高中数学函数最值问题的常见求解方法

一、配方法

例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322

?-=+的最大值和最小值．

解析：34)3

22(32

+

--=x

y ，当01≤≤-x 时，122

1≤≤x

．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3

4max =

y ． 二、判别式法

对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442

2

=-++-x x xy y ，求y 的最值．

解析：由已知，变形得0)1()12(242

2

=-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有

0)1(16)12(422≥---y y 故4

5≤

y ． 因此4

5

max =

y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022

2

=-+++y x xy y x ，则m ax x =min y =

解析：由已知，变形得：0)()12(2

2

=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有

0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤

x ．即 8

1max =x ． 同理，0)()12(2

2

=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有

0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8

1

min -=y ．

注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法

例4：已知函数1

1

3452

2+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2

=-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ，

0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ．

因此7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(1

2R x x b

ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01

2

22

=-+-?+=+?++=

b y ax yx b ax y yx x b ax y

∵R x ∈∴0)(4)(2≥---=?b y y a ，即0442

2≤--a by y

由题意：0430)4)(1(]4,1[2

≤--?≤-+?-∈y y y y y 0161242

≤--?y y 所以124=b ，162

=a ，即3=b ，4±=a

注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥?，从而求得原函数的值域或参数的值.形如

2

2221

121c x b x a c x b x a y ++++=

(1a 、2a 不同时为0)，常用此法求得 例6：在2

0π

≤

≤x 条件下，求2

)sin 1()

sin 1(sin x x x y +-=

的最大值．

解析：设x t sin =，因0(∈x ，

)2

π

，故10≤≤t ，则2

)

1()

1(t t t y +-=

即0)12()1(2

=+-++y t y t y

因为10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2

≥+--=?y y y 即8

1≤y 将81=

y 代入方程得0[31∈=t ，]1，所以8

1max =y 注意：因0≥?仅为方程0)12()1(2

=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将8

1

=

y 代入方程中检验，看等号是否可取． 三、代换法 (一)局部换元法 例7：求函数4

2

2++=

x p x y 的最值．

解析：令42

+=x t ，则2≥t ，函数t

p t x p x y 4

4

22-+

=++=

当8≥p 时，424

-≥-+

=p t

p t y ，当4-=p t 时取等号

当8

()4(2

21121t p t t p t y y -+--+

=-＝+-)(21t t

)(41221t t t t p --＝)4

1)((2121t t p t t ---，因为212t t <≤，8

-=-t t p t t y y ，所以t

p t y 4

-+=在[2，)∞+内递增． 故2

242p p y =-+

≥ 所以当8≥p 时，42min -=p y ，无最大值； 当8

min p

y =

，无最大值． 例8：求函数x x y 21-+=的最值． 解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2

1

2≤+--=t y 当且仅当1=t 即0=x 时取等号．故1max =y ，无最小值． 例9：已知20≤

≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．

解析：2

)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin

则22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2

12

2-++=a a t y

当2=

t 时，2122max +

+=a a y ；当a t -=时，)1(2

12

min -=a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．

(二)三角代换法(有时也称参数方程法)

例10：已知x 、y R ∈，412

2

≤+≤y x ．求2

2

y xy x u ++=的最值． 解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)

因412

2

≤+≤y x ，故412

≤≤t

)2sin 2

1

1()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u

故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12

=t 且12sin -=θ时，2

1max =

u ． 例11：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设2

2y x S +=，则

max

1S +

m in

1S =____

解析：令αcos S x =，αsin S y =，则

5sin cos 54=-ααS S

ααα2sin 2545

cos sin 545-=

-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，1310

2

545min =+

=y ．

所以

5

8101310311min

max

=+=

+

S S ． 例12：求函数x x a y )(2

2

-= (a x ≤||)的最值．

解析：令αcos a x =，则ααααcos sin cos sin 2

322a a a y =?=

又令ααcos sin 2=t ，则ααααα22224

2cos 2sin sin 2

1cos sin

??==t

274)3cos 2sin sin (213222=++≤ααα 932932≤≤-

∴t 即有3

39

32932a y a ≤≤- 所以3

max 9

32a y =

，3min 932a y -= 注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等” 例13：已知x 、y R ∈且x y x 6232

2

=+，求y x +的最值．

解析：化x y x 6232

2

=+为123)1(22

=+-y x ，得参数方程为??

?

?

?=+=θθsin 26cos 1y x )sin(2

10

1sin 26cos 1?θθθ++=+

+=+∴y x 故2101)(max +=+y x ，2

101)(min -=+y x ． (三)均值换元法

例14：已知1=+b a ，求证：4

4b a +的最小值为

8

1

．