(完整word版)初中数学总复习尺规作图
尺规作图
尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。五种基本作图:
1、作一条线段等于已知线段;
2、作一个角等于已知角;
3、作已知线段的垂直平分线;
4、作已知角的角平分线;
5、过一点作已知直线的垂线;
题目一:作一条线段等于已知线段。
已知:如图,线段a .
求作:线段AB,使AB = a .
作法:
①作射线AP;
②在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。
题目二:作已知线段的中点。
已知:如图,线段MN.
求作:点O,使MO=NO(即O是MN的中点).
作法:
①分别以M、N为圆心,大于1/2MN的相同
线段为半径画弧,两弧相交于P,Q;
②连接PQ交MN于O.
则点O就是所求作的MN的中点。
(试问:PQ与MN有何关系?)
题目三:作已知角的角平分线。
已知:如图,∠AOB,
求作:射线OP, 使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)。
作法:
①以O为圆心,任意长度为半径画弧,
分别交OA,OB于M,N;
②分别以M、N为圆心,大于1/2MN
的相同线段为半径画弧,两弧交∠AOB内于P;
③作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四:作一个角等于已知角。
(请自己写出“已知”“求作”并作出图形,不写作法)
题目五:已知三边作三角形。
已知:如图,线段a,b,c.
求作:△ABC,使AB = c,AC = b,BC = a.
作法:
①作线段AB = c;
②以A为圆心b为半径作弧,以B为圆心
a为半径作弧与前弧相交于C;
③连接AC,BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目六:已知两边及夹角作三角形。
已知:如图,线段m,n, ∠α.
求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=m,AC=n.
作法:
①作∠A=∠α;
②在AB上截取AB=m ,AC=n;
③连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目七:已知两角及夹边作三角形。
已知:如图,∠α,∠β,线段m .
求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=m. 作法:
①作线段AB=m;
②在AB的同旁作∠A=∠α,作∠B=∠β,
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所求作的图形(三角形)。
C
B
A
C
B
A
A
一、尺规基本作图归纳 1、作一条线段等于已知线段; 2、作一个角等于已知角; 3、作角的平分线; 4、作线段的中垂线;
5、已知三边,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形;
6、已知底边和底边上的高作等腰三角形;
7、过直线上一点作直线的垂线;
8、过直线外一点作直线的垂线. 例题:
1、如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定这个圆形零件的半径.
2、 如图:107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C 和D,现要修建一个货站P,使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
3、 三条
公路两两
相交,交点分别为A ,
B ,
C ,现计划建一个加油站,
要求到三条公路的距离相等,问满足要求的加油站地址有几种情况?
4、过点C 作一条线平行于AB ;
5、过不在同一直线上的三点A 、B 、C 作圆O ;
6、过直线外一点A 作圆O 的切线。
C
B
A
二、几何画图:
1、只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图: 1)画等腰三角形ABC 的对称轴: 2)画∠AOB 的对称轴
2、有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板(注:不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一条直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹,写出画法.
3、某校有一个正方形的花坛,现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉,请你帮助设计至少三种不同的方案,分别画在下面正方形图形上(用尺规作图或画图均可,但要尽可能准确些、美观些).
4、某村一块若干亩土地的图形是ΔABC ,现决定把这块土地平均分给四位“花农”种植,请你帮他们分一分,提供至少两种分法。要求:画出图形,并简要说明分法。
5、如图所示,在正方形网格上有一个三角形ABC. ①作△ABC 关于直线MN 的对称图形(不写作法); ②若网格上的最小正方形的边长为1.求△ABC 的面积.
6、如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.如图(一)中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”. ①求图中四边形ABCD 的面积;
②在图中方格纸上画一个格点△EFG ,使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形.
