大一上学期 第一学期 高数期末考试题及答案
高等数学I （大一第一学期期末考试题及答案）
1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是
无穷小. (A) ()()x x βα+
(B)
()()x x 22βα+ (C)
[])()(1ln x x βα?+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1
（B ） e
（C ） a
e
cot （D ） a
e
tan
3.
???
??=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1
（B ） 0
（C ） e （D ） 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=
--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '
(C) )(a f ' （D ） )
(31
a f '
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 极限)
0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由
x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x
xe ye x y
x xy
xy
ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直
线l 的方程为 13
121
1--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－?，0）和（1，+? ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解：1
1
ln(1)120
00(1)1
ln(1)lim
lim lim
2x x x
x x x x e e
x x e
e e x x
x +-→→→+--+-===-
10. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=?，试求出)(x F ''。
解：
??-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
11. 求
3cos .sin x
x
dx x ?
解
：
2
3cos 1sin sin 2x x
dx xd x x -=-??2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+?
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
12. 求
?
-2
3
2
21
x x dx . 13. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点. 解：函数的定义域（－?，+?）
令0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点
极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y
0=''y 33故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23
）
14. 求由曲线43x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积.
15. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧 A B 上，求一点
(,)P x y 使ABP ?的面积最大.
六、证明题（本大题4分）
16. 设0x >，试证x x e x +<-1)1(2.
证明：设
0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，0)(,
0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，
+?）内递减。在（0，+?）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+?）内递减，在（0，+?）内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x
亦即当 x >0时，x x e x
+<-1)1(2 试证
x x e x +<-1)1(2.