()f b f a f b a ζ'-=-。（II ）证明：若函数()f x 在x=0处连续，在(0,)(0)δδ>内可导，且0lim ()x f x A →+

'=则(0)f +

存在，且(0)f A +

'=。

（22）（本题满分11分）设11111111,10422A ζ---????

? ?=-= ? ?

? ?---????

（I ）求满足22

131

,A A ζζζζ==的所有向量2

,ζ

ζ；

（II ）对（I ）中的任一向量2

,ζ

ζ，证明：1

,,ζζ

ζ线

性无关。

（23）（本题满分11分）设二次型

2221

(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-

（I ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（II ）若二次型f 的规范形为2

212

y +，求a 的值。

2008考研数学二真题

一、选择题：（本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (1)设2()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为( )．

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．

(2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()a

xf x dx '?在

几何上表示( )．

(A) 曲边梯形ABOD 的面积． (B) 梯形ABOD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积．

(3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是( )．

(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=. (C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. (4) 判定函数ln ||

()sin |1|

x f x x x =

-间断点的情况( )． (A) 有1可去间断点，1跳跃间断点．(B) 有1跳跃间断点，1无穷间断点． (C) 有2个无穷间断点. (D)有2个跳跃间断点.

(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是( )．

(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. (6)设函数f

连续，若22(,)uv

D F u v =??

，其中区域uv D 为图中阴影部分，

则

?=?( )． (A) 2()vf u (B) ()vf u (C)

2()v f u u (D) ()v

f u u

(7)设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则下列结论正确的是( )．

(A) E A -不可逆，E A +不可逆. (B) E A -不可逆，E A +可逆. (C) E A -可逆， E A +可逆. (D) E A -可逆， E A +不可逆.

(8) 设1221A ??

= ???

，则在实数域上，与A 合同矩阵为( )．

(A) 2112-?? ?-?? . (B) 2112-?? ?-??. (C) 2112?? ???

. (D)

1221-??

?-??

二、填空题：（9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上） (9)已知函数()f x 连续，且01cos[()]

lim

1(1)()

x x xf x e f x →-=-，则(0)f =

(10)微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是 .

(11)曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程为 . (12)曲线23

(5)y x x =-的拐点坐标为 .

(13)设x y

y z x ??

= ???

，则(1,2)z x ?=? .

(14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 三、解答题(15－23小题，共94分)．

(15)(本题满分9分) 求极限[]4

sin sin(sin )sin lim

x x x x x →-．

(16)(本题满分10分)

设函数()y y x =由参数方程2

0()ln(1)t x x t y u du =??

?=+??

?确定，其中()x x t =是初值问题0

t dx te dt

x -=?-=???=?的解，求22d y dx ． (17)（本题满分9

分）计算21

?．

(18)(本题满分11分)

计算max{,1}D

xy dxdy ??，其中{}D x y x y (,)|02,02=≤≤≤≤．

(19)(本题满分11分)

设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =．对任意的

[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋

转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式． (20)(本题满分11分) (I)

证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点

[,]a b η∈，使得()()()b

a f x dx f

b a η=-?；

(II)

若函数()x ?具有二阶导数，且满足(2)(1)??>，3

2(2)()x dx ??>?，证明至

少存在一点(1,3)ξ∈，使得()0?ξ''<． (21)(本题满分11分)

求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值．

(22) (本题满分12分)．

设n 元线性方程组Ax b =，其中

222212121

212a a a a a A a a a a ?? ?

? ?

? ? ???

，12

n x x x x ?? ? ?= ? ???，12n b b b b ?? ? ?= ? ?

??．

（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；

（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解． (23) (本题满分10分)

设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足

A ααα323=+，

(I)证明123,,ααα线性无关；

(II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．

2007年研究生入学考试数学二试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）当0x +

→

等价的无穷小量是

（A

）

1- （B

）（C

（D

）

1cos - [ ]

（2）函数1(e e)tan ()e e x x x f x x +=

??- ???

在[],ππ-上的第一类间断点

是x = （）

（A ）0 （B ）1 （C ）

2π

（D ）2

π （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0

()()d x F x f t t

，则下列结论正确的是：

（A ）3(3)(2)4

F F =-- (B) 5

(3)(2)4

F F =

（C ）3(3)(2)4

F F = （D ）5

(3)(2)

F F =-- [ ]

（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：

（A ）若0

()lim x f x x →存在，则

(0)0

f = （B ）若

()()

lim

x f x f x x

→+-存在，则(0)0f = .

（B ）若0

()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0

()()lim x f x f x x →--存在，则(0)0f '=.

