必修五导学案
§1.1.1 正弦定理
1. 掌握正弦定理的内容;
2. 掌握正弦定理的证明方法;
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.
※ 学习探究
探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系.
如图,在Rt ?ABC 中,设BC =a ,AC =b ,AB =c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c
C c
==, 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c
A B C
==
.
(
探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,
有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b
A B
=
, 同理可得sin sin c b
C B =
, 从而sin sin a b A B =
sin c C
=.
类似可推出,当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导.
新知:正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即
sin sin a b A B =
sin c
C =. 试试:
(1)在ABC ?中,一定成立的等式是( ). A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A =
(2)已知△ABC 中,a =4,b =8,∠A =30°,则∠B 等于 .
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,
即存在正数k 使sin a k A =, ,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于 ,sin sin c b C B =
,sin a A =sin c
C . (3)正弦定理的基本作用为:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A
a B
=;
b = .
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,
如sin sin a
A B b
=;sin C = .
(4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形.
※ 典型例题
例1. 在ABC ?中,已知45A = ,60B = ,42a =cm ,解三角形.
变式:在ABC ?中,已知45B = ,60C = ,12a =cm ,解三角形.
例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ?=== 中,求和.
变式:在60,1,,ABC b B c a A C ?== 中,求和.
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 正弦定理:
sin sin a b A B =
sin c
C
= 2.应用正弦定理解三角形: ①已知两角和一边;
②已知两边和其中一边的对角.
※ 知识拓展
1、sin sin a b A B =2sin c R C ==,其中2R 为外接圆直径.
2.正弦定理的变形:
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 在ABC ?中,若cos cos A b
B a
=,则ABC ?是( ).
A .等腰三角形
B .等腰三角形或直角三角形
C .直角三角形
D .等边三角形 2. 已知△ABC 中,A ∶B ∶C =1∶1∶4, 则a ∶b ∶c 等于( ).
A .1∶1∶4
B .1∶1∶2
C .1∶1
D .2∶23. 在△ABC 中,若sin sin A B >,则A 与B 的大小关系为( ).
A. A B >
B. A B <
C. A ≥B
D. A 、B 的大小关系不能确定
4. 已知?ABC 中,sin :sin :sin 1:2:3A B C =,则::a b c = .
5. 已知?ABC 中,∠A 60=?,a sin sin sin a b c
A B C
++++= .
1. 已知△ABC 中,AB =6,∠A =30°,∠B =120?,解此三角形.
2. 已知△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =k ∶(k +1)∶2k (k ≠0),求实数k 的取值范围为.
§1.1.2 余弦定理
1. 掌握余弦定理的两种表示形式;
2. 证明余弦定理的向量方法;
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
一、课前准备
复习1:在一个三角形中,各 和它所对角的 的 相等,即 = = .
复习2:在△ABC 中,已知10c =,A =45?,C =30?,解此三角形.
思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?
二、新课导学 ※ 探究新知
问题:在ABC ?中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .
∵AC =
, ∴AC AC ?=
同理可得: 2222c o s a b c b c A =+-
, 2222cos c a b ab C =+-.
新知:余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍.
思考:这个式子中有几个量?
从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:
222
cos 2b c a A bc
+-=
, ,
. [理解定理]
(1)若C =90?,则cos C = ,这时222c a b =+
由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为:
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
试试:
(1)△ABC 中,a =2c =,150B = ,求b .
(2)△ABC 中,2a =,b ,1c ,求A .
※ 典型例题
例1. 在△ABC 中,已知a =b =,45B = ,求,A C 和c .
变式:在△ABC中,若AB,AC=5,且cos C=
9
10
,则BC=________.
例2. 在△ABC中,已知三边长3
a=,4
b=,c=,求三角形的最大内角.
变式:在?ABC中,若222
a b c bc
=++,求角A.
三、总结提升
※学习小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;
2. 余弦定理的应用范围:
①已知三边,求三角;
②已知两边及它们的夹角,求第三边.
※ 知识拓展 在△ABC 中,
若222a b c +=,则角C 是_________ 若222a b c +<,则角C 是_________ 若222a b c +>,则角C 是__________
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 已知a c =2,B =150°,则边b 的长为( ).
A. B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7,则最大角为( ). A .60 B .75 C .120 D .150
3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是( ).
A x <<
B x <5
C . 2<x
D <x <5
4. 在△ABC 中,|AB |=3,|AC
|=2,AB 与AC 的夹角为60°,则|AB -AC |=________.
5. 在△ABC 中,已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=,则∠C 等于 .
1. 在△ABC 中,已知a =7,b =8,cos C =
13
14
,求最大角的余弦值.
2. 在△ABC 中,AB =5,BC =7,AC =8,求AB BC ?
的值.
§1.1 正弦定理和余弦定理(习题课)
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容;
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形.
一、课前准备
复习1:在解三角形时
已知三边求角,用 定理;
已知两边和夹角,求第三边,用 定理; 已知两角和一边,用 定理.
复习2:在△ABC 中,已知 A =
6
π
,a =b =
二、新课导学 ※ 学习探究
探究:在△ABC 中,已知下列条件,解三角形.
① A =6
π
,a =25,b =
② A =6π,a ,b =
③ A =6
π
,a =50,b =
思考:解的个数情况为何会发生变化?
新知:用如下图示分析解的情况(A为锐角时).
已知边a,b和∠A
有两个解
仅有一个解
无解