7、如图,若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,为使△ABC ∽△PQR ,则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的( ) A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
D
C
B
A
6题
7题
C
B
B
8、某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛。
(1)若要使花坛面积最大,请你在这块公共区域(如图)内确定圆形花坛的圆心P ; (2)若这个等边三角形的边长为18米,请计算出花坛的面积。
9、如图,平行四边形纸条ABCD 中,E 、F 分别是边AD 、BC 的中点。张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF 沿EF 翻折,得到一个V 字形图案。
(1)请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE ;(用尺规作图,不写画法,保留作图痕迹) (2)已知∠A=63°,求∠B1FC 的大小。
10、如图,已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形,∠AOB 画在方格纸上,请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB 的平分线。
11、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图,保留作图痕迹)
12、某公园有一个边长为4米的正三角形花坛,三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛,要求三棵古树不能移动,且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.
(1)按圆形设计,利用图1
画出你所设计的圆形花坛示意图;
10题
8题
(2)按平行四边形设计,利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图; (3)若想新建的花坛面积较大,选择以上哪一种方案合适?请说明理由 .
13、作一个半圆,使圆心在直角三角形ABC 直角边AC 上,且与斜边AB 直角边BC 都相切 14、问题探究: (1)请在图①的正方形ABCD 内,画出使90APB ∠=°的一个..
点P ,并说明理由. (2)请在图②的正方形
ABCD 内(含边),画出使60APB ∠=°的所有..
的点P ,并说明理由. (3)问题解决:如图③,现在一块矩形钢板
43ABCD AB BC ==,,.工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大
的APB △和CP D '△钢板,且60APB CP D '∠=∠=°.请你在图③中画出符合要求的点P 和P ',并求出
APB
△的面积 (结果保留根
号). 14.(本
题满分12分) 解:(1)如图①, 连接
AC BD 、交于点P ,则90APB ∠=°.
∴点P 为所求. ······················································· (3分)
(2)如图②,画法如下: 1)以
AB 为边在正方形内作等边ABP △;
2)作ABP △的外接圆O ⊙,分别与
AD BC 、交于点E F 、.
Q 在O ⊙中,弦AB 所对的?APB 上的圆周角均为60°,
?EF ∴上的所有点均为所求的点P . ·························· (7分)
(3)如图③,画法如下: 1)连接AC ;
2)以
AB 为边作等边ABE △;
3)作等边ABE △的外接圆O ⊙,交
AC 于点P ;
D C B A
①
D C
B
A
③
D C B
A ②
(第14题图)
D
C
B A
①
P
②
③
(第14题答案图)
4)在
AC 上截取AP CP '=.
则点P P '、为所求. ··············································· (9分) (评卷时,作图准确,无画法的不扣分) 过点B 作BG AC ⊥,交
AC 于点G .
Q 在Rt ABC △中,43AB BC ==,.
5AC ∴==.
12
5
AB BC BG AC ∴=
=g . (10分)
在Rt ABG △中,4AB =,
16
5
AG ∴==
. 在Rt BPG △中,60BPA ∠=°,
12tan 60535
BG PG ∴=
=?=°.
∴165AP AG PG =+=
1116122255APB
S AP BG ?∴==?+?= ??
g △. (12分)
尺规作图
〖考试内容〗
基本作图.利用基本作图作三角形.过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
〖考试要求〗
①能完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂直平分线.
②能利用基本作图作三角形:已知三边作三角形;已知两边及其夹角作三角形;已知两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高作等腰三角形.
③能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
④了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明).
〖考点复习〗
[例1]如图,已知△ABC,∠C=90o。按下列要求作图(尺规作图,保留作图痕迹);
①作∠B的平分线,与AC相交于点D;
②在AB边上取一点E,使BE=BC;
③连结ED。
(2)根据所作图形,写出一组相等的线段和一组相等的锐角。(不包括BE=BC,∠EBD=∠CBD)
[例2]如图,∠AOB内有两定点C、D,求作:一点P使PC=PD,且P到∠AOB的两边之距相等。要求:用尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹。
[例3]要在公路旁建一所小学,使A村、B村到小学的距离之和最小,请作出小学的位置。
[例4]如图,在大圆中有一个小圆O。
(1)确定大圆的圆心;
(2)作直线l,使其将两圆的面积均二等分。
[例5]已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.
(1)将图1中的格点△ABC,先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到△A1B1C1,请你在图1中画出△A1B1C1. (2)在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形.
