排列数、组合数公式与二项式定理的应用
排列数、组合数及二项式定理整理
慈济中学全椒
1、排列数公式
m n A =)1()1(+--m n n n =！！
)(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)．
2、排列恒等式
(1)
1(1)m
m n
n A n m A
-=-+;(2)
1m
m
n n n A A n m -=
-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;
(5)
1
1m m m n n n
A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?+
+?=+-.
3、组合数公式
m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤).
4、组合数的两个性质 (1)
m n C =m
n n
C - ; (2) m n C +1
-m n C =m n C 1
+.
5、排列数与组合数的关系
m m
n n
A m C =?！ .
6、二项式定理：
011()()n n n r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++
++
+∈
【注】：
1．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做()n
a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r
n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r
n r
r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r
r n T C a b -+=表示。
2．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n
a b +与()n
b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0
1
2
,,,,,,.
r
n
n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
3．常用的结论：
令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n
n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122
(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-
++
+-∈
4．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
0n n n C C =，···1k k n n C C -=
②二项式系数和：令
1a b ==,则二项式系数的和为
012
2r n
n n n n n n C C C C C +++
+++=， 变形式12
21r n n n n n n C C C C ++
++
+=-。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123
(1)(11)0n n
n n n n n n C C C C C -+-+
+-=-=，
从而得到：024213
21
11222
r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++
++???=?=
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0011222
0120120011222021210
01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n
n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=+++
+=+
+++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135
(1)(1),()
2
(1)(1),()
2
n n
n n n
n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②
①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n
C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n
C -,12n n
C
+同时取
得最大值。
⑥系数的最大项：求()n
a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项
系数分别
为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112
r r
r r A A A A +++≥??
≥?，从而解
出r 来。
7、组合数公式的应用:
公式1 m
m c +m
m c 1++m
m c 2++……+m
k m c +=1
1+++m k m c 此公式可由下面方法推得 从
1++n m 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数为1
1
+++m k m
c 先将其分为1++n m 个元素中不含其中一个元素1a 的和含元素1a 的两类而这两类的组合数分别为
1++m k
m
c 与
m k
m
c +即得
11
+++m k m
c =
1++m k
m
c +
m k
m
c +，依此再将组合数
1++m k
m
c 分为两类可得
1++m k m c =11+-+m k m c +m k m c 1
-+，不断将组合数上标为1+m 的项进行如此分类即得公式1。 公式2 0m c .k n c +1m c .1-k n c +2m c .2
-k n
c +……+m
m
c m k n
c -=k
n m c + 此公式可由下面方法推得。 从放在一个盒中的m 个不同黑球与n 个不同白球中任取出k 的球的方法种数为k
n m c +，将取出的k 个球按所含白球数分类，分为含白球数为0个，1个，2个….k 个共k+1类，取法种数分别为0m c .k n c ，1m c .1-k n c ，2m c .2
-k n c ，……，m
m
c m
k n
c -即得公式2。下面举例说明以上两个公式在数列求和方面的应用。
例1 n s =1×2+2×3+3×4+….. +n×(n+1) 求n s
解：1×2+2×3+3×4+….. +n×(n+1)= 2(22c +23c +24c +…+2
1+n c ) ∴n s =23
2+n c =
3
)1)(2(n
n n ++
例2 求n s =12
+22
+32
+……+n 2
解：∵2
1+n c =
2
)1(n n + ∴22
1+n c =n 2+n ∴2（22c +23c +2
4c +…+21+n c ）=n s +2
)1(n n +
∴23
2+n c =n s +2)1(n n + 得3)1)(2(n n n ++=n s +2)1(n n +
整理得n s =6
)