[ ]

（5）曲线()1

ln 1e x

y x

=++的渐近线的条数为（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ]

（6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()

f n =，则下列结论正确的是：

(A) 若1

u > ，则{}n

u 必收敛. (B) 若

u u > ，则{}n

u 必发散

u u < ，则{}n

u 必收敛. (D) 若

u u < ，则{}n

u 必发散. [ ]

（7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是（A ）

()

[](,)0,0lim

(,)(0,0)0x y f x y f →-=.

（B ）0

(,0)(0,0)(0,)(0,0)

lim 0,lim 0x y f x f f y f x y

→→-

-==且. （C ）

((,)0,0lim

x y →=.

（D ）0

lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x

x y

x y f x f f y f →→????''''-=-=????

且. （8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1

sin 2

d (,)d x

x f x y y

ππ??

等

于

（A ）10

arcsin d (,)d y

y f x y x

π+??

（B ）10

arcsin d (,)d y

y f x y x

-??

（C ）1

arcsin 0

d (,)d y y f x y x

ππ

+??

（D ）

arcsin 0

d (,)d y

y f x y x

ππ

（9）设向量组1

,,ααα线性无关，则下列向量组线

性相关的是

线性相关，则 (A) 1

22331

,,αααααα--- (B) 1

22331

,,αααααα+++

223312,2,2α

ααααα---. (D)

122331

2,2,2αααααα+++.

[ ] （10）设矩阵

211100121,010112000A B --???? ? ?=--= ? ?

? ?--????

，则A 与B

(A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.

0arctan sin lim

x x x

x →-=

__________.

（12）曲线

2cos cos 1sin x t t

y t

?=+?

=+?上对应于4

t π=的点处的法线斜率为_________. （13）设函数123y x =+，则()

(0)n y =

________.

（14）二阶常系数非齐次微分方程2432e

y y y '''-+=的通解为y =________.

（15）设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y

= ??

，则

z z x

y x y

??-=?? __________.

（16）设矩阵

100001000010

000A ??

?= ?

，则3

A 的秩为 .

三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)

设()f x 是区间0,4π??

???

上单调、

可导的函数，且满足()

cos sin ()d d sin cos f x x

t t f t t t

t t

--=+?

?，其中1

f -是f 的反函数，求

()f x .

（18）（本题满分11

分）设D 是位于曲线2(1,0)

y a x -

=>≤<+∞下方、x 轴

上方的无界区域.

（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；

（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. （19）（本题满分10分）求微分方程2

()y x y y ''''+=满

足初始条件(1)(1)1y y '==的特解

（20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程1

e 1

y y x --=所确定，

设()ln sin z f y x =-，求

200

d d ,

d d x x z

z x

x ==.

（21） (本题满分11分)

设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=. （22） (本题满分11分)

设二元函数

2,||||1

(,)1||||2

x x y f x y x y ?+≤?

=<+≤，计算

二重积分D

(,)d f x y σ??，其中(){},||||2D x y x y =+≤.

（23） (本题满分11分)

设线性方程组

1231232

12302040

x x x x x ax x x a x ?++=?

++=??++=?与方程

12321

x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.

1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当0x +

→时

，1x

，

()

1112

x -=

，

故用排除法可得正确选项为（B ）.

事

实上

，000lim

lim lim 1

x x x +

++→→→==，

或

ln ln(1)ln(1()

x x o x o o x

=+-=++=

所以应选（B）

【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.

2…【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型.

【详解】函数在0,1,

x x x

===±均无意义，

而

0000

(e e)tan(e e)tan

lim()lim0,lim()lim1

e e e e

x x

x x x x

x x

f x f x

x x

++--

→→→→

====-

????

? ?

????

；

(e e)tan

lim()lim

e e

x x

f x

→→

==∞

；

(e e)tan

lim()lim

e e

x x

f x

ππ

→±→±

==∞

所以0

x=为函数()f x的第一类间断点，故应选（A）.

【评注】本题为基础题型. 对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极

限判断间断点的类型；对分段函数来

讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断.

段函数的定积分.

【详解】利用定积分的几何意义，可得 2

21113(3)12228F πππ

??=-= ???，2

11(2)2

F ππ==，

2011

(2)()d ()d ()d 122

F f x x f x x f x x ππ

---==-===?

??.

所以

(3)(2)(2)44

F F F =

=-，故选（C ）.

【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.

4……【分析】本题考查可导的极限定义及连续

与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数

()

f x 去进行判断，然后选择正确选项.

【详解】取()||f x x =，则0

()()lim 0x f x f x x →--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）. 事实上，

在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.