A
〖考题训练〗
1.下列关于作图的语句中正确的是()
A. 画直线AB=10厘米.
B. 画射线OB=10厘米.
C. 已知A、B、C三点,过这三点画一条直线.
D. 过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.
2.如图,在5×5的正方形网格中,每个小正
方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画
出图形.
(1)从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为2 2 ;
(2)以(1)中的AB为边的一个等腰三角形ABC,使点C在格点上,且另两边的长都是无理数;
(3)以(1)中的AB为边的两个凸多边形,使它们都是中心对称图形且不全等,其顶点都在格点上,各边长都是无理数.
3.小明家用瓷砖装修卫生间,还有一块墙角面未完工(如图甲所示),他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设,请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图,并标出所选用每块余料的编号)。
图2
F
D E
A B
C
图1
4.如图,平行四边形纸条ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,张老师请同学将纸条的下半部分□ABFE沿EF翻折,得到一个V字形图案。
(1)请你在原图中画出翻折后的图形□A'B'FE
;(用尺规作图,不写画法,保留作图痕迹)(2)已知∠A=630,求∠B′FC的大小。
5.如图,有一木制圆形脸谱工艺品,H、T两点为脸谱的耳朵,打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔.现在只有一块无刻度单位的直角三角板(斜边大于工艺品的直径),请你用两种不同的方法确定点D的位置(画出图形表示),并且分别说明理由.
理由是:
6.如图,已知正方形ABCD的面积为S。
(1)求作:四边形A1B1C1D1,使得点A1和点A关于点B对称,点B1和点B关于点C对称,点C1和点C关于点D对称,
点D1和点D关于点A对称(只要画出图形,不要求写出作法);
(2)用S表示(1)中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1;
(3)若将已知条件中的正方形改为任意四边形,面积仍为S,并按(1)的要求作出一个新的四边形,面积为S2,则S1与S2是否相等?为什么?
例5.如图,A为半圆上一个三等分点,B为
⌒
AN中点,MN为直径,P为MN上一动点,在MN上求作一点,使
PA+PB的距离最短,并求PA+PB的最小值。()
A、1
B、
2
2C、 2
D、 3 -1
〖课后作业〗
①.请在图中作出△ABC的角平分线BD(要求保留作图痕迹)。
②.用尺规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹。为保护环境,市政府计划在连结A、B两居民区的公路北侧1500米的海边修建一座污水处理厂,设计时要求该污水处理厂到A、B两居民区的距离相等。
(1)若要以1∶50000的比例尺画设计图,求污水处理厂到公路的图上距离;
(2)在图中画出污水处理厂的位置P。
③.如图,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ,B ,C ,其中B 点坐标为(4,4),则该圆 弧所在圆的圆心坐标
为
。
④.如图,有一条小船,
(1)若把小船平移,使点A 平移到点B ,请你在图中画出平移后的小船;
(2)若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后,再航行到点B ,但要求航程最短,试在图中画出点P 的位置。
1、(11·贵港)(本题满分6分)
按要求用尺规作图(只保留作图痕迹,不必写出作法)
(1)在图(1)中作出∠ABC 的平分线;(2)在图(2)中作出△DEF 的外接圆O .
【答案】如图,(每画对一个得3分,共6分)
A
B
C
图(1)
F
D
E
图(2)
2.如图,以O 为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM 交于点A ,再以A 为圆心,AO 长为半径画弧,两弧交于点B ,画
射线OB ,则cos ∠AOB 的值等于___________.
3、(
2011?重庆)为进一步打造“宜居重庆”,某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M 到广场
的两个入口A 、B 的距离相等,且到广场管理处C 的距离等于A 和B 之间距离的一半,A 、B 、C 的位置如图所示.请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M 的位置.(要求:不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)
考点:作图—应用与设计作图。 专题:作图题。
分析:易得M 在AB 的垂直平分线上,且到C 的距离等于AB 的一半.
解答:解:作AB 的垂直平分线,以点C 为圆心,以AB 的一半为半径画弧交AB 的垂直平分线于点M 即可.
点评:考查设计作图;得到点M 是AB 的垂直平分线与以点C 为圆心,以AB 的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键.
(第11题) B
A M
O