12)(1(++n n n
例3求n s =13
+23
+33
+……+n 3
解：∵3
2+n c =
6
)1)(2(n n n ++ ∴63
2+n c =n 3+3n 2+2n
6（33c +3
4c +35c +…+32+n c ）=n s +36)12)(1(++n n n +22
)1(n n +
∴64
3+n c =n s +36)12)(1(++n n n +22
)1(n n + 解出n s 并整理得
n s =4
)1(22n n + 用类似的方法可求出a n =n 4，a n =n 5
，…的和。
例4 一盒有大小相同的黑球M 个，白球N 个，从中任取m 个球（m ≤M ，m ≤N ），求含有白球的个数ξ的数学期望。
∴E ξ=
m
N
M c +1
（11-m M N c c +222-m M N c c +…+（m-1）11M m N c c -+m 0
M m N c c ）
E ξ=
m N
M c N
+（
N 111-m M N c c +N 222-m M N c c +…+N m 1-11M m N c c -+N
m 0
M m N c c ） E ξ=
m
N
M c N
+（1
1--m M N c c +2
1
1--m M N c c +…+1
21M m N c c --+0
11M m N c c --）(∵
N
m m N c =1
1--m N c ) ∴E ξ=
m N
M c N
+1
1--+m M N c =
m
N
M c N
+M N m +m
M
N c +=N
M Nm +（此为超几何分布的数学期望） 8、二项式定理的应用：
题型一：二项式定理的逆用；
例：1232
1666 .n n n n n n C C C C -+?+?+
+?=
解：012233
(16)6666n n
n n n n n n C C C C C +=+?+?+?+
+?与已知的有一些差距，
123211221666(666)6
n
n n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+?+?++?=
?+?++? 012
2111(6661)[(16)1](71)6
66
n
n n n n n n n C C C C =
+?+?++?-=+-=-
练：123
1393 .n n
n n n n C C C C -++++=
解：设123
1393n n
n n n n n S C C C C -=+++
+，则
12233
012233
3333333331(13)1
n n n n
n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-(13)141
33
n n n S +--∴==
题型二：利用通项公式求n x 的系数；
例：在二项式n
的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知2
45n n
C -=，即2
45n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，
由
2102
1
10343
4110
10
()
()r r r
r
r
r r T C x x C x
--
+-
-+==，由题意102
3,643
r r r --
+==解得， 则含有3x 的项是第7项633
6110210T C x x +==,系数为210。
练：求29
1()2x x
-
展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222
r r r r r r r r
r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则
3r =
故9x 的系数为3
39121()22
C -=-。
题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(
x +
的展开式中的常数项？ 解：5202102
110
10
1()()2r r
r
r
r r r T C x C x --+==，令5
2002r -=，得8r =，所以
88
910145()2256
T C ==
练：求二项式6
1(2)2x x
-的展开式中的常数项？
解：666216611(2)(1)()(1)2()22
r r r r r r r r r
r T C x C x
x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以33
46(1)20T C =-=-
练：若21
()n x x
+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =
解：42444212
51()()n n n n T C x C x
x
--==，令2120n -=，得6n =.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式9
展开式中的有理项？
解：1271
936
219
9
()
()(1)r r r
r
r
r r T C x x C x
--+=-=-，令
276
r
Z -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，
所以当3r =时，
2746r -=，334
449
(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736
r -=，393
3109
(1)T C x x =-=-。 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若
n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .
解：设
n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ???
1x =-令,则有010,n a a a ++???=①，1x =令,则有
0123(1)2,n n n a a a a a -+-+???+-=②
将①-②得：1352()2,n a a a +++???=-1
1352,n a a a -∴+++???=-
有题意得，1
822562n --=-=-，9n ∴=。
练：若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 解：
024213
21
12r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++
++???=，121024n -∴=，解
得11n =
所以中间两个项分别为6,7n n ==，5
65
451462n T C x -+==?，61
15
61462T x
-
+=?
题型六：最大系数，最大项；
例：已知1(2)2
n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展
开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：
46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二
项式系数最大的项是45T T 和3
43471
35()2,22
T C ∴==
的系数，