数理方程期末试题--0--B-答案
北 京 交 通 大 学
2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）
（参考答案）
学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __
一、 计算题（共80分，每题16分）
1． 求下列定解问题（15分）
22
22201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u u
a A x l t t x u M u M u u t ====???=+<<>?????==????==???
2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）
2,0,0,(,0)0,(,0)0,
(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞
?=<<+∞>?
==??==? 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力
作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。
[ 解 ] 问题的定解条件是
1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ
∞
==+∑
由初始条件可得
0, 1,2,...n D n ==
2
22
2
02()sin d ()sin d =
sin
, 1,2,...
c l
h n h n n l
c l l c l c hl n c l
c l c n C x x x x l x x n ππ
ππ--??=+--????
=??
4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求
出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题
????
?????=??===><<+??=??====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222
222t t l x x l a l t u
u u u t l x t x x u a t u ，，
π
π [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。]
[ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l
n π
sin ，其解可以表示成
1
(,)()sin n n l n u x t v t x π∞
==∑
把原问题中非齐次项
t x t x f l a l ππ22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数
∑∞
===1
22sin )(sin sin ),(n l n n l a l x
t f t
x t x f ππ
π
因此有
?
??===,...4,3,1,0;2,sin )(2n n t t f l a n π
利用参数变易法，有
,...
5,4,3,1,0),()
cos sin ()(sin sin
),(22240
2222==-=
-=?n t x v t t t d t t x v n l a l a a l a l t
l a l a a l π
πππ
π
ππ
τ
ττ
于是
x t t t t x u l l a l a a l a l πππππ22224sin )cos sin (),(-=
6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题
????
?????=??-=+∞
<=<
2
2
22222t R r t r R r r t u u u u R r r u r u a t u [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得
?
?
?==+0)0('0
)()(")(22T t T a t T I β 以及
??
?=∞<=++0
)(,)(0)()(')(")(0222ρρρρβρρρρR R R R R II
设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为
)
(
)()(0
02
2ρρβρλρ
λn
n J R n n ==
问题（I ）的解为
t C t T n
a n n 0
cos )(ρλ=
于是原问题的解是
∑∑==t
J C t T R t u n
n a n n n 0
cos
)(
)()(),(0ρλρλρρρ
由初始条件
20
21)0,(ρρρ-
=u
得到
)
(8
)
()
(422)
(2
0)(2
13
212222
2
1200
20
2
2120)()()1(n n n n n n
n n n J J J n J J n J d J C λλλλλλρλρρρλ
ρρλρλρρρ=
=
?
=
-
=?
而且又有的零点，也即是由于,0)()(00=n n J x J λλ
)
()()(1220x J x J x J x =+ 故
n n n J J λλλ2
)
()
(12=
于是最后得到原问题的解是
∑∑∑===t J t
J C t T R t u n n n
n n n n
a J J a n n n 00
21
2200cos )(cos )()
()(),(0)()(40ρλρλλλλρλρλρρρρ
二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式
???????-=?-?C
n v n u D ds u v d v u u v )()(2
2
σ
其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。
[证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦
为βαcos ,cos ，则有
???-=-????C
D
y P x Q ds P Q d )cos cos ()(βασ
再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令
y
v
x v u P u Q ????-==, 得到
????????????????????=+
=+
+?C
n
v C
y
v x v D
y
v
y u x
v
x u
D
ds
u
ds u d vd u )cos cos ()(βασ
σ
交换u,v ，得到
????????????????????=+
=+
+?C
n
u C
y
u x u D
y
v y u x v x u D
ds
v
ds v d ud v )cos cos ()(
βασ
σ
上面第二式减去第一式，得到
???????-=?-?C
n v
n u D
ds u v d v u u v )()(σ
证毕。
8． 证明关于Bessel 函数的等式：
1220100()d ()(1)()(1)()d n n n n x J x x x J x n x J x n x J x x --=+---